2026中考第一轮复习（知识能力+解题思路+易错警示+真题演练）第1课时：实数（学生版+教师版合并）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第1课时实数一、核心知识一、核心知识1.实数的概念及分概念：有理数和无理数统称为实数；分类：按定义分：实数按性质分：实数2.数轴概念：规定了____________、____________和____________的直线叫做数轴；实数与数轴上的点是________的关系。3.相反数：概念：只有___________不同的两个数互为相反数，零的相反数是________；性质：若a、b互为相反数，则__________，反之亦然；几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点关于___________对称。4.倒数概念：乘积为___________的两个数互为倒数，____没有倒数；性质：若a、b互为倒数，则___，反之亦然。5.绝对值概念：数轴上表示数a的点到_________的距离叫做数a的绝对值，记作|a|；代数意义：正数的绝对值是，0的绝对值是，负数的绝对值是；性质：非负性：，|a|=|-a|。6.平方根、算术平方根与立方根平方根：若x2=a（a≥0），则x叫做a的，记作；性质：正数有____________平方根，它们互为________，0的平方根是，负数________平方根；算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的，记作；算术平方根具有（即）；立方根：若x3=a，则x叫做a的，记作3a性质：正数的立方根是_________，负数的立方根是__________，0的立方根是_________。7.实数的运算基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方；运算顺序：先算___________，再算____________，最后算_________；有括号的先算___________的；同级运算从__________依次进行；运算律：加法交换律符号表示：；加法结合律符号表示：；乘法交换律符号表示：；乘法结合律符号表示：；乘法分配律符号表示：。8.科学记数法与近似数科学记数法：把一个数表示成__________的形式（其中1≤|a|<10，n是整数）；近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位；从左边第一个___________数字起，到精确到的位数止，所有数字都是有效数字。二、核心能力二、核心能力题型1：实数的分类与无理数识别解题思路紧扣“无理数是无限不循环小数”，排除有理数（有限小数、循环小数、整数、分数）；注意“带根号的数不一定是无理数”。题型2：相反数、倒数、绝对值的计算解题思路相反数：改变数的符号（a的相反数是-a）；倒数：非零数a的倒数是1/a（符号与原数一致）；绝对值：先判断数的正负，再按代数意义化简（负数的绝对值是它的相反数）。题型3：平方根、算术平方根与立方根的运算解题思路算术平方根：根号a≥0，a≥0，结果是非负数；平方根：±根号a（a≥0），结果有两个，互为相反数；立方根：三次根号a与a符号一致，任何实数都有唯一立方根。题型4：实数与数轴的关系解题思路数轴上右边的数大于左边的数；点到原点的距离等于数的绝对值；结合数轴判断字母正负，再化简代数式。题型5：实数的混合运算解题思路先辨运算类型（乘方、开方、乘除、加减），遵循运算顺序；注意零指数幂、负整数指数幂的规则。题型6：科学记数法与近似数解题思路大于10的数：n=整数位数减去1；小于1的数：n为负整数，绝对值=第一个非零数字前0的个数；近似数：明确精确位数和有效数字，按要求四舍五入。三、易错警示三、易错警示混淆平方根与算术平方根错误：根号9=±3（正确：根号提醒：算术平方根只有1个非负值，平方根有2个（互为相反数）。绝对值化简错误（含字母）错误：若a<0，则|a|=a（正确：|a|=-a）；提醒：先判断字母正负，负数的绝对值是它的相反数。无理数识别误区错误：认为根号9提醒：根号9运算符号错误错误：−22=4（正确：−2提醒：分清底数的正负性。科学记数法指数错误错误：0.000021=21×10-6（正确：2.1×10-5次方）；提醒：a需满足1≤|a|<10，n的绝对值对应0的个数/整数位数。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·湖南模拟）在−(−2025)，−|−2025|，0，−5243，−A.6个 B.5个 C.4个 D.3个2.（24-25·安徽模拟）2024年8月，中国北京的一家芯片设计公司宣布推出两款AI芯片，这标志着中国首款商用28nm(=0.000000028m)记忆计算AI芯片的问世．将数据“0.000000028m”用科学记数法表示为（

）A.2.8×10−10m B.28×10−9m3.（24-25·四川中考）2025的相反数是（

）A.−2025 B.2025 C.12025 D.4.（24-25·北京中考）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）

A.a>−1 B.a+b=0 C.a−b>0 D.|a|>|b|5.（24-25·河北模拟）下列各组数中，相等的一组是（

）A.−(−1)与−|−1| B.−32与(−3)2 C.(−4)3与6.（24-25·天津模拟）计算(−8)+4÷(−2)的结果等于（

）A.6 B.2 C.−6 D.−107.（24-25·四川中考）若(3x+2y−19)2+|2x+y−11|=0，则x+yA.8 B.±8 C.±22 D.8.（24-25·安徽中考）下列计算正确的是（

）A.(−a)2=−a B.3(−a)39.（24-25·湖南中考）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作+80米，那么向西走60米记作（

）A.−60米 B.−80米 C.+90米 D.+60米10.（24-25·吉林模拟）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的−3和0，则数轴上x的值最有可能是（

）

A.1.8 B.2 C.2.3 D.5.511.（24-25·甘肃模拟）下列化简，正确的是（

）A.−(−3)=−3 B.−−(+8)=−8 C.−(+5)=5 12.（24-25·江西模拟）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a,a+b,b，若AM>BM，则下列运算结果一定是正数的是（

）

A.a+b B.a−b C.ab D.|a|−b13.（22-23·辽宁中考）有下列四个算式①−5++3=−8；②−−23=6；③A.0个 B.1个 C.2个 D.3个14.（24-25·达州模拟）若a，b为实数，且|a+2|+b−12=0，则A.0 B.1 C.−1 D.±115.（24-25·重庆模拟）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2，则显示x1−x2的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是|1−2|=1．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．

下列说法：

①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；

②若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5；

③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k．若k的最大值为2024，则k的最小值为A.0 B.1 C.2 D.3填空题（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·上海模拟）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为_____________．17.（25-26·青海模拟）−13的倒数是_____________；−3−(−5)=18.（24-25·重庆中考）若实数x，y同时满足x−|y|=2，|x|−y=4，则xy的值为_______________．（24-25·四川中考）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m+1__________0．（填“>”“=”或“<”）

20.（25-26·湖南模拟）圆周率π=3.1415926⋯精确到0.001，π≈_____________；精确到万分位，π≈_______________．21.（25-26·江苏模拟）若a−3有平方根，则实数a的取值范围是_______．22.（23-24·甘肃中考）定义一种新运算*，规定运算法则为：m∗n=mn−mn(m，n均为整数，且m≠0)．例：2∗3=23−2×3=2,则(−2)∗2=23.（23-24·山东中考）计算：|2−2|+224.（23-24·天津模拟）有一个运算程序，可以使：a⊕b=n（n为常数）时，得(a+1)⊕b=n+1，a⊕(b+1)=n−2，现在已知1⊕1=2，那么2009⊕2009=____________．25.（24-25·江西模拟）如图，△ABC的顶点C与AB的中点D均在数轴上，且C，D两点在数轴上对应的数分别为−3，1，当∠BCA=90∘时，AB的长为_________．

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·江苏模拟）计算：(−6)×127.（25-26·全国同步）计算：−1228.（24-25·河北中考）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．计算：(−6)×12+23−56．

解：(−6)×1

(2)计算：|2−29.（24-25·江苏模拟）定义f(x)=13x2+2x+1+3x30.（23-24·江苏模拟）如图，在数轴上，点A，B分别表示数−1，2x−3．

（1）x的取值范围是______．（2）若点C表示的数为−x+1，且点C在线段AB上，求x的取值范围．31.（25-26·辽宁月考）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示−6的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2．

（1）第_____次按键后，点M正好到达原点；（2）第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少？（3）第n次按键后，点M，N到达的点表示的数互为相反数，求n的值．32.（25-26·江苏期中）【阅读理解】

同学们，我们来学习利用完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

近似计算算术平方根的方法．

例如求67的近似值．

因为64<67<81，

所以8<67<9，

则67可以设成以下两种形式：

①67=8+s，其中0<s<1；

②因为67=8+s，

所以67=(8+s)2，

即67=64+16s+s2．

因为s2比较小，

将s2忽略不计，

所以67≈64+16s，

即16s≈67−64，

【尝试探究】（1）请用②的形式求67的近似值（结果保留2位小数）．

【比较分析】（2）你认为用哪一种形式得出的67的近似值的精确度更高，请说明理由．33.（24-25·江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，将任意两点Px1,y1与Qx2,y2之间的“直距”定义为：（1）已知两点A(−1,3)、B(2,1)，则dAB（2）已知点M在反比例函数y=3x第一象限的图像上，若线段OM=4，求（3）已知两点A(1,0)、B(−1,4)，如果直线AB上存在点C，使得dCO=2，请直接写出点34.（23-24·江苏模拟）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a−b|，线段AB的中点表示的数为a+b2．

【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒(t>0)．

（1）【综合运用】填空：A、B两点间的距离AB=_________，线段AB的中点表示的数为________；（2）当t为何值时，PQ=1（3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．35.（24-25·江苏模拟）数轴上点A表示−8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为|−8−18|=26个单位长度．动点M从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以1.5个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．

（1）当t=2秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为________；当点M、N都运动到折线段O−B−C上时，O、M两点间的和谐距离|OM|=_______（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离|CN|=______（用含有t的代数式表示）；t=________时，M、N两点相遇；（2）当M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求t的值．

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第1课时实数一、核心知识一、核心知识1.实数的概念及分概念：有理数和无理数统称为实数；分类：按定义分：实数有理数按性质分：实数2.数轴概念：规定了______原点______、______正方向______和______单位长度______的直线叫做数轴；实数与数轴上的点是______一一对应______的关系。3.相反数：概念：只有______符号______不同的两个数互为相反数，零的相反数是______0______；性质：若a、b互为相反数，则______a+b=0______，反之亦然；几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点关于______原点______对称。4.倒数概念：乘积为______1______的两个数互为倒数，____0__没有倒数；性质：若a、b互为倒数，则____ab=1，反之亦然。5.绝对值概念：数轴上表示数a的点到______原点______的距离叫做数a的绝对值，记作|a|；代数意义：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；性质：非负性：|a|≥0，|a|=|-a|。6.平方根、算术平方根与立方根平方根：若x2=a（a≥0），则x叫做a的平方根，记作±a；性质：正数有______两个______平方根，它们互为______相反数______，0的平方根是0，负数______没有______平方根；算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作a；算术平方根具有双重非负性（即a≥0，且a≥0）；立方根：若x3=a，则x叫做a的立方根，记作3a性质：正数的立方根是______正数______，负数的立方根是______负数______，0的立方根是______0______。7.实数的运算基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方；运算顺序：先算______乘方、开方______，再算______乘除______，最后算______加减______；有括号的先算______括号内______的；同级运算从______左到右______依次进行；运算律：加法交换律符号表示：a+b=b+a；加法结合律符号表示：(a+b)+c=a+(b+c)；乘法交换律符号表示：ab=ba；乘法结合律符号表示：(ab)c=a(bc)；乘法分配律符号表示：a(b+c)=ab+ac。8.科学记数法与近似数科学记数法：把一个数表示成______a×10n_____的形式（其中1≤|a|<10，n是整数）；近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位；从左边第一个______非零______数字起，到精确到的位数止，所有数字都是有效数字。二、核心能力二、核心能力题型1：实数的分类与无理数识别解题思路紧扣“无理数是无限不循环小数”，排除有理数（有限小数、循环小数、整数、分数）；注意“带根号的数不一定是无理数”。题型2：相反数、倒数、绝对值的计算解题思路相反数：改变数的符号（a的相反数是-a）；倒数：非零数a的倒数是1/a（符号与原数一致）；绝对值：先判断数的正负，再按代数意义化简（负数的绝对值是它的相反数）。题型3：平方根、算术平方根与立方根的运算解题思路算术平方根：根号a≥0，a≥0，结果是非负数；平方根：±根号a（a≥0），结果有两个，互为相反数；立方根：三次根号a与a符号一致，任何实数都有唯一立方根。题型4：实数与数轴的关系解题思路数轴上右边的数大于左边的数；点到原点的距离等于数的绝对值；结合数轴判断字母正负，再化简代数式。题型5：实数的混合运算解题思路先辨运算类型（乘方、开方、乘除、加减），遵循运算顺序；注意零指数幂、负整数指数幂的规则。题型6：科学记数法与近似数解题思路大于10的数：n=整数位数减去1；小于1的数：n为负整数，绝对值=第一个非零数字前0的个数；近似数：明确精确位数和有效数字，按要求四舍五入。三、易错警示三、易错警示混淆平方根与算术平方根错误：根号9=±3（正确：根号提醒：算术平方根只有1个非负值，平方根有2个（互为相反数）。绝对值化简错误（含字母）错误：若a<0，则|a|=a（正确：|a|=-a）；提醒：先判断字母正负，负数的绝对值是它的相反数。无理数识别误区错误：认为根号9提醒：根号9运算符号错误错误：−22=4（正确：−2提醒：分清底数的正负性。科学记数法指数错误错误：0.000021=21×10-6（正确：2.1×10-5次方）；提醒：a需满足1≤|a|<10，n的绝对值对应0的个数/整数位数。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·湖南模拟）在−(−2025)，−|−2025|，0，−5243，−A.6个 B.5个 C.4个 D.3个【答案】C【解析】本题考查负数的判断，根据相反数的概念、绝对值的性质、负数的奇数次幂等相关知识点正确判断是解题关键．

根据负数的相反数为正、绝对值的意义、幂的运算等相关原则，进行计算分析即可．【解答】解：−(−2025)=2025，为正数；

−|−2025|=−2025，为负数；

0，既不是正数，也不是负数；

−5243=−12513824，为负数；

−20252，为负数；

−202，为负数；

所以负数个数为4个，

2.（24-25·安徽模拟）2024年8月，中国北京的一家芯片设计公司宣布推出两款AI芯片，这标志着中国首款商用28nm(=0.000000028m)记忆计算AI芯片的问世．将数据“0.000000028m”用科学记数法表示为（

）A.2.8×10−10m B.28×10−9m【答案】C【解析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定a和n的值是解题的关键．

根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．【解答】解：0.000000028m=2.8×10−8m，

故选：C．

3.（24-25·四川中考）2025的相反数是（

）A.−2025 B.2025 C.12025 D.【答案】A【解析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．

根据相反数的定义判断即可．【解答】解：2025的相反数为−2025，

故选：A．4.（24-25·北京中考）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）

A.a>−1 B.a+b=0 C.a−b>0 D.|a|>|b|【答案】D【解析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

先由数轴得，−2<a<−1<0<b<1，且|b|<|a|，再逐项分析即可．【解答】解：由数轴得，−2<a<−1<0<b<1，且|b|<|a|

∴a+b<0，a−b<0，

故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意，

故选：D．5.（24-25·河北模拟）下列各组数中，相等的一组是（

）A.−(−1)与−|−1| B.−32与(−3)2 C.(−4)3与【答案】C【解析】本题考查有理数的运算，涉及相反数、绝对值、乘方等基本运算，需注意运算顺序及符号处理，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【解答】解：A、−(−1)=1，−|−1|=−1，两者不相等，故不符合题意；

B、−32=−32=−9，(−3)2=9，结果不同，故不符合题意；

C、(−4)3=(−4)×(−4)×(−4)=−64，−43=−436.（24-25·天津模拟）计算(−8)+4÷(−2)的结果等于（

）A.6 B.2 C.−6 D.−10【答案】D【解析】本题考查了有理数四则运算，先计算有理数除法，再计算有理数加法即可得出答案．【解答】解：(−8)+4÷(−2)=(−8)+(−2)=−(8+2)=−10，

故选：D．7.（24-25·四川中考）若(3x+2y−19)2+|2x+y−11|=0，则A.8 B.±8 C.±22 D.【答案】C【解析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于x,y的二元一次方程组，两个方程相减后求出x+y的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．【解答】解：∵(3x+2y−19)2+|2x+y−11|=0，

∴3x+2y−19=0①2x+y−11=0② ，

①−②，得：x+y=8，

∴x+y的平方根是±8

8.（24-25·安徽中考）下列计算正确的是（

）A.(−a)2=−a B.3(−a)3【答案】B【解析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．【解答】解；A、(−a)2=|a|，原式计算错误，不符合题意；

B、3(−a)3=−a，原式计算正确，符合题意；

C、a3⋅(−a)2=a3⋅9.（24-25·湖南中考）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作+80米，那么向西走60米记作（

）A.−60米 B.−80米 C.+90米 D.+60米【答案】A【解析】本题考查正负数表示相反意义的量．根据正负数表示相反意义的量，向东记为正数，则向西记为负数，据此即可求解．【解答】解：将向东走80米记作+80米，说明“向东”为正方向，与之相反的“向西”应为负方向．因此，向西走60米应记作−60米．

故选：A．

10.（24-25·吉林模拟）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的−3和0，则数轴上x的值最有可能是（

）

A.1.8 B.2 C.2.3 D.5.5【答案】C【解析】本题考查了数轴，根据数轴上x的值在刻度尺的5和6之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解．【解答】解：数轴上x的值在刻度尺的5和6之间，

由题意可得，数轴上x的值的取值范围是2<x<3，

∵1.8<2，5.5>3，2=2，2<2.3<3

故数轴上x的值最有可能是2.3．

故选：C．11.（24-25·甘肃模拟）下列化简，正确的是（

）A.−(−3)=−3 B.−−(+8)=−8 C.−(+5)=5 【答案】D【解析】本题考查多重负号的化简，解题的关键是熟练掌握规则：一个数前面的负号表示取相反数；多重负号时，每两个负号相互抵消，但需根据负号的个数判断最终符号，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正．直接计算每个选项即可判断．【解答】解：A．−(−3)=3，故A错误；

B．−−(+8)=−(−8)=8，故B错误；

C．−(+5)=−5，故C错误；

D．−−(−10)=−10，故D正确．

故选：D．12.（24-25·江西模拟）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a,a+b,b，若AM>BM，则下列运算结果一定是正数的是（

）

A.a+b B.a−b C.ab D.|a|−b【答案】A【解析】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到a<0，b>0且|a|<|b|是解题的关键．

数轴上点A，M，B分别表示数a,a+b,b，则AM=a+b−a=b、BM=b−(a+b)=−a，由AM>BM可得原点在A、M之间，由它们的位置可得a<0，a+b>0，b>0且|a|<|b|，再根据整式的加减乘法运算的计算法则逐项判断即可．【解答】解：数轴上点A，M，B分别表示数a,a+b,b,

∴AM=a+b−a=b、BM=b−(a+b)=−a，

∵AM>BM，

∴原点在A，M之间，由它们的位置可得a<0，b>0且|a|<|b|，

∴a+b>0，a−b<0，ab<0,|a|−b<0，

故运算结果一定是正数的是a+b．

故选：A．13.（22-23·辽宁中考）有下列四个算式①−5++3=−8；②−−23=6A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】由有理数的加减运算法则、乘方的运算法则、除法运算法则，分别进行判断，即可得到答案．【解答】解：①−5++3=−2；故①错误；②−−23=8；故②错误；

③+56+−16=214.（24-25·达州模拟）若a，b为实数，且|a+2|+b−12=0A.0 B.1 C.−1 D.±1【答案】C【解析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列式求出a,b的值，然后代入代数式求值即可．【解答】解：由题意得：a+2=0b−12=0 ，

解得a=−2b=12 ，

∴(ab)15.（24-25·重庆模拟）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2，则显示x1−x2的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是|1−2|=1．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．

下列说法：

①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；

②若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5；

③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果为k．若k的最大值为2024，则kA.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】本题考查了绝对值，绝对值方程．理解题意并分情况求解是解题的关键．

依次输入1，2，3，4，运算结果依次为|1−2|=1，|1−3|=2，|2−4|=2，即最后输出的结果是2，可判断①的正误；将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为2或3，第三次输入为6时，全部输入完毕后显示的结果最大，最大值为|2−3|−6=5，可判断②的正误；令b为最大的正整数，当a=1时，k的最大值为b−|1−2|=2024，可求满足要求的解b=2025，此时k的最小值为1−|2025−2|=2022；当b>a>2020时，k的最大值为b−|a−2|=|b−a+2|=2024，可求满足要求的解为b−a=2022，此时k的最小值为a−|b−2|=|a−b+2|=2020；综上所述，k【解答】解：依次输入1，2，3，4，运算结果依次为|1−2|=1，|1−3|=2，|2−4|=2，∴最后输出的结果是2，①正确，故符合要求；

将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，当第一和第二次输入为2或3，第三次输入为6时，全部输入完毕后显示的结果最大，最大值为|2−3|−6=5，②正确，故符合要求；

令b为最大的正整数，当a=1时，k的最大值为b−|1−2|=2024，

解得，b=2025或b=−2023（舍去），

此时k的最小值为1−|2025−2|=2022；

当b>a>2020时，k的最大值为b−|a−2|=|b−a+2|=2024，

解得，b−a=2022或b−a=−2026（舍去），

此时k的最小值为a−|b−2|=|a−b+2|=2020；

综上所述，k的最小值为2020，

∴③正确，故符合要求；

填空题（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·上海模拟）2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为______5.635×10【答案】5.635×10【解析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于10的数写成科学记数法a×10n的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a，把整数位数减1作为n，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，【解答】解：56350000=5.635×107；

故答案为：5.635×107．17.（25-26·青海模拟）−13的倒数是_____−3__________；−3−(−5)=_______−2【答案】−3,2【解析】此题暂无解析【解答】此题考查了倒数的定义和有理数的减法法则，是一道基础性的题目，要细心计算．根据倒数的定义及有理数的减法法则求解即可．

解：−13的倒数是1÷−13=−3；

−3−(−5)=−3+5=2．

故答案为−3；18.（24-25·重庆中考）若实数x，y同时满足x−|y|=2，|x|−y=4，则xy的值为_____13【答案】13【解析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到x=|y|+2>0，|x|=y+4≥0，进而得到y≥−4，进而得到关于y的一元一次方程，求出y的值，进而求出x的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可．【解答】解：∵x−|y|=2，|x|−y=4，

∴x=|y|+2>0，|x|=y+4≥0，

∴y≥−4，

∴|x|=x=|y|+2=y+4，

当y≥0时，方程无解，

当−4≤y<0时，−y+2=y+4，

∴y=−1，

∴x=|y|+2=3，

∴xy=3−1=13；

（24-25·四川中考）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m+1____<________0．（填“>”“=”或“<”）

【答案】<【解析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得|m|>1，且m<0，故m+1<0，即可作答．【解答】解：观察数轴，得|m|>1，且m<0，

∴m<−1

即m+1<0，

故答案为：<．20.（25-26·湖南模拟）圆周率π=3.1415926⋯精确到0.001，π≈________3.142________；精确到万分位，π≈______3.1416___________．【答案】3.142,3.1416【解析】本题考查了近似数，熟练掌握四舍五入法是解题的关键；

根据四舍五入法，精确到0.001即把万分位上的数字进行四舍五入，精确到万分位，即把小数点后第5位为进行四舍五入求解即可．【解答】解：圆周率π=3.1415926⋯，精确到0.001，π≈3.142；精确到万分位，π≈3.1416

故答案为：3.142，3.1416．21.（25-26·江苏模拟）若a−3有平方根，则实数a的取值范围是__a≥3______．【答案】a≥3．【解析】根据平方根的定义列出不等式计算即可．【解答】根据题意，得a−3≥0

解得：a≥3

故答案为a≥322.（23-24·甘肃中考）定义一种新运算*，规定运算法则为：m∗n=mn−mn(m，n均为整数，且m≠0)．例：2∗3=23−2×3=2,则(−2)∗2=

【答案】8【解析】根据定义，得(−2)∗2=−22−2×【解答】根据定义，得(−2)∗2=−22−2×−2=8．23.（23-24·山东中考）计算：|2−2|+2−【答案】1【解析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．分别化简绝对值，零指数幂，再进行加减计算．【解答】解：原式=2−2+2−1，

=1．

故答案为：124.（23-24·天津模拟）有一个运算程序，可以使：a⊕b=n（n为常数）时，得(a+1)⊕b=n+1，a⊕(b+1)=n−2，现在已知1⊕1=2，那么2009⊕2009=_____−2006________．【答案】−2006【解析】由1⊕1=2得到当a=1，b=1时n=2，利用(a+1)⊕b=n+1，a⊕(b+1)=n−2得到2⊕2=1，3⊕3=0，4⊕4=−1，5⊕5=−2，然后根据此规律得到2009⊕2009=−2006．【解答】解：∵1⊕1=2(其中a=1，b=1，n=2)，

∴2⊕1=3，

2⊕2=1(此时a=2，b=2，n=1)，

3⊕2=2，

3⊕3=0(此时a=3，b=3，n=0)，

∴4⊕3=1，

4⊕4=−1，

5⊕5=−2，

…

∴2009⊕2009=−2006．

故答案为−2006．

25.（24-25·江西模拟）如图，△ABC的顶点C与AB的中点D均在数轴上，且C，D两点在数轴上对应的数分别为−3，1，当∠BCA=90∘时，AB的长为______8______．

【答案】8【解析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握以上知识是关键．

根据数轴上两点之间的距离得到CD=4，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解．【解答】解：由题意可得CD=1−(−3)=4，

∵∠BCA=90∘，点D为AB的中点，

∴AB=2CD=8，

故答案为：（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·江苏模拟）计算：(−6)×1【答案】−10【解析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可．【解答】解：原式=−2−4+(−3−1)

=−6−4

=−10．27.（25-26·全国同步）计算：−12【答案】3【解析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，化简绝对值，先化简特殊角的三角函数，负整数指数幂，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．【解答】解：−12−2−9+2−3+2sin60∘

28.（24-25·河北中考）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．计算：(−6)×12+23−56．

解：(−6)×1

(2)计算：|2−【答案】原计算第一步开始出错；−2；(2)1−2【解析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键；

(1)第一步计算分配律时符号出错；

(2)按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除．【解答】解：原计算第一步开始出错；

(−6)×12+23−56

=−6×12−6×23+6×56

=−3−4+5

29.（24-25·江苏模拟）定义f(x)=13x2+2x+1+3【答案】3【解析】本题考查了分式的混合运算、立方根的应用、数字类变化规律，先根据分式的混合运算法则得出f(x)=13x【解答】解：f(x)=13x2+2x+1+3x2−1+3x2−2x+1

=3x+1−3x−1330.（23-24·江苏模拟）如图，在数轴上，点A，B分别表示数−1，2x−3．

（1）x的取值范围是__x>1____．（2）若点C表示的数为−x+1，且点C在线段AB上，求x的取值范围．【答案】x>143【解析】（1）根据点B在点A的右侧，据此列出不等式求解即可；（2）利用(1)的结果可判断−x+1的位置，并列出不等式组求解即可．【解答】（1）解：根据题意得：−1<2x−3，解得x>1．（2）解：∵C表示的数为−x+1，且点C在线段AB上，

∴−1<−x+1<2x−3，解得：43<x<2．31.（25-26·辽宁月考）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示−6的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2．

（1）第___3___次按键后，点M正好到达原点；（2）第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少？（3）第n次按键后，点M，N到达的点表示的数互为相反数，求n的值．【答案】318n=12【解析】（1）设进行a次按键，由题意得，M点表示的数是−6+2a，因为点M正好到达原点，所以−6+2a=0，解得a的值，即得第几次按键后，点M正好到达原点；（2）第6次按键后，点M表示的数为−6+6×2=6，点N表示的数为−6−6=−12，可得点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少；（3）由题意得，M点表示的数是−6+2n，N点表示的数是−6−n，因为点M，N到达的点表示的数互为相反数，所以−6+2n+(−6−n)=0，可解得n的值．【解答】（1）解：设进行a次按键，

由题意得，M点表示的数是−6+2a，

∵点M正好到达原点，

∴−6+2a=0，

解得：，∴第3次按键后，点M正好到达原点，

故答案为：3；（2）解：第6次按键后，点M表示的数为−6+6×2=6，点N表示的数为−6−6=−12，

6−(−12)=18，

∴第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大18；（3）解：由题意得，第n次按键后，M点表示的数是−6+2n，N点表示的数是−6−n，

∵点M，N到达的点表示的数互为相反数，

∴−6+2n+(−6−n)=0，

解得：n=12．32.（25-26·江苏期中）【阅读理解】

同学们，我们来学习利用完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

近似计算算术平方根的方法．

例如求67的近似值．

因为64<67<81，

所以8<67<9，

则67可以设成以下两种形式：

①67=8+s，其中0<s<1；

因为67=8+s，

所以67=(8+s)2，

即67=64+16s+s2．

因为s2比较小，

将s2忽略不计，

所以67≈64+16s，

即16s≈67−64，

【尝试探究】（1）请用②的形式求67的近似值（结果保留2位小数）．

【比较分析】（2）你认为用哪一种形式得出的67的近似值的精确度更高，请说明理由．【答案】8.22用①的形式得出的67的近似值的精确度更高，理由见解析【解析】（1）设67=9−t，其中0<t<1，则仿照题意可得67=81−18t+t2，t2比较小，将t2忽略不计，则67≈81−18t，据此可得t≈（2）可求出8.18<67【解答】（1）解：设67=9−t，其中0<t<1，

∴672=(9−t)2，

∴67=81−18t+t2，

∵t2比较小，将t2忽略不计，（2）用①的形式得出的67的近似值的精确度更高，理由如下；

∵8.18×8.18=66.9124,8.19×8.19=67.0761，66.9124<67<67.0761，

∴8.18<67<8.19<8.22，

∴33.（24-25·江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，将任意两点Px1,y1与Qx2,y2（1）已知两点A(−1,3)、B(2,1)，则dAB=___（2）已知点M在反比例函数y=3x第一象限的图像上，若线段OM=4，求（3）已知两点A(1,0)、B(−1,4)，如果直线AB上存在点C，使得dCO=2，请直接写出点【答案】522点C的坐标为(0,2)或(【解析】（1）根据“直距”的定义即可得出答案；（2）设点M的坐标为(x,3x)，且x>0（3）设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，可求出直线AB的解析式为y=−2x+2，设点C的坐标为(m,−2m+2)，根据“直距”的定义列出等式，再分类讨论，即可解答．【解答】（1）解：dAB=−1−2|+|3−1=5，

（2）∵点M在反比例函数y=3x第一象限的图像上，

∴设点M的坐标为(x,3x)，且x>0．

∵OM=4，

∴x2+(3x)（3）设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，

将A(1,0)、B(−1,4)分别代入y=kx+b，得

k+b=0−k+b=4 ，解得k=−2b=2 ，

∴直线AB的解析式为y=−2x+2．

设点C的坐标为(m,−2m+2)，

∴dCO=|m−0|+|−2m+2−0|=2，

①当m<0时，−2m+2>0，

∴dCO=−m−2m+2=2，

解得m=0，不合题意，舍去．

②当0≤m<1时，−2m+2≥0，

∴dCO=m−2m+2=2，

解得m=0，

∴C(0,2)；

③当m>1时，−2m+2<0，

∴dCO=m+2m−2=2，

解得m=34.（23-24·江苏模拟）【背景知识】