2026中考第一轮复习（知识能力+解题思路+易错警示+真题演练）第24课时：轴对称与中心对称（学生版+教师版合并）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第24课时轴对称与中心对称一、核心知识一、核心知识（一）轴对称与轴对称图形1.基本概念轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形____________，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做____________，折叠后重合的点叫做____________。轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够____________，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的____________（轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条）。2.核心性质对应线段____________，对应角____________；对称轴是对应点所连线段的____________；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在____________上。3.常见的轴对称图形线段：有____________条对称轴（线段所在直线和线段的垂直平分线）；角：有____________条对称轴（角平分线所在直线）；等腰三角形：有____________条对称轴（底边的垂直平分线）；等边三角形：有____________条对称轴（三条边的垂直平分线）；矩形：有____________条对称轴（两组对边中点连线）；菱形：有____________条对称轴（两条对角线所在直线）；正方形：有____________条对称轴（两组对边中点连线和两条对角线所在直线）；圆：有____________条对称轴（过圆心的任意直线）。4.轴对称的判定与作图判定：两个图形的对应点所连线段被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称；作图步骤：确定已知图形的关键点；分别作出关键点关于对称轴的____________（作关键点到对称轴的垂线，延长垂线段使垂足为中点，得到对称点）；顺次连接各对称点，得到对称图形。（二）中心对称与中心对称图形1.基本概念中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转______，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做____________，旋转后重合的点叫做____________。中心对称图形：如果一个图形绕着某一个点旋转后，能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的___________。2.核心性质对应线段___________且______，对应角______；对称中心是对应点所连线段的____________。3.常见的中心对称图形线段：对称中心是___________；平行四边形：对称中心是___________；矩形：对称中心是____________；菱形：对称中心是____________；正方形：对称中心是____________；圆：对称中心是__________；正偶数边形（如正四边形、正六边形等）：对称中心是____________。4.中心对称的判定与作图判定：两个图形的对应点所连线段都经过同一点，且被这一点平分，则这两个图形关于这个点成中心对称；作图步骤：确定已知图形的关键点；分别作出关键点关于对称中心的____________（连接关键点与对称中心，延长并使对称中心为中点，得到对称点）；顺次连接各对称点，得到对称图形。（三）轴对称与中心对称的区别与联系表格项目轴对称中心对称对称轴/对称中心一条直线一个点对应点连线被对称轴____________被对称中心____________联系若一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则其对称轴必经过对称中心（四）图形的折叠与旋转（轴对称与中心对称的应用）1.图形折叠（轴对称的应用）折叠的本质：折叠前后的图形关于折痕成____________，对应边相等、对应角相等、对应点所连线段被折痕垂直平分；关键思路：利用折叠性质转化线段和角度，结合勾股定理、全等三角形等知识求解。2.图形旋转（中心对称的应用）旋转的本质：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等；中心对称是旋转的特殊情况（旋转角为180°）；关键思路：找准旋转中心、旋转方向和旋转角，利用旋转性质转化线段和角度，辅助解题。二、核心能力二、核心能力题型1轴对称与中心对称图形的识别解题思路明确定义：根据轴对称图形“折叠后直线两旁部分重合”、中心对称图形“旋转180°后与自身重合”的定义逐一判断；熟记常见图形：对常见图形的对称性烂熟于心（如：正奇数边形是轴对称图形但不是中心对称图形，正偶数边形既是轴对称图形也是中心对称图形）；易错点：注意“线段”“角”等简单图形的对称轴数量，避免遗漏（如线段有2条对称轴，而非1条）。题型2轴对称与中心对称的性质应用解题思路轴对称性质应用：求线段长度：利用“对应线段相等”或“对称轴是对应点连线的垂直平分线”，结合勾股定理计算；求角度：利用“对应角相等”，结合三角形内角和、外角性质等推导；证明线段/角相等：通过对称性质转化为对应线段/角，直接证明。中心对称性质应用：求线段长度/中点：利用“对称中心是对应点连线的中点”，结合中点性质、平行线分线段成比例等求解；证明平行或相等：利用“对应线段平行且相等”，转化线段关系。题型3图形折叠问题（折叠求边长、角度、面积）解题思路标记已知与未知：折叠后重合的边、角用相同符号标记，明确对应关系；设未知数：设关键线段长度为x，利用折叠性质表示出其他相关线段；构建方程：结合勾股定理（折叠后常形成直角三角形）、全等三角形、等腰三角形等知识建立方程，求解未知数；验证结果：确保结果符合图形实际（线段长度为正、角度合理）。题型4图形旋转问题（中心对称应用）解题思路确定旋转要素：明确旋转中心、旋转角、对应点，画出旋转后的图形；转化线段和角度：利用旋转性质将分散的线段或角度集中到一个图形中（如三角形）；结合其他知识：与全等三角形、相似三角形、勾股定理等结合，求解线段长度、角度或证明结论；中心对称特殊处理：若为中心对称，直接利用“对应点连线过对称中心且被平分”简化计算。题型5利用轴对称求最短路径解题思路核心模型：“两点之间线段最短”结合轴对称性质，将折线转化为直线；常见类型：一点到两直线的最短路径：作该点关于其中一条直线的对称点，连接对称点与另一直线上的点，与第一条直线的交点即为所求；两定点到直线上一点的最短路径：作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线的交点即为所求；关键步骤：准确作出对称点，利用两点之间线段最短确定最短路径，再计算长度。三、易错警示三、易错警示轴对称与中心对称图形识别错误错误：混淆两种图形的定义，如误将平行四边形当作轴对称图形，误将等腰三角形当作中心对称图形；遗漏简单图形的对称轴数量（如线段有2条对称轴，误记为1条）。提醒：牢记定义是根本，对常见图形的对称性分类记忆（轴对称图形：等腰三角形、正多边形、圆等；中心对称图形：平行四边形、圆等；既是轴对称又是中心对称图形：矩形、菱形、正方形、圆等）；线段的对称轴是“线段所在直线”和“垂直平分线”，角的对称轴是“角平分线所在直线”，而非线段或射线。性质应用时忽略关键条件错误：应用轴对称性质时，忘记“对称轴是对应点连线的垂直平分线”，仅认为对应线段相等而忽略垂直关系；应用中心对称性质时，误将“对应线段平行”当作必然结论（对应线段可能在同一直线上）。提醒：轴对称的核心是“垂直平分”，中心对称的核心是“平分”，解题时务必完整运用性质，不遗漏关键条件；涉及对应线段时，需结合图形判断是平行还是共线。图形折叠问题中漏用隐含条件错误：折叠问题中，仅关注对应边、对应角相等，忽略“折痕垂直平分对应点连线”的隐含条件；未利用折叠形成的直角三角形构建方程。提醒：折叠问题的关键是“折痕是对称轴”，务必利用“垂直平分”性质；折叠后常形成直角三角形，优先考虑勾股定理，设未知数建立方程是常用方法。最短路径问题中对称点作错错误：求最短路径时，作错对称点（如作关于线段的对称点而非直线的对称点）；未明确最短路径的构成，导致计算错误。提醒：最短路径问题中，对称轴是“直线”而非线段或射线，对称点需作在直线的另一侧；最短路径是“对称点与另一点的连线”，与对称轴的交点即为所求，计算时需结合图形性质（如勾股定理）。旋转问题中旋转角判断错误错误：旋转问题中，误将对应边的夹角当作旋转角；未找准旋转中心，导致对应点判断错误。提醒：旋转角是“对应点与旋转中心连线的夹角”，而非对应边的夹角；解题时先明确旋转中心，再通过对应点确定旋转角，确保旋转前后的图形对应关系正确。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·江西模拟）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A. B. C. D.2.（23-24·湖南中考）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（

）

A.中线、角平分线、高线B.角平分线、高线、中线C.高线、中线、角平分线D.角平分线、中线、高线3.（23-24云南模拟）如图，△ABC与△ABC′关于某点成中心对称，则对称中心是点（

）A.M B.N C.P D.Q4.（22-23·湖南中考）如图所示，在矩形ABCD中，AB>AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（）

A.点O为矩形ABCD的对称中心B.点O为线段AB的对称中心C.直线BD为矩形ABCD的对称轴D.直线AC为线段BD的对称轴5.（24-25·四川模拟）如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠D′EF=65∘，则A.45∘ B.50∘ C.60∘6.（24-25·广西模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（

）

A.∠1=45∘−α B.∠1=α C.∠2=7.（24-25·江苏模拟）一个正比例函数的图象经过点A2,m和点Bn,−6，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （

）A.y=3x B.y=−3x C.y=13x8.（24-25·福建模拟）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一个动点，则PA+PB的最小值是(

)

A.6 B.8 C.10 D.149.（23-24·河南中考）将5个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、A3、A4分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）

A.2cm2 B.1cm2 C.10.（24-25·陕西模拟）如图，点C是直线y=3x+6在第二象限上的一个点，点C关于x轴对称的点为D，关于y轴对称的点为E，连接DE，则线段DE的最小值为（

）

A.355 B.655 C.11.（22-23·湖北中考）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE=22，则CG的长是（

）

A.2 B.2 C.2+1 D.12.（24-25·山东模拟）将直角三角形纸片ABC(∠C=90∘)按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（

）

A.MN∥DE∥PQ B.BC=2DE=4MN

C.AN=BQ=12NQ D.13.（22-23·浙江中考）对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P(2, 3)经1次斜平移后的点的坐标为(3, 5)．已知点A的坐标为(2, 0)，点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(8, 6)，则△ABC的面积是（

）

A.12 B.14 C.16 D.1814.（24-25·浙江模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE．则下列结论：

①AD垂直平分CE；

②△BDE的周长为8；

③DC的长是83；

④△ACE的面积为965．

其中正确的结论有（

）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个15.（23-24·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为(2,0),(0,2),(−2,0)．一个电动玩具从原点O出发，按照与点A,B,C依次成中心对称跳跃．第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点PA.(−4,0) B.(4,0) C.(4,4) D.(0,−4)（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

16.（23-24·江苏模拟）在平面直角坐标系中，点P(1,5)与点与点P′(2a+b,a+2b)关于原点对称，则a−b的值为________．17.（24-25·江苏模拟）如图，已知△ABC与△A′B′18.（24-25·全国模拟）如图，△ABC关于点C(0, −1)的是△A′B′C，若点A的坐标为(−4, −3)，则点A′的坐标为19.（24-25·四川模拟）如图，△ABC与△AB′C′关于点A对称，若∠C=90∘，∠B=30∘，AC=1，则20.（24-25·安徽中考）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为10和24，求阴影部分的面积为__________．

21.（24-25·甘肃中考）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB=6cm，则AD=____________cm．

22.（24-25·福建模拟）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=120∘，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE23.（24-25·黑龙江中考）如图，在矩形ABCD中，AD=6，∠CAD=60∘，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为____________．

24.（24-25·四川中考）如图，在△ABC中，∠A=45∘，∠B=60∘，AB=22，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是____________．25.（22-23·黑龙江中考）如图，△ABC是边长为 6 的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60∘得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是

．

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·贵州模拟）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．

(2)

画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C27.（24-25·安徽模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．

（1）将△ABC先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A′B（2）画出△ABC关于点A′对称的△DEF（点A，B，C的对称点分别为点D，E，F（3）△A′B′C28.（23-24·云南中考）如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：

（1）利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB=1，BC=2，求AF的长．29.（24-25·江苏模拟）如图，在▱ABCD中，两条对角线AC,BD相交于点O，AC=BD，以AC为边向下方作菱形ACNM．

（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若菱形ACNM的周长为16，∠ACB=30∘，点D是菱形ACNM的对称中心，求点D、30.（24-25·四川中考）如图，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=kx(x>0)的图象交于点A(6,1)（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）利用图像，直接写出不等式ax+b>k（3）在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值．31.（22-23·湖北中考）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．

（1）如图1，若∠CDP=25∘，则∠DAF=（2）如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在DP绕点D转动的过程中，设AF=a，EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长．32.（24-25·吉林中考）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60∘的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：

【探究发现】如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=60∘，AB>AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF=DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．

【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN=BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H．连接FH，GN，如图②．求证：四边形GFHN是平行四边形．

【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出ADAB33.（24-25·山西中考）综合与探究

问题情境：如图，在△ABC纸片中，AB>BC，点D在边AB上，AD>BD．沿过点D的直线折叠该纸片，使DB的对应线段DB′与BC平行，且折痕与边BC交于点E，得到△DB′E，然后展平．

猜想证明：(1)判断四边形BDBE′的形状，并说明理由

拓展延伸：(2)如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点A′落在射线DB′上，且折痕与边AC交于点F，然后展平．连接A′E交边AC于点G，连接A′F．

①若AD=2BD，判断DE与A′E的位置关系，并说明理由；

②若34.（24-25·甘肃模拟）如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点(0<AE<3)，连结EO并延长，交BC于点F，四边形ABFE与A′B′FE关于EF所在直线成轴对称，线段B′F交AD边于点（1）求证：GE=GF．（2）当AE=2DG时，求AE的长．（3）如图2，连结OB′，OD，分别交AD，B′F于点H，K．记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S35.（24-25·四川模拟）在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,M为⊙O上一点，点N0,−2．对于点P给出如下定义：将点P绕点M顺时针旋转90∘，得到点P′,点P′关于点N的对称点为Q,称点Q为点P关于点M,N的“中旋点”．（1）如图1，已知点P4,0,点Q为点P关于点M,N的“中旋点”．①若点M0,1,在图中画出点Q,并直接写出OQ的长度为

；

②当点M在⊙O上运动时，直线y=x+b上存在点P关于点M,N的“中旋点”（2）点Pt,0,当点M在⊙O上运动时，若⊙O上存在点P关于点M,N的“中旋点”Q,直接写出t

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第24课时轴对称与中心对称一、核心知识一、核心知识（一）轴对称与轴对称图形1.基本概念轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形______完全重合______，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做______对称轴______，折叠后重合的点叫做______对应点______。轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够______完全重合______，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的______对称轴______（轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条）。2.核心性质对应线段______相等______，对应角______相等______；对称轴是对应点所连线段的______垂直平分线______；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在______对称轴______上。3.常见的轴对称图形线段：有______2______条对称轴（线段所在直线和线段的垂直平分线）；角：有______1______条对称轴（角平分线所在直线）；等腰三角形：有______1______条对称轴（底边的垂直平分线）；等边三角形：有______3______条对称轴（三条边的垂直平分线）；矩形：有______2______条对称轴（两组对边中点连线）；菱形：有______2______条对称轴（两条对角线所在直线）；正方形：有______4______条对称轴（两组对边中点连线和两条对角线所在直线）；圆：有______无数______条对称轴（过圆心的任意直线）。4.轴对称的判定与作图判定：两个图形的对应点所连线段被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称；作图步骤：确定已知图形的关键点；分别作出关键点关于对称轴的______对称点______（作关键点到对称轴的垂线，延长垂线段使垂足为中点，得到对称点）；顺次连接各对称点，得到对称图形。（二）中心对称与中心对称图形1.基本概念中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转______180°，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做______对称中心______，旋转后重合的点叫做______对应点______。中心对称图形：如果一个图形绕着某一个点旋转______180°后，能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的______对称中心______。2.核心性质对应线段______相等______且______平行（或在同一直线上），对应角______相等；对称中心是对应点所连线段的______中点______。3.常见的中心对称图形线段：对称中心是______线段中点______；平行四边形：对称中心是______对角线交点______；矩形：对称中心是______对角线交点______；菱形：对称中心是______对角线交点______；正方形：对称中心是______对角线交点______；圆：对称中心是______圆心______；正偶数边形（如正四边形、正六边形等）：对称中心是______对角线交点（或中心）______。4.中心对称的判定与作图判定：两个图形的对应点所连线段都经过同一点，且被这一点平分，则这两个图形关于这个点成中心对称；作图步骤：确定已知图形的关键点；分别作出关键点关于对称中心的______对称点______（连接关键点与对称中心，延长并使对称中心为中点，得到对称点）；顺次连接各对称点，得到对称图形。（三）轴对称与中心对称的区别与联系表格项目轴对称中心对称对称轴/对称中心一条直线一个点对应点连线被对称轴______垂直平分______被对称中心______平分______联系若一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则其对称轴必经过对称中心（四）图形的折叠与旋转（轴对称与中心对称的应用）1.图形折叠（轴对称的应用）折叠的本质：折叠前后的图形关于折痕成______轴对称______，对应边相等、对应角相等、对应点所连线段被折痕垂直平分；关键思路：利用折叠性质转化线段和角度，结合勾股定理、全等三角形等知识求解。2.图形旋转（中心对称的应用）旋转的本质：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等；中心对称是旋转的特殊情况（旋转角为180°）；关键思路：找准旋转中心、旋转方向和旋转角，利用旋转性质转化线段和角度，辅助解题。二、核心能力二、核心能力题型1轴对称与中心对称图形的识别解题思路明确定义：根据轴对称图形“折叠后直线两旁部分重合”、中心对称图形“旋转180°后与自身重合”的定义逐一判断；熟记常见图形：对常见图形的对称性烂熟于心（如：正奇数边形是轴对称图形但不是中心对称图形，正偶数边形既是轴对称图形也是中心对称图形）；易错点：注意“线段”“角”等简单图形的对称轴数量，避免遗漏（如线段有2条对称轴，而非1条）。题型2轴对称与中心对称的性质应用解题思路轴对称性质应用：求线段长度：利用“对应线段相等”或“对称轴是对应点连线的垂直平分线”，结合勾股定理计算；求角度：利用“对应角相等”，结合三角形内角和、外角性质等推导；证明线段/角相等：通过对称性质转化为对应线段/角，直接证明。中心对称性质应用：求线段长度/中点：利用“对称中心是对应点连线的中点”，结合中点性质、平行线分线段成比例等求解；证明平行或相等：利用“对应线段平行且相等”，转化线段关系。题型3图形折叠问题（折叠求边长、角度、面积）解题思路标记已知与未知：折叠后重合的边、角用相同符号标记，明确对应关系；设未知数：设关键线段长度为x，利用折叠性质表示出其他相关线段；构建方程：结合勾股定理（折叠后常形成直角三角形）、全等三角形、等腰三角形等知识建立方程，求解未知数；验证结果：确保结果符合图形实际（线段长度为正、角度合理）。题型4图形旋转问题（中心对称应用）解题思路确定旋转要素：明确旋转中心、旋转角、对应点，画出旋转后的图形；转化线段和角度：利用旋转性质将分散的线段或角度集中到一个图形中（如三角形）；结合其他知识：与全等三角形、相似三角形、勾股定理等结合，求解线段长度、角度或证明结论；中心对称特殊处理：若为中心对称，直接利用“对应点连线过对称中心且被平分”简化计算。题型5利用轴对称求最短路径解题思路核心模型：“两点之间线段最短”结合轴对称性质，将折线转化为直线；常见类型：一点到两直线的最短路径：作该点关于其中一条直线的对称点，连接对称点与另一直线上的点，与第一条直线的交点即为所求；两定点到直线上一点的最短路径：作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，与直线的交点即为所求；关键步骤：准确作出对称点，利用两点之间线段最短确定最短路径，再计算长度。三、易错警示三、易错警示轴对称与中心对称图形识别错误错误：混淆两种图形的定义，如误将平行四边形当作轴对称图形，误将等腰三角形当作中心对称图形；遗漏简单图形的对称轴数量（如线段有2条对称轴，误记为1条）。提醒：牢记定义是根本，对常见图形的对称性分类记忆（轴对称图形：等腰三角形、正多边形、圆等；中心对称图形：平行四边形、圆等；既是轴对称又是中心对称图形：矩形、菱形、正方形、圆等）；线段的对称轴是“线段所在直线”和“垂直平分线”，角的对称轴是“角平分线所在直线”，而非线段或射线。性质应用时忽略关键条件错误：应用轴对称性质时，忘记“对称轴是对应点连线的垂直平分线”，仅认为对应线段相等而忽略垂直关系；应用中心对称性质时，误将“对应线段平行”当作必然结论（对应线段可能在同一直线上）。提醒：轴对称的核心是“垂直平分”，中心对称的核心是“平分”，解题时务必完整运用性质，不遗漏关键条件；涉及对应线段时，需结合图形判断是平行还是共线。图形折叠问题中漏用隐含条件错误：折叠问题中，仅关注对应边、对应角相等，忽略“折痕垂直平分对应点连线”的隐含条件；未利用折叠形成的直角三角形构建方程。提醒：折叠问题的关键是“折痕是对称轴”，务必利用“垂直平分”性质；折叠后常形成直角三角形，优先考虑勾股定理，设未知数建立方程是常用方法。最短路径问题中对称点作错错误：求最短路径时，作错对称点（如作关于线段的对称点而非直线的对称点）；未明确最短路径的构成，导致计算错误。提醒：最短路径问题中，对称轴是“直线”而非线段或射线，对称点需作在直线的另一侧；最短路径是“对称点与另一点的连线”，与对称轴的交点即为所求，计算时需结合图形性质（如勾股定理）。旋转问题中旋转角判断错误错误：旋转问题中，误将对应边的夹角当作旋转角；未找准旋转中心，导致对应点判断错误。提醒：旋转角是“对应点与旋转中心连线的夹角”，而非对应边的夹角；解题时先明确旋转中心，再通过对应点确定旋转角，确保旋转前后的图形对应关系正确。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·江西模拟）我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180∘，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可．【解答】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；

D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

故选：B．2.（23-24·湖南中考）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（

）

A.中线、角平分线、高线B.角平分线、高线、中线C.高线、中线、角平分线D.角平分线、中线、高线【答案】B【解析】本题考查了轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，解题关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义．

根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解．【解答】解：由图①的折叠方式可知，∠BAD=∠CAD，

所以AD是△ABC的角平分线．

由图②的折叠方式可知，∠ADB=∠ADB′，

因为∠ADB+∠ADB′=180∘，

所以∠ADB=∠ADB′=90∘，

所以AD⊥BC，

所以AD是△ABC的高线．

由图③的折叠方式可知，CD=BD，

所以AD是3.（23-24云南模拟）如图，△ABC与△ABC′A.M B.N C.P D.Q【答案】C【解析】此题主要考查了中心对称。熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键。中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

连接AA′,BB′交于点P【解答】解：如图,连接AA′,BB′交于点P,

所以对称中心是点P.

故选：C4.（22-23·湖南中考）如图所示，在矩形ABCD中，AB>AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（）

A.点O为矩形ABCD的对称中心B.点O为线段AB的对称中心C.直线BD为矩形ABCD的对称轴D.直线AC为线段BD的对称轴【答案】A【解析】根据矩形的性质、轴对称图形的性质和中心对称图形的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【解答】解：矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，故选项A正确，符合题意；

线段AB的中点是为线段AB的对称中心，故选项B错误，不符合题意；

矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，故选项C错误，不符合题意；

过线段BD的中点的垂线是线段BD的对称轴，故选项D错误，不符合题意；

故选：A．5.（24-25·四川模拟）如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠D′EF=65∘A.45∘ B.50∘ C.60∘【答案】B【解析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，平行线的性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键．

由折叠的性质可知，∠DEF=∠D′EF=65∘，∠EFC′=∠EFC，由【解答】解：由折叠的性质可知，∠DEF=∠D′EF=65∘，∠EFC′=∠EFC，

∵AD∥BC，

∴∠EFC′=∠EFC=180∘6.（24-25·广西模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（

）A.∠1=45∘−α B.∠1=α C.∠2=【答案】D【解析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得AD // BC，∠C=90∘，则∠ADB=∠1，进而根据折叠的性质得出2∠1=90∘−α【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD // BC，∠C=90∘

∴∠ADB=∠1

∵折叠

∴∠ADB=∠A′DB

∴∠1=∠A′DB

∵∠DEC=90∘−α，即2∠1=90∘−α

∴∠1=45∘−12α，故A不正确

∵∠BDE≠∠CDE

∴∠1≠α，故B不正确

∵折叠，7.（24-25·江苏模拟）一个正比例函数的图象经过点A2,m和点Bn,−6，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 A.y=3x B.y=−3x C.y=13x【答案】A【解析】根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出A,B的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．【解答】解：∵点A与点B关于原点对称，∴m=6,n=−2，

∴A2,6，B−2,−6，

设正比例函数的解析式为y=kxk≠0，把A2,6代入，得k=3，

∴y=3x.

故此题答案为A．8.（24-25·福建模拟）如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一个动点，则PA+PB的最小值是(

)

A.6 B.8 C.10 D.14【答案】B【解析】根据线段的垂直平分线的性质可得BE=EC，根据两点之间线段最短即可求解．【解答】解：如图，连接BP，

∵EF是BC的垂直平分线，

∴BP=CP，

根据两点之间线段最短，

PA+PB=PA+PC=AC为最小值，

此时点P为EF与AC的交点．

所以PA+PB的最小值即为AC的长，AC=8，

所以PA+PB的最小值为8．

故选B．9.（23-24·河南中考）将5个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、A3、A4分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）A.2cm2 B.1cm2 C.【答案】C【解析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n−1阴影部分的和．【解答】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交则AP=AN,∠APF=∠ANE=45∘,

∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90∘,

∴∠PAF=∠NAE,

∴△PAF≅△NAE,

∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，

而△NAP的面积是正方形的面积的14，而正方形的面积为4，

∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2

10.（24-25·陕西模拟）如图，点C是直线y=3x+6在第二象限上的一个点，点C关于x轴对称的点为D，关于y轴对称的点为E，连接DE，则线段DE的最小值为（

）

A.355 B.655 C.【答案】D【解析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称和关于原点对称，设直线y=3x+6分别与x轴，y轴交于G，H，连接OC，则G(−2,0),H(0,6)，利用勾股定理求出GH的长；设C(m,3m+6)，根据轴对称的性质得到OC=OD,OC=OE，D(m,−3m−6),E(−m,3m+6)，则点D和点E关于原点对称，故D、O、E三点共线，可推出DE=OD+OE=2OC，则当OC⊥GH时，OC有最小值，即此时DE有最小值，利用等面积法求出OC的长即可得到答案．【解答】解：设直线y=3x+6分别与x轴，y轴交于G，H，连接OC，

在y=3x+6中，当y=3x+6=0时，x=−2，当x=0时，y=6，

∴G(−2,0),H(0,6)，

∴OG=2,OH=6，

∴GH=OG2+OH2=210；

设C(m,3m+6)，

∵点C关于x轴对称的点为D，关于y轴对称的点为E，

∴OC=OD,OC=OE，D(m,−3m−6),E(−m,3m+6)，

∴点D和点E关于原点对称，

∴D、O、E三点共线，

∴DE=OD+OE=2OC，

∴当OC⊥GH时，OC有最小值，即此时DE有最小值，

∵此时S△GOH=12OG⋅OH=12GH⋅OC，

∴OC=111.（22-23·湖北中考）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE=22，则CG的长是（

）

A.2 B.2 C.2+1 D.【答案】B【解析】如图，过G作GH⊥BC于H，由对折可得：BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90∘=∠DFE，∠FBE=∠CBE，证明∠DEF=∠FDE=45∘，而DE=22，可得DF=EF=DE⋅sin45∘=2，求解CD=BC=22+2=BF【解答】解：如图，过G作GH⊥BC于H，

∵正方形ABCD，

∴BC=CD=AB=AD，∠BCD=∠ADC=90∘，∠DBC=∠BDC=45∘，AC=BD，OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，

由对折可得：BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90∘=∠DFE，∠FBE=∠CBE，

∴∠DEF=∠FDE=45∘，而DE=22，

∴DF=EF=DE⋅sin45∘=2，

∴CD=BC=22+2=BF，

∴AC=BD=BF+DF=22+4，

∴OB=12BD=2+2，

∵∠FBE=∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD，

∴OG=HG，

∵BG=BG，

∴Rt△OBG≅Rt△HBG12.（24-25·山东模拟）将直角三角形纸片ABC(∠C=90∘)按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（

）

A.MN∥DE∥PQ B.BC=2DE=4MN

C.AN=BQ=12NQ D.MN【答案】D【解析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．

由折叠可得：DE⊥AC,PQ⊥AC,MN⊥AC，AM=MD=DP=PC，则MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可．【解答】解：由折叠可得：DE⊥AC,PQ⊥AC,MN⊥AC，AM=MD=DP=PC，

∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正确，不符合题意；

∴△ADE∽△ACB∽△AMN，

∴DEBC=ADAC=12，MNDE=AMAD=12，

∴BC=2DE，DE=2MN，

∴BC=4MN，

∴BC=2DE=4MN，故B正确，不符合题意；

∵MN∥PQ∥BC，

∴PCAC=BQAB=14，AMAC=ANAB=14，PMAC=QNAB13.（22-23·浙江中考）对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P(2, 3)经1次斜平移后的点的坐标为(3, 5)．已知点A的坐标为(2, 0)，点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(8, 6)，则△ABC的面积是（

）

A.12 B.14 C.16 D.18【答案】A【解析】连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB=90，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．【解答】解：连接CQ，如图：

由中心对称可知，AQ=BQ，

由轴对称可知：BQ=CQ，

∴AQ=CQ=BQ，

∴∠QAC=∠ACQ，∠QBC=∠QCB，

∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB=180∘，

∴∠ACQ+∠QCB=90∘，

∴∠ACB=90∘，

∴△ABC是直角三角形，

延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，

∵A(2, 0)，C(8, 6)，

∴AF=CF=6，

∴△ACF是等腰直角三角形，

∵∠ACE=180∘−∠ACB=90∘，

∴∠AEC=45∘，

∴E点坐标为(14, 0)，

设直线BE的解析式为y=kx+b，

∵C，E点在直线上，

可得：14k+b=08k+b=6，

解得：k=−1b=14，

∴y=−x+14，

∵点B由点A经n次斜平移得到，

∴点B(n+2, 2n)，由2n=−n−2+14，

解得：n=4

14.（24-25·浙江模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE．则下列结论：

①AD垂直平分CE；

②△BDE的周长为8；

③DC的长是83；

④△ACE的面积为965．

其中正确的结论有（

）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据角平分线的定义和垂线的定义，易证△ACD≅△AED(AAS)，可判断①结论；由勾股定理求出AB=10，再结合全等三角形的性质，可判断②结论；设DC=DE=a，利用勾股定理解方程，可判断③结论；根据等高三角形面积之比等于高所在的边之比，可判断④结论．【解答】解：∵AD平分∠CAB

∴∠CAD=∠EAD，

∵DE⊥AB，

∴∠AED=∠ACD=90∘，

又∵AD=AD，

∴△ACD≅△AED(AAS)，

∴AC=AE，DC=DE，

∴AD垂直平分CE，①结论正确；

在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，

∴AB=AC2+BC2=10，

∵△ACD≅△AED，

∴AC=AE=8，DC=DE，

∴BE=AB−AE=2，

∴△BDE的周长=DE+BD+BE=DC+BD+BE=BC+BE=6+2=8，②结论正确；

设DC=DE=a，则BD=BC−DC=6−a

在Rt△BED中，DE2+BE2=BD2，

∴a2+22=(6−a)2，

解得：a=83，

∴DC的长是83，③结论正确；

在△ABC15.（23-24·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为(2,0),(0,2),(−2,0)．一个电动玩具从原点O出发，按照与点A,B,C依次成中心对称跳跃．第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点A.(−4,0) B.(4,0) C.(4,4) D.(0,−4)【答案】D【解析】本题主要考查了中心对称，点的坐标的规律，解题关键是理解中心对称的概念．先求出P1、P2、P3、P4、P5、P6、【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别为(2,0)，(0,2)，(−2,0)，一个电动玩具从原点O出发，按照与点A，B，C依次成中心对称跳跃，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称，

∴点P1的横坐标为2×2=4，纵坐标为2×0=0，

∴点P14,0，

∵第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称，

∴点P2的横坐标为2×0−4=−4，纵坐标为2×2=4，

∴P2−4,4，

∵第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称，

∴点P3的横坐标为2×(−2)+4=0，纵坐标为2×0−4=−4，

∴P30,−4，

∵第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称，

∴点P4的横坐标为2×2=4，纵坐标为2×0+4=4，

∴P44,4，

∵第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称，

∴点P5的横坐标为2×0−4=−4，纵坐标为2×2−4=0，

∴P5−4,0，

∵第六次跳跃到点P6，使得点P6与点P5关于点C成中心对称，

∴点P6的横坐标为2×(−2)+4=0，纵坐标为2×0−0=0，

∴P60,0，

∵第七次跳跃到点P7，使得点P7与点P（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

16.（23-24·江苏模拟）在平面直角坐标系中，点P(1,5)与点与点P′(2a+b,a+2b)关于原点对称，则a−b的值为____4【答案】4【解析】本题主要考查二元一次方程组的应用,熟知坐标关于原点对称的坐标特点是解题的关键.先根据坐标与原点对称得到横纵坐标互为相反数列出方程求得a、b的值,然后代入计算即可.【解答】解：∵点P(1,5)与点P′(2a+b,a+2b)关于原点对称，

∴2a+b=−1 a+2b=−5,解得:a=1 b=−3, ∴a−b=1−(−3)=1+3=4. 

17.（24-25·江苏模拟）如图，已知△ABC与△A′B′C′【答案】P【解析】此题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接对应点BB′、CC【解答】解：如图所示，连接BB′、CC′，交点P即为对称中心点．

故答案为：P．18.（24-25·全国模拟）如图，△ABC关于点C(0, −1)的是△A′B′C，若点A的坐标为(−4, −3)，则点A′的坐标为

【答案】(4, 1)【解析】分别过A，A′向y轴引垂线，可得△A′EC≅△ADC，利用全等得到A到x轴，【解答】作A′E⊥y轴于点E，AD⊥y轴于点D，则∠A′EC=∠ADC，

∵点A的坐标为(−4, −3)，点C(0, −1)，

∴AD=4，OD=3，OC=1，

由旋转的性质得AC=A′C，

∵∠A′CE=∠ACD，AC=A′C，

∴△A′EC≅△ADC(AAS)，

∴AD=A′E=4，CE=CD，

∴CD=OD−OC=2，

∴CE=2，19.（24-25·四川模拟）如图，△ABC与△AB′C′关于点A对称，若∠C=90∘，∠B=30∘，AC=1，则B【答案】4【解析】∵根据对称的性质得到AB′=AB，利用直角三角形30∘角的性质求出AB=2AC=2，即可求出【解答】解：∵△ABC与△AB′C′关于点A对称，

∴△ABC≅△AB′C′，

∴AB′=AB，

∵∠C=90∘，∠B=30∘，AC=1，

∴AB=2AC=2，20.（24-25·安徽中考）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为10和24，求阴影部分的面积为___60_________．

【答案】60【解析】本题考查了菱形的性质、中心对称图形的性质、菱形的面积公式，熟知菱形的面积公式，利用菱形的性质判断出阴影的面积是菱形面积的一半是解答的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，再根据菱形是中心对称图形判断出阴影的面积是菱形面积的一半即可解答．【解答】解：如图所示：

∵菱形ABCD的两条对角线的长分别为10和24，

∴菱形ABCD的面积=12×10×24=120，

∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，

∴△BOE≅△DOF，

∴阴影部分的面积=12S菱形

21.（24-25·甘肃中考）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB=6cm，则AD=______12_______cm．

【答案】12【解析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，折叠得到∠BCA=∠ECA，平行线的性质，得到∠EAC=∠BCA，进而得到∠EAC=∠ECA，等边三角形的性质，结合三角形的外角推出∠ACE=∠CAE=30∘，进而得到∠ACD=90∘，再根据含30度角的直角三角形的性质，得到【解答】解：∵折叠，

∴∠BCA=∠ECA，

∵平行四边形纸片ABCD，

∴AD∥BC,CD=AB=6cm，

∴∠EAC=∠BCA，

∴∠EAC=∠ECA，

∵△CED为等边三角形，

∴∠CED=∠ECD=60∘，

∵∠EAC=∠ECA，∠CED=∠EAC+∠ACE=60∘，

∴∠ACE=∠CAE=30∘，

∴∠ACD=∠ACE+∠DCE=90∘，

∴AD=2CD=12cm；22.（24-25·福建模拟）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=120∘，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为_____【答案】37−3/−3+37【解析】过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，根据平行四边形的性质以及已知条件得出∠ADC=∠ABC=120∘,∠HDC=60∘，进而求得DH,HC，根据折叠的性质得出CB=CE【解答】解：如图所示，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，

∵在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=120∘，

∴∠ADC=∠ABC=120∘,∠HDC=60∘，CD=AB=6，AD=CB=8，

∴DH=DC×cos∠HDC=12DC=3，

在Rt△ECH中，HC=CD2−DH2=62−32=33

∵将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，

∴∠AEB=∠CEB

又AD // BC

∴∠EBC=∠AEB

∴∠EBC=∠CEB

∴CE=BC=823.（24-25·黑龙江中考）如图，在矩形ABCD中，AD=6，∠CAD=60∘，点E是边CD的中点，点F是对角线AC上一动点，作点C关于直线EF的对称点P，若PE⊥AC，则CF的长为____3或9_________．

【答案】3或9【解析】本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，根据题意画出示意图，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，当点P在AC上方时，由勾股定理求出CD=63，进而得到CE=12CD=33，由点C关于直线EF的对称点P，得到PE=CE=33，∠EGC=∠EGP=90∘，求出∠CEH=∠CAD=60∘，进而得到∠PEC=120∘，再求出∠CPE=∠PCE=12(180∘−∠PEC)=30∘，证明△CEF是等腰三角形，在Rt△CEH中，解直角三角形求出【解答】解：如图所示，连接PC，交直线EF于点G，延长PE交AC于点H，

当点P在AC上方时，

∵在矩形ABCD中，AD=6，∠CAD=60∘，

∴∠ACD=30∘，

∴AC=2AD=12，

∴CD=AC2−AD2=63，

∵点E是边CD的中点，

∴CE=12CD=33，

∵点C关于直线EF的对称点P，

∴PE=CE=33，∠EGC=∠EGP=90∘，

∵PH⊥AC，

∴∠EHC=∠EHF=90∘，

∵∠ACD=30∘，∠ACD+∠CEH=∠ACD+∠CAD=90∘，

∴∠CEH=∠CAD=60∘，

∴∠PEC=120∘，

∵PE=CE，

∴∠CPE=∠PCE=12(180∘−∠PEC)=30∘；

∵∠PEG=∠FEH，∠EGP=∠EHF=90∘，

∴∠CPE=∠EFC=30∘，

∴△CEF是等腰三角形，

∴CH=FH=12CF，

在Rt△CEH中，CE=33，∠HCE=30∘，

∴CH=CE⋅cos∠HCE=33×32=92，

∴CF=2CH=9；

如图，当点P在AC下方时，

∵PE⊥AC，

24.（24-25·四川中考）如图，在△ABC中，∠A=45∘，∠B=60∘，AB=22，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是_____2【答案】23【解析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，作点D关于AB,AC的对称点N,M，连接AM,AN,EN,FN,MN,AD，得出△AMN是等腰直角三角形，当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，进而求得AD，即可求解．【解答】解：如图，作点D关于AB,AC的对称点N,M，连接AM,AN,EN,FN,MN,AD，

∴△DEF周长为DE+EF+FD=NE+EF+FM≥MN，

当N,E,F,M四点共线时取得最小值，

∵N,M是D关于AB,AC的对称点，

∴∠1=∠2,∠3=∠4，AN=AD=AM

又∵∠2+∠3=45∘

∴∠NAM=∠1+∠2+∠3+∠4=90∘

∴△AMN是等腰直角三角形，

∴MN=2AN=2AD

∴当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小

又∵∠B=60∘，AB=22，

∴ADmin=ABsin6025.（22-23·黑龙江中考）如图，△ABC是边长为 6 的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60∘得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是

3+33

．

【答案】3+33/3【解析】根据题意，证明△CBE≅△CAF，进而得出F点在射线AF上运动，作点C关于AF的对称点C′，连接DC′，设CC′交AF于点O，则∠AOC=90∘，则当D,F,C′三点共线时，【解答】解：∵E为高BD上的动点．∴∠CBE=12∠ABC=30∘

∵将CE绕点C顺时针旋转60∘得到CF．△ABC是边长为 6 的等边三角形，

∴CE=CF,∠ECF=∠BCA=60∘,BC=AC

∴△CBE≅△CAF

∴∠CAF=∠CBE=30∘，

∴F点在射线AF上运动，

如图所示，

作点C关于AF的对称点C′，连接DC′，设CC′交AF于点O，则∠AOC=90∘

在Rt△AOC中，∠CAO=30∘，则CO=12AC=3，

则当D,F,C′三点共线时，FC+FD取得最小值，即FC+FD=F′C′+F

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·贵州模拟）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．

(2)

画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C【答案】解：所画图形如图所示，△A1B1C1即为所求．

点C1的坐标为(4, 1)，

【解析】此题暂无解析【解答】解：所画图形如图所示，△A1B1C1即为所求．

点C1的坐标为(4, 1)，

故答案为：(4, 1)．27.（24-25·安徽模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．

（1）将△ABC先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A′B（2）画出△ABC关于点A′对称的△DEF（点A，B，C的对称点分别为点D，E，F（3）△A′B′C【答案】见解答见解答是，画图见解析【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点的位置，进而得出答案；（2）利用中心对称的性质得出对应点的位置，进而得出答案；（3）根据对称点连线交于一点即可判断否成中心对称并得到对称中心的位置．【解答】（1）解：如图所示，△A′B′C（2）解：如图所示，△DEF即为所求，

（3）解：△A′B′C′与△DEF成中心对称，

点M28.（23-24·云南中考）如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：

（1）利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB=1，BC=2，求AF的长．【答案】作图见解答34【解析】（1）以D为圆心，DC为半径画弧，以B为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，BE即可；（2）如图，证明AD=BC=2，AB=CD=1，AD // BC，∠A=90∘，可得∠ADB=∠CBD，证明FB=FD，设AF=x，则DF=2−x，可得【解答】（1）解：如图，△BED即为所求作的三角形；

由作图可得：DE=DC，BE=BC，BD=BD，

∴△BCD≅△BED，

∴△BED即为所求作的三角形；（2）解：如图，∵矩形ABCD，

∴AD=BC=2，AB=CD=1，AD // BC，∠A=90∘，

∴∠ADB=∠CBD，

∵∠EBD=∠CBD，

∴∠FBD=∠FDB，

∴FB=FD，

设AF=x，则DF=2−x，

∴12+x2=(2−x)2，

29.（24-25·江苏模拟）如图，在▱ABCD中，两条对角线AC,BD相交于点O，AC=BD，以AC为边向下方作菱形ACNM．

（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）若菱形ACNM的周长为16，∠ACB=30∘，点D是菱形ACNM的对称中心，求点D、【答案】四边形ABCD是矩形，理由见解析2【解析】（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断；（2）根据菱形的性质可知：点D、M之间的距离等于点D到点C的距离，求出CD即可得解．【解答】（1）解：四边形ABCD是矩形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形．（2）解：∵菱形ACNM的周长为16，

∴AC=AM=MN=CN=4，

在矩形ABCD中，∠ABC=90∘，CD=AB，

∵∠ACB=30∘，

∴AB=12AC=2，

∴CD=AB=2，

∵点D是菱形ACNM的对称中心，

∴点D、M之间的距离等于点D到点C的距离，

即点D30.（24-25·四川中考）如图，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=kx(x>0)的图象交于点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）利用图像，直接写出不等式ax+b>kx的解集为__（3）在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值．【答案】y2=6x2<x<6当点C的坐标为(5,0)时，△ABC的周长有最小值，最小值为4【解析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；（2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案；（3）作点B关于x轴的对称点D，连接BC,AC,DC,AD，则D(2,−3)，由轴对称的性质可得DC=BC；由两点距离计算公式可得AB=25，则可推出△ABC的周长=AC+BC+25，根据AC+DC≥AD，可推出当A、C、D三点共线时，AC+DC有最小值，即此时△ABC的周长有最小值，最小值为AD+25，利用两点距离计算公式可得AD=42，则△ABC的周长的最小值为42+25；求出直线AD解析式为y=x−5，在y=x−5【解答】（1）解：∵反比例函数y2=kx(x>0)的图象经过A(6,1)，

∴1=k6，

解得k=6，

∴反比例函数的解析式为y2=6x(x>0)；

在y2=6x(x>0)中，当x=2时，y2=62=3，

∴B(2,3)，

∵一次函数（2）解：由函数图象可知，当一次函数y1=−12x+4的图象在反比例函数y2=6x(x>0)（3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接BC,AC,DC,AD，则D(2,−3)，

由轴对称的性质可得DC=BC；

∵A(6,1)，B(2,3)，

∴AB=(2−6)2+(3−1)2=25，

∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AC+BC+25，

∴当AC+BC有最小值时，△ABC的周长有最小值，

∵AC+BC=AC+DC，

∴当AC+DC有最小值时，△ABC的周长有最小值，

∵AC+DC≥AD，

∴当A、C、D三点共线时，AC+DC有最小值，即此时△ABC的周长有最小值，最小值为AD+25，

∵A(6,1)，D(2,−3)，

∴AD=(2−6)2+(−3−1)2=42，

∴△ABC的周长的最小值为42+25；

设直线AD解析式为y=k1x+b1，则6k+b=12k+b=−3 ，

∴k=1b=−5 ，

31.（22-23·湖北中考）过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．

（1）如图1，若∠CDP=25∘，则∠DAF=

20（2）如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在DP绕点D转动的过程中，设AF=a，EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长．【答案】20;;或或.【解析】（1）如图1，连接，，由对称知，,由四边形是正方形得，所以，从而；（2）如图2，连接，，，，交于点H，由轴对称知，,，，可证得，由勾股定理得，中，，中，，从而；（3）由勾股定理，得CH=HE=FH=22b，DH=CD2−CH2=22a，分情况讨论：当点F在D, H之间时，DF=DH−FH=【解答】（1）如图1，连接CE，DE，∵点C关于直线DP的对称点为点E，

∴CD，ED关于DP对称，

∴∠CDP=∠EDP=25∘，CD=ED,

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，

∴AD=ED，

图1

∴∠DAE=∠DEA=12(180∘−∠ADE)=（2）解：CD2=12AF2+EF2.理由如下：如图2，连接CF，DE，AC，CE，交DP于点H，

由轴对称知，CF=EF, CD=DE=AD，∠DEF=∠DCF,

图2

而∠DEF=∠DAF，

∴∠DAF=∠DCF，

∴∠FAC+∠FCA=∠FAC+∠DAF+∠DCA=90∘，

∴∠AFC=180∘（3）(3)∵∠AFC=90∘，CF=EF=b，∴CH=HE=FH=22b，

∵CD2=12AF2+EF2=12a2+b2，

∴DH=CD2−CH2=12(a2+b2）−（22b）2=22a,

如图332.（24-25·吉林中考）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60∘的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：

【探究发现】如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=60∘，AB>AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF=DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．

【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN=BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H．连接FH，GN，如图②．求证：四边形GFHN是平行四边形．

【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出AD【答案】[探究发现]：四边形DEGF是菱形，理由见解析；[探究证明]：四边形GFHN是平行四边形；[探究提升]：四边形GFHN为轴对称图形时，ADAB的值为12或23【解析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理；

[探究发现]由将△DEF沿EF翻折得到△GEF，即知DE=GE，DF=GF，而DF=DE，故GE=DE=DF=GF；

[探究证明]同探究发现可知四边形BMHN是菱形，有NH // BC，而E为边AD的中点，M为边BC的中点，四边形ABCD是平行四边形，即可得DE=BM，AD // NH，又DE=FG，FG // AD，故FG=DE=BM=HN，FG // NH，从而四边形GFHN是平行四边形；

[探究提升]若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，设AT=x，则AE=2x，可得AD=2AE=4x，DE=AE=2x，求出AB=AT+TK+KN+BN=x+2x+3x+2x=8x，即可得ADAB=12；当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W，设AD=y，求出AB=3【解答】[探究发现]：解：四边形DEGF是菱形，理由如下：

∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，

∴DE=GE，DF=GF，

∵DF=DE，

∴GE=DE=DF=GF，

∴四边形DEGF是菱形；

[探究证明]：证明：如图：

∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，

∴BN=HN，BM=HM，

∵BN=BM，

∴HN=BN=BM=HM，

∴四边形BMHN是菱形，

∴NH // BC，

∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，

∴DE=12AD，B