2026年中考二轮复习之选择题复习14：《三角形及相关概念》（学生版+教师版合并）

2026年中考第二轮复习选择题专题14.三角形及相关概念本课题是中考数学选择题的基础核心板块，覆盖三角形的分类、三边关系、三线（中线、角平分线、高线）性质、稳定性、全等/相似判定、折叠旋转变换、角度与面积计算等核心考点，侧重考查数形结合思想与概念辨析能力，题型稳定、难度以基础和中档为主，是二轮复习需实现“零失误”的得分板块，也是衔接几何基础与综合证明的关键内容。一、题型特点一、题型特点考点全覆盖，基础占比高：核心考查三角形三边关系、三线定义与性质、直角三角形判定、全等/相似三角形的简单应用、折叠旋转的性质、角度与面积计算，基础题占比超85%，少量中档题侧重综合性质应用。数形结合突出：所有题目均依托图形命题，需通过观察图形识别边、角关系，图形以常规三角形、网格图形、折叠旋转图形为主，侧重直观感知与逻辑推理结合。选项干扰性强：常围绕“概念混淆”“条件遗漏”“特殊情况忽略”设置干扰项，如三边关系忽略“两边之和大于第三边”、角平分线性质混淆“距离”与“长度”。综合度适中，梯度清晰：基础题直接考查概念与性质，中档题融合2-3个知识点（如三线+全等、折叠+角度计算），无偏难题，得分可控。二、二、答题要点紧扣概念，精准判定：牢记三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边）、三线定义（中线分边相等、角平分线分角相等、高线垂直对边），直角三角形判定条件（勾股定理逆定理、有一个角为90°）。活用性质，快速推理：利用等腰三角形“等边对等角”“三线合一”、全等三角形判定（SAS、ASA、SSS、HL）、相似三角形性质（对应角相等、对应边成比例）简化计算；折叠旋转问题抓住“对应边相等、对应角相等”的核心。掌握计算技巧：角度计算依托三角形内角和（180°）、外角性质（等于不相邻两内角和）；面积计算常用“割补法”“等积变换”，直角三角形面积可结合勾股定理与高线关系求解。规范判断步骤：先标注图形中的已知条件（边、角关系），再结合考点匹配性质，排除干扰选项，复杂题目可通过画图辅助分析。三三、避坑指南三边关系忽略条件：判断能否构成三角形时，只验证“两边之和大于第三边”，遗漏“两边之差小于第三边”；或误将“等于”当作“大于”。三线概念混淆：混淆中线、角平分线、高线的性质，如误将“角平分线上的点到角两边的距离相等”记为“到顶点的距离相等”。全等/相似判定失误：全等判定遗漏“对应”条件（如边边角误判全等），相似三角形性质应用时对应边比例混淆。折叠旋转对应关系找错：折叠后未准确识别对应边、对应角，导致角度或长度计算错误。角度计算遗漏隐含条件：忽略直角三角形两锐角互余、等腰三角形底角相等，或外角性质应用错误。本课时复习的核心是“抓概念、熟性质、善画图、避陷阱”，通过专项训练强化图形识别与性质应用能力，针对高频易错点专项突破，即可稳稳拿下该板块全部分数，为几何综合题打下坚实基础。四四、真题练习1.（23-24·陕西模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有（

）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2.（24-25·黑龙江模拟）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）A.2，2，4 B.1，2，3 C.3，4，5 D.3，4，83.（23-24·山东模拟）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线A−B−C−D，其中AB可以绕点B任意旋转，保持∠C=90∘，将A，D两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为d，则d不可能是（

）

A.3 B.5 C.7 D.84.（24-25·湖北模拟）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB=7，AD=5，则AC的取值范围为（

）

A.3<AC<17 B.3<AC<15 C.1<AC<6 D.2<AC<125.（24-25·云南模拟）如图，△ABC的面积为30，BD=2CD，E为AB的中点，则△ADE的面积等于（

）

A.15 B.12 C.10 D.96.（22-23·湖南模拟）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（

）

A.中线、角平分线、高线B.角平分线、高线、中线C.高线、中线、角平分线D.角平分线、中线、高线7.（24-25·山东中考）如图，△ABC的中线BE,CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（

）

A.S△DEF=14S△BCF B.S△ADE=18.（23-24·新疆模拟）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（

）

A.三角形具有稳定性 B.两点之间线段最短

C.经过两点有且只有一条直线 D.垂线段最短9.（24-25·山东模拟）如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F．若AB=6，BC=4，则EF的长是（

）

A.1 B.2 C.3 D.410.（24-25·贵州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N，以点M,N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AB于点E，若DE=3,∠B=30∘，则ABA.9.5 B.9 C.8.5 D.811.（22-23·浙江中考）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE//AC交BC于点E，DF//BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（

）

A.12 B.14 C.18 D.2412.（22-23·四川中考）如图，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG:GC=1:2，则四边形DFEG的面积为（）

A.2cm2 B.4cm2 C.13.（24-25·全国模拟）如图，AD,CE分别为△ABC的中线，AD和CE相交于点G，点F为CE的中点，连接DF，若△DFG的面积为4，则△AGC的面积为（

）

A.8 B.16 C.32 D.6414.（23-24·全国模拟）如图，在△ABC中，AF与CE相交于点Q，点Q是△ABC的重心，D是AC的中点，DE与AF相交于点P．若AP=6cm，则QF的长为（

）

A.2cm B.3cm C.4cm D.4.5cm15.（23-24·陕西中考）如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有（

）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个16.（22-23·湖南中考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△ABC的面积为S△ABC=12a2b2−(a2+b2−c22A.cosC=a2+b2−c22ab 17.（24-25·陕西模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=20∘，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（

）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个18.（23-24·广西中考）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（

）A.∠1=45∘−α B.∠1=α C.∠2=19.（24-25·广东模拟）如图，AB=AC,AE=AD，点E在BD上，∠EAD=∠BAC,∠BDC=56∘，则∠ABC的度数为（

）

A.56∘ B.60∘ C.62∘20.（24-25·天津中考）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B,C的对应点分别为B′,C′,B′C′的延长线与边A.125 B.165 C.4 21.（22-23·浙江模拟）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（

）

A.在边AC，BC两条高的交点处B.在边AC，BC两条中线的交点处C.在边AC，BC两条垂直平分线的交点处D.在∠ABC和∠ACB两条角平分线的交点处22.（24-25·天津模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C的对应点为点E，ED的延长线交BC于点F，连接AF，则下列说法不正确的是（

）

A.AD=AB B.∠EAC+∠DFB=180∘

C.AD // BC 23.（2024-2025·安徽模拟）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，则下列结论中：

①AD是ΔABC的高；

②AD是ΔABC的中线；

③ED=FD；

④AB=AE+BF．

其中正确的个数有（

）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个24.（25-26·安徽模拟）如图，E是BC上一点，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，连接AD．若∠EAD=∠DEC，则下列结论中错误的是（

）

A.DE平分∠ADC B.BC2=14AB⋅CD

25.（25-26·四川模拟）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则BC边上的高是（

）

A.322 B.5510 C.26.（24-25·吉林中考）如图，在△ABC中，∠B=45∘,∠A>∠ACB>∠B．尺规作图操作如下：(1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA,BC于点M，N；(2)以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；(3)过点M′画射线CM′交边A.∠B=∠DCB B.∠BDC=90∘ C.DB=DC 27.（23-24达州模拟）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90∘,∠B=45∘,∠DEF=60∘．当AD∥BCA.5∘ B.15∘ C.25∘28.（24-25·浙江模拟）如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（

）

A.∠ABN=∠A B.BN⊥AC C.CM=AD D.BM=BD29.（25-26·山东模拟）如图Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB:BC=3:4，则BF:FD为（

）

A.5:3 B.5:4 C.4:3 D.2:130.（22-23·江苏中考）如图△ABC中，∠ACB=90∘，AB=4，AC=x，∠BAC=α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：

①若α=45∘，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；

②若α=60∘，则AD的最大值为27；

③若α=60∘，△ABC∽△CBD，则OD的长为23；

④若△ABC∽△BCDA.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④

2026年中考第二轮复习选择题专题14.三角形及相关概念本课题是中考数学选择题的基础核心板块，覆盖三角形的分类、三边关系、三线（中线、角平分线、高线）性质、稳定性、全等/相似判定、折叠旋转变换、角度与面积计算等核心考点，侧重考查数形结合思想与概念辨析能力，题型稳定、难度以基础和中档为主，是二轮复习需实现“零失误”的得分板块，也是衔接几何基础与综合证明的关键内容。一、题型特点一、题型特点考点全覆盖，基础占比高：核心考查三角形三边关系、三线定义与性质、直角三角形判定、全等/相似三角形的简单应用、折叠旋转的性质、角度与面积计算，基础题占比超85%，少量中档题侧重综合性质应用。数形结合突出：所有题目均依托图形命题，需通过观察图形识别边、角关系，图形以常规三角形、网格图形、折叠旋转图形为主，侧重直观感知与逻辑推理结合。选项干扰性强：常围绕“概念混淆”“条件遗漏”“特殊情况忽略”设置干扰项，如三边关系忽略“两边之和大于第三边”、角平分线性质混淆“距离”与“长度”。综合度适中，梯度清晰：基础题直接考查概念与性质，中档题融合2-3个知识点（如三线+全等、折叠+角度计算），无偏难题，得分可控。二、二、答题要点紧扣概念，精准判定：牢记三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边）、三线定义（中线分边相等、角平分线分角相等、高线垂直对边），直角三角形判定条件（勾股定理逆定理、有一个角为90°）。活用性质，快速推理：利用等腰三角形“等边对等角”“三线合一”、全等三角形判定（SAS、ASA、SSS、HL）、相似三角形性质（对应角相等、对应边成比例）简化计算；折叠旋转问题抓住“对应边相等、对应角相等”的核心。掌握计算技巧：角度计算依托三角形内角和（180°）、外角性质（等于不相邻两内角和）；面积计算常用“割补法”“等积变换”，直角三角形面积可结合勾股定理与高线关系求解。规范判断步骤：先标注图形中的已知条件（边、角关系），再结合考点匹配性质，排除干扰选项，复杂题目可通过画图辅助分析。三三、避坑指南三边关系忽略条件：判断能否构成三角形时，只验证“两边之和大于第三边”，遗漏“两边之差小于第三边”；或误将“等于”当作“大于”。三线概念混淆：混淆中线、角平分线、高线的性质，如误将“角平分线上的点到角两边的距离相等”记为“到顶点的距离相等”。全等/相似判定失误：全等判定遗漏“对应”条件（如边边角误判全等），相似三角形性质应用时对应边比例混淆。折叠旋转对应关系找错：折叠后未准确识别对应边、对应角，导致角度或长度计算错误。角度计算遗漏隐含条件：忽略直角三角形两锐角互余、等腰三角形底角相等，或外角性质应用错误。本课时复习的核心是“抓概念、熟性质、善画图、避陷阱”，通过专项训练强化图形识别与性质应用能力，针对高频易错点专项突破，即可稳稳拿下该板块全部分数，为几何综合题打下坚实基础。四四、真题练习1.（23-24·陕西模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有（

）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【解析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．【解答】解：由图得△ABD，△ABC，△ADC，△ADE为直角三角形，

共有4个直角三角形．

故选：C．2.（24-25·黑龙江模拟）以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）A.2，2，4 B.1，2，3 C.3，4，5 D.3，4，8【答案】C【解析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．【解答】解：∵2+2=4，∴A不能构成三角形；

∵1+2=3，∴B不能构成三角形；

∵3+4>5，4−3<5，∴C能构成三角形；

∵3+4<8，∴D不能构成三角形．

故答案为：C．3.（23-24·山东模拟）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线A−B−C−D，其中AB可以绕点B任意旋转，保持∠C=90∘，将A，D两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为d，则d不可能是（

）

A.3 B.5 C.7 D.8【答案】D【解析】连接BD，根据勾股定理可得BD的长，在分两种情况讨论即可；【解答】连接BD，则BD=32+42=5．

如图1，当点A在线段BD上时，d=5−2=3；

如图2，当点A在DB的延长线上时，d=5+2=7，

∴d的取值范围为3≤d≤7，

故选：4.（24-25·湖北模拟）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB=7，AD=5，则AC的取值范围为（

）

A.3<AC<17 B.3<AC<15 C.1<AC<6 D.2<AC<12【答案】A【解析】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≅△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．【解答】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．

在△ABD与△ECD中，

DB=CD∠ADB=∠EDCAD=DE ，

∴△ABD≅△ECD(SAS)，

∴CE=AB．

在△ACE中，AE−EC<AC<AE+CE，

即5+5−7<AC<5+5+7，

3<AC<17．

故选：A．5.（24-25·云南模拟）如图，△ABC的面积为30，BD=2CD，E为AB的中点，则△ADE的面积等于（

）

A.15 B.12 C.10 D.9【答案】C【解析】根据三角形的中线的性质与面积公式即可得到结论．【解答】解：∵△ABC的面积为30，BD=2CD，∴S△ABD=21+2S△ABC=20，

又E为AB的中点，

∴6.（22-23·湖南模拟）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（

）

A.中线、角平分线、高线B.角平分线、高线、中线C.高线、中线、角平分线D.角平分线、中线、高线【答案】B【解析】本题考查了轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，解题关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义．

根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解．【解答】解：由图①的折叠方式可知，∠BAD=∠CAD，

所以AD是△ABC的角平分线．

由图②的折叠方式可知，∠ADB=∠ADB′，

因为∠ADB+∠ADB′=180∘，

所以∠ADB=∠ADB′=90∘，

所以AD⊥BC，

所以AD是△ABC的高线．

由图③的折叠方式可知，CD=BD，

7.（24-25·山东中考）如图，△ABC的中线BE,CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（

）

A.S△DEF=14S△BCF B.S△ADE=【答案】B【解析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识；

根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得DE=12BC,DE∥BC，【解答】解：∵△ABC的中线BE,CD交于点F，

∴DE=12BC,DE∥BC，S△ADC=12S△ABC,S△AEB=12S△ABC，

∴△ADE∽△ABC，S△ADC=S△AEB=12S8.（23-24·新疆模拟）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（

）

A.三角形具有稳定性 B.两点之间线段最短

C.经过两点有且只有一条直线 D.垂线段最短【答案】A【解析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形，稳定性提高．【解答】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性.

故选A9.（24-25·山东模拟）如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F．若AB=6，BC=4，则EF的长是（

）

A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】本题考查了中位线的判定和性质，等腰三角形的定义及判定，掌握以上知识，数形结合分析是关键．

根据题意可得DE∥AB,DE=12AB，结合角平分线的定义可得DB=DF【解答】解：∵D,E分别是BC,AC的中点，

∴DE=12AB=3，DE∥AB，

∴∠ABF=∠BFD，

∵BF平分∠ABC，即∠ABF=∠CBF，

∴∠CBF=∠BFD，

∴DB=DF=12BC=2，

∴EF=DE−DF=3−2=1，

10.（24-25·贵州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N，以点M,N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AB于点E，若DE=3,∠B=30∘，则A.9.5 B.9 C.8.5 D.8【答案】B【解析】本题考查了尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是关键；由作图知，射线AP为∠BAC的平分线，∠CAD=∠BAD；再由平行线的性质及等腰三角形的判定得AE=AD=3；由含30度角直角三角形的性质求得BE，由AB=AE+BE即可求解．【解答】解：由作图过程可知，射线AP为∠BAC的平分线，

∴∠CAD=∠BAD；

∵∠C=90∘，DE⊥BC，

∴DE // AC，

∴∠EDA=∠CAD，

∴∠EDA=∠BAD，

∴AE=DE=3．

在Rt△BDE中，∠B=30∘，

∴BE=2DE=6，

∴AB=AE+BE=3+6=9．

11.（22-23·浙江中考）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE//AC交BC于点E，DF//BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（

）

A.12 B.14 C.18 D.24【答案】C【解析】连接BD，由点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，可得点B,P,D在一条直线上，且BP:PD=2:1，S△BCD=12S△ABC，通过△BEP∽△BCD可得S△BEP=49S△BCD，从而得到S四边形CEPD【解答】解：如图所示，连接BD，

∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，

∴点B,P,D在一条直线上，且BP:PD=2:1，S△BCD=12S△ABC，

∵PE//AC，

∴△BEP∽△BCD，

∵BP:PD=2:1，

∴BP:BD=2:3，

∴S△BEP:S△BCD=4:9，

∴S△BEP=49S△BCD，

∴S四边形CEPD=S△BCD−S△BEP=59S△BCD，12.（22-23·四川中考）如图，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG:GC=1:2，则四边形DFEG的面积为（）

A.2cm2 B.4cm2 C.【答案】B【解析】连接DE，由D、E分别为AC、BC中点，可得DE=12AB=3 cm，DE // AB，即得△DEF∽△BAF，故S△DEFS△ABF=DEAB2=14，EF【解答】解：连接DE，如图：

∵D、E分别为AC、BC中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE=12AB=3 cm，DE // AB，

∴△DEF∽△BAF，

∴S△DEFS△ABF=DEAB2=14，EFAF=DEAB=12，

∴S△BEFS△ABF=EFAF=12，

∴13.（24-25·全国模拟）如图，AD,CE分别为△ABC的中线，AD和CE相交于点G，点F为CE的中点，连接DF，若△DFG的面积为4，则△AGC的面积为（

）

A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】根据三角形中线，中位线性质得到DF // AE，DF=12AE，证明△DFG∽△AEG【解答】解：⸪AD,CE分别为△ABC的中线，

∴AE=BE,BD=CD，

∵点F为CE的中点，

∴DF // BE，DF=12BE，

∴DF // AE，DF=12AE，

∴△DFG∽△AEG，

∴S△AGES△DFG=AEDF2=4，

⸪△DFG的面积为4，

⸫S△AGE=16，

⸪AD和CE相交于点G，即点G为△ABC的重心，

14.（23-24·全国模拟）如图，在△ABC中，AF与CE相交于点Q，点Q是△ABC的重心，D是AC的中点，DE与AF相交于点P．若AP=6cm，则QF的长为（

）

A.2cm B.3cm C.4cm D.4.5cm【答案】C【解析】本题主要查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．连接EF,DF，根据重心的定义可得EF为△ABC的中位线，从而得到△QEF∽△QCA，进而得到AQ=2FQ，再由D是AC的中点，可得DF为△ABC的中位线，从而得到△DPF∽△EPA，进而得到AP=PF=6cm，即可求解．【解答】解：如图，连接EF,DF，

∵点Q是△ABC的重心，

∴AF,CE为△ABC的中线，

∴EF为△ABC的中位线，

∴EF∥AC,EF=12AC，

∴△QEF∽△QCA，

∴FQAQ=EFAC=12，

即AQ=2FQ，

∵D是AC的中点，

∴DF为△ABC的中位线，

∴DF∥AB,DF=12AB=AE，

∴△DPF∽△EPA，

∴APPF15.（23-24·陕西中考）如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有（

）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【解析】根据直角三角形的概念可以直接判断．【解答】解：由图得△ABD，△ABC，△ADC，△ADE为直角三角形，共有4个直角三角形．故此题答案为C．16.（22-23·湖南中考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△ABC的面积为S△ABC=12a2b2−(a2+b2−c22A.cosC=a2+b2−c22ab 【答案】A【解析】由S△ABC=12a2b2−(a2+b2−【解答】解：∵S△ABC=12a2b2−(a2+b2−c22)2，S△ABC=12absinC，

17.（24-25·陕西模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=20∘，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（

）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【解析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出∠B=70∘，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=AD=BD，根据等边对等角得出∠DCA=∠A=20∘,∠DCB=∠B=【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=20∘，

∴∠B=180∘−∠A−∠ACB=180∘−90∘−20∘=70∘，

∵CD为AB边上的中线，

∴CD=AD=BD，

∴∠DCA=∠A=20∘,∠DCB=∠B=70∘,∠CDB=2∠A=4018.（23-24·广西中考）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（

）A.∠1=45∘−α B.∠1=α C.∠2=【答案】D【解析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得AD // BC，∠C=90∘，则∠ADB=∠1，进而根据折叠的性质得出2∠1=90【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD // BC，∠C=90∘

∴∠ADB=∠1

∵折叠

∴∠ADB=∠A′DB

∴∠1=∠A′DB

∵∠DEC=90∘−α，即2∠1=90∘−α

∴∠1=45∘−12α，故A不正确

∵∠BDE≠∠CDE

∴∠1≠α，故B不正确19.（24-25·广东模拟）如图，AB=AC,AE=AD，点E在BD上，∠EAD=∠BAC,∠BDC=56∘，则∠ABC的度数为（

）

A.56∘ B.60∘ C.62∘【答案】C【解析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明∠BAE=∠CAD，再利用SAS可证明△BAE≅△CAD得到∠ABE=∠ACD，利用三角形内角和定理可证明∠BAO=∠CDO=56【解答】解：∵∠EAD=∠BAC，

∴∠EAD−∠CAE=∠BAC−∠CAE，即∠BAE=∠CAD，

在△BAE和△CAD中，

AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD ，

∴△BAE≅△CADSAS，

∴∠ABE=∠ACD；

如图所示，设AC,BD交于O，

∵∠AOB+∠ABO+∠BAO=180∘，∠COD+∠DCO+∠COD=180∘，

∠AOB=∠COD，

∴∠BAO=∠CDO=56∘，

∵AB=AC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180∘，20.（24-25·天津中考）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B,C的对应点分别为B′,C′,B′C′A.125 B.165 C.4 【答案】D【解析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接AD，交CC′于点O，先证出Rt△AC′D≅Rt△ACD，根据全等三角形的性质可得C′D=CD=3，再证出AD垂直平分C【解答】解：如图，连接AD，交CC′于点O，

由旋转的性质得：AC′=AC=4，∠AC′B′=∠ACB=90∘，

∴∠AC′D=90∘，

在Rt△AC′D和Rt△ACD中，

AD=ADAC′=AC ，

∴Rt△AC′D≅Rt△ACDHL，

∴C′D=CD=3，

∴AD垂直平分C21.（22-23·浙江模拟）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（

）

A.在边AC，BC两条高的交点处B.在边AC，BC两条中线的交点处C.在边AC，BC两条垂直平分线的交点处D.在∠ABC和∠ACB两条角平分线的交点处【答案】D【解析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，理解角平分线的性质是解题的关键．

根据角平分线的性质求解即可．【解答】解：∵亭子中心到三条马路的距离相等，

∴亭子中心就是△ABC的三个内角的平分线的交点，

因此，A、B、C三个选项都不符合要求，

设∠ABC和∠ACB两条角平分线的交于点P，作PD⊥AB于点E，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，如图所示，

∵BP平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC，

∴PD=PE，

同理可得：PE=PF，

∴PD=PE=PF，

即点P到三边的距离相等，

亭子应建在点P，因此，D选项正确．

故选：D．22.（24-25·天津模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C的对应点为点E，ED的延长线交BC于点F，连接AF，则下列说法不正确的是（

）

A.AD=AB B.∠EAC+∠DFB=180∘

C.AD // BC 【答案】C【解析】根据旋转的性质可直接得出A正确；数形结合，由角度之间的关系证明∠ADF+∠B=180∘，可得出B正确；过点A分别作AH⊥EF于点H，作AG⊥CB交CB的延长线于点G，根据AAS证明△AHD≅△AGB得出AH=AG，利用角平分线的判定定理可推出AF平分∠DFB，可得出D正确，由已知无法确定【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，

∴AD=AB，∠EAC=∠DAB，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB，故A正确；

∵∠E+∠EAD=∠C+∠CAB，即∠ADF=∠C+∠CAB，

又∠C+∠CAB+∠B=180∘，

∴∠ADF+∠B=180∘，

∴∠DAB+∠DFB=180∘，

∴∠EAC+∠DFB=180∘，故B正确；

过点A分别作AH⊥EF于点H，作AG⊥CB交CB的延长线于点G，如图所示：

由旋转性质知AB=AD，∠EDA=∠CBA，

∴∠ADH=∠ABG，

又∠G=∠AHD=90∘，

∴△AHD≅△AGB(AAS)，

∴AH=AG，

又∵AH⊥HF，AG⊥FG，

∴AF平分∠DFB，

∴∠EFA=∠AFB，故D正确；

由已知无法确定AD // BC，故23.（2024-2025·安徽模拟）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，则下列结论中：

①AD是ΔABC的高；

②AD是ΔABC的中线；

③ED=FD；

④AB=AE+BF．

其中正确的个数有（

）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】A【解析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，证明ΔABC为等腰三角形，由等腰三角形的性质得AD⊥BC，CD=BD，即可判定①②；过D点作DH⊥AB于H，由角平分线的性质可得DE=DH，DH=DF，即可判定③；证明Rt△ADE≅Rt△ADH(HL)，得AH=AE，同理可得BH=BF，即得AB=AH+BH=AE+BF，即可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键.【解答】解：∵BC恰好平分∠ABF

∴∠ABC=∠FBD,

∵BF∥AC,

∴∠C=∠FBD,

∴∠C=∠ABC,

∴ΔABC为等腰三角形，

∵AD平分∠BAC,

∴AD⊥BC，CD=BD，故①②正确；

过D点作DH⊥AB于H，如图，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，

∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DH⊥AB,

∴DE=DH,

∵BF∥AC,DE⊥AC,

∴DF⊥BF,

∵BD平分∠ABF,DH⊥AB,

∴DH=DF,

∴DE=DF，故③正确；

在RtΔADE和RtΔADH中，

AD=ADDE=DH

∴Rt△ADE≅Rt△ADH(HL),

∴AH=AE,

同理可得BH=BF,

∴AB=AH+BH=AE+BF，故④正确

综上，结论正确的个数有4个，

故选：A.24.（25-26·安徽模拟）如图，E是BC上一点，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，连接AD．若∠EAD=∠DEC，则下列结论中错误的是（

）

A.DE平分∠ADC B.BC2=14AB⋅CD

【答案】B【解析】如图所示，过点E作EF⊥AD于点F，首先得出∠EAD+∠ADE=∠DEC+∠EDC=90∘，得到∠EAD=∠DEC，等量代换得到∠ADE=∠EDC，即可判断A；结合∠AED=∠C=90∘即可得到△ADE∽△EDC，即可判断D；根据同角的余角相等得到∠BAE=∠DEC，等量代换得到∠BAE=∠EAD，然后根据角平分线的性质定理得到BE=FE，EF=EC，即可得到BE=EC，进而判断C；首先得到BE=12BC，证明出△ABE∽△ECD【解答】解：如图所示，过点E作EF⊥AD于点F

∵AE⊥DE，DC⊥BC

∴∠AED=∠C=90∘

∴∠EAD+∠ADE=∠DEC+∠EDC=90∘，

∵∠EAD=∠DEC

∴∠ADE=∠EDC

∴DE平分∠ADC，故A正确；

又∵∠AED=∠C=90∘

∴△ADE∽△EDC，故D正确；

∵AE⊥DE，AB⊥BC，

∴∠B=∠AED=90∘

∴∠BAE+∠AEB=∠DEC+∠AEB=90∘

∴∠BAE=∠DEC

∵∠EAD=∠DEC

∴∠BAE=∠EAD

∵AB⊥BC，EF⊥AD

∴BE=FE

∵DE平分∠ADC

∴EF=EC

∴BE=EC，故C正确；

∴BE=12BC

∵∠BAE=∠DEC，∠B=∠C=90∘

∴△ABE∽△ECD

∴ABEC=BE25.（25-26·四川模拟）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则BC边上的高是（

）

A.322 B.5510 C.【答案】A【解析】先利用网格计算出△ABC的面积，再根据勾股定理求出BC边长，根据三角形面积公式即可求出BC边上的高．【解答】解：∵S△ABC=2×2−12×2×1−12×2×1−12×1×1=32，

BC=12+26.（24-25·吉林中考）如图，在△ABC中，∠B=45∘,∠A>∠ACB>∠B．尺规作图操作如下：(1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA,BC于点M，N；(2)以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；(3)过点M′画射线CM′A.∠B=∠DCB B.∠BDC=90∘ C.DB=DC 【答案】D【解析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得∠B=∠DCB=45∘，则由三角形内角和定理和等边对等角得到∠BDC=90∘，BD=DC，由大角对大边得到BC>AB，再由【解答】解：由作图方法可得∠B=∠DCB=45∘，故A结论正确，不符合题意；

∴∠BDC=180∘−∠B−∠DCB=90∘，BD=DC，故B、C结论都正确，不符合题意；

∵∠A>∠ACB>∠B，

∴BC>AB，

∵AD+DC=AD+BD=AB，

∴AD+DC<BC，故D结论错误，符合题意；

27.（23-24达州模拟）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90∘,∠B=45∘,∠DEF=60∘．当A.5∘ B.15∘ C.25∘【答案】B【解析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到∠DAE=∠BCA=45【解答】解：∵∠B