北京市第二十七中学2026-2027学年九年级（上）开学数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年北京市第二十七中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数y=中，自变量x的取值范围是（）A.x＞1 B.x≥1 C.x＜1 D.x≤12.如图，在▱ABCD中，BD平分∠ABC，若∠ABD=70°，则∠C的大小为（）A.40°

B.60°

C.70°

D.140°3.下列函数图象中，y随x的增大而增大的是（）A. B.

C. D.4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.5.△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c,下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A.∠A+∠B=90° B.∠A：∠B：∠C=1：2：3

C. D.6.某校合唱比赛，共有六位评委现场打分，去掉一个最高分和一个最低分后的4个有效分数与6个原始分数相比，一定不变的统计量是（）A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差7.下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）A.正方形的面积S随着边长x的变化而变化

B.圆的周长C随着半径r的变化而变化

C.面积为20的三角形的一边a,随着这边上的高h的变化而变化

D.矩形的一边长为a,比它的邻边短2，矩形的周长l随着边长a的变化而变化8.如图，将四个全等的直角三角形△ABF，△BCG，△CDH，△DAE围成大正方形ABCD，中间是小正方形EFGH.连接大、小正方形的对角线均交于点O，连接AH，BE，CF，DG.若DE=2AE，下面三个结论：①AH=2OH；②∠BAE=∠OAH；③S正方形ABCD=10S△AOH（S表示图形的面积）.其中所有正确结论的序号是（）A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.计算：=

．10.在平面直角坐标系xOy中，将直线y=3x向下平移1个单位长度后，得到的直线解析式为

.11.写出一个使式子“”成立的a的值，这个值可以是

.12.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+1（k≠0）经过第一、二、三象限，写出一个满足题意的k的值

.13.如图，平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（4，0），点C为AB的中点，则线段OC的长为

．

14.如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图.观察图形，甲、乙这10次射击训练成绩的方差

（填“＞”，“＜”或“=”），可知射击成绩更稳定的运动员是

（填“甲”或“乙”）.15.图1是一种常见的倾斜式停车位.将其中一个停车位抽象成▱ABCD，车辆停放区域的轮廓近似看成矩形EBFD，如图2所示.已知∠A=45°，AB=7m,BC=3.5m.现有一辆长4.8m,宽1.8m的轿车，

（填“能”或“不能”）完全停入矩形EBFD内.（参考数值：≈1.4，≈1.7）16.某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件.在该时段内，每名工人只能加工A零件2件，或B零件1件，或C零件4件.工厂要求加工A零件的总数至少8件，B零件的总数至少11件，C零件和A零件的总数相等.若加工A零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；

加工B零件每件获利700元；加工C零件每件获利180元.

（1）当安排2名工人加工C零件时，安排加工B零件的工人人数为

；

（2）当安排

名工人加工C零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为

元.三、计算题：本大题共1小题，共6分。17.计算：.四、解答题：本题共9小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题7分)

已知：如图，∠MON.求作：∠MON的平分线.

作法：

①以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别O交∠MON的两边于点A，B；

②分别以点A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧交于点P（不与点O重合）；

③作射线OP.射线OP即为所求.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接AP，BP.

∵OA=OB=

______=

______，

∴四边形OAPB是

______（

______）（填推理的依据），

∴.射线OP是∠MON的平分线（

______）（填推理的依据）.19.(本小题7分)

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x-3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.

（1）求A，B两点的坐标；

（2）画出一次函数y=x-3的图象；

（3）当x______时，y＞0.20.(本小题7分)

“勾股容方”记载于《九章算术》，研究了直角三角形的直角边和与它具有公共直角的内接正方形的边长之间的数量关系.与直角三角形具有公共直角的内接正方形指的是如图1所示的正方形，它的一个顶点和直角顶点重合，另外三个顶点在三条边上.数学家刘徽根据图2、图3用出入相补原理证明了“勾股容方”公式：，其中a,b是直角三角形的直角边，x是内接正方形的边长.补全证明过程（用含a,b或x的式子表示）：

证明：

（1）图2是由两个图1拼成的矩形（无缝隙、不重叠），则这个矩形的面积为______；

（2）图3是由图2中的直角三角形及正方形重新组合拼成的新矩形（无缝隙、不重叠），则新矩形的一边长为x,另一边长为______，面积为______；

（3）因为图2和图3中的矩形面积相等，即______=______，从而得到“勾股容方”公式：.21.(本小题6分)

如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，EC∥BD.

（1）求证：四边形BECO是矩形；

（2）连接AE.若∠ABC=60°，AB=2，求AE的长.22.(本小题7分)

小明利用数学知识研究浮力的相关问题时，进行了如下操作：将用弹簧测力计悬挂的圆柱体，先置于盛有某种液体的烧杯液面上方，然后缓慢下降，浸入液体中不同深度，如图所示.在这个过程中，小明记录了圆柱体下表面浸入液体的深度h（单位：cm）与弹簧测力计读数F1（单位：N）的部分数据，并计算出圆柱体所受浮力F2（单位：N），如表：h（cm）0123456789F1（N）4.64.23.83.43.02.62.22.22.22.2F2（N）00.40.81.2a2.02.42.42.42.4（1）表中a的值为______；

（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值对应的点（h,F1），（h,F2），并画出F1，F2的图象；

（3）结合以上数据和函数图象，解决下列问题：

①圆柱体下降的过程中，完全浸入前，随着浸入深度h的增大，所受浮力F2______（填“增大”、“减小”或“不变”）；完全浸入后，随着浸入深度h的增大，所受浮力F2______（填“增大”、“减小”或“不变”）；

②当弹簧测力计读数F1与圆柱体所受浮力F2大小相等时，圆柱体下表面浸入液体的深度h约为______cm（结果保留小数点后一位）.

23.(本小题7分)某中学组织八年级学生开展了红色研学活动，包含甲、乙两条线路，每名学生选择其中一条线路自愿参与.为了解学生对研学的满意程度，学校分别从参加甲、乙两条线路研学的学生中各随机抽取30人，进行了问卷调研，按百分制评分（均为整数），对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：

a.甲、乙线路评分的频数分布表：（说明：当90≤x≤100时，非常满意；当80≤x＜90时，比较满意；当70≤x＜80时，不太满意；当60≤x＜70时，非常不满意）

评分分组90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70甲线路评分频数7m30乙线路评分频数91821b.乙线路在80≤x＜90的评分：89，88，87，87，87，87，85，85，84，83，83，82，82，81，81，80，80，80；

c.甲、乙线路评分的平均数、中位数、众数、方差如表：平均数中位数众数方差甲线路评分85.4858527.9乙线路评分85.1n8740.1根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中m=

______，n=

______；

（2）此次调研分别从课程策划、实践体验、服务保障三个方面按照3：5：2的比确定评分.某位学生对这三方面的评分分别是93，84，77，他对此次研学的评价是

______（填“非常满意”、“比较满意”、“不太满意”或“非常不满意”）；

（3）学校计划在两条线路中选择一条作为七年级红色研学线路，请你结合调研数据给出建议：选择

______（填“甲”或“乙”）线路，理由是

______.24.(本小题6分)

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（-2，a），B（0，3），且与x轴交于点C.

（1）若a=-3，求这个一次函数的解析式和点C的坐标；

（2）若线段BC的长度小于5，直接写出k的取值范围.25.(本小题7分)

如图，在正方形ABCD中，点E是线段BC上的一点（不与点B重合），AE⊥EN于点E，且AE=EN，NM⊥BC交BC的延长线于点M.

（1）求证：BE=MN；

（2）连接AC，BD交于点O，连接OE，DN，用等式表示OE与DN的数量关系，并证明.26.(本小题8分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（a,b）和过点Q垂直于x轴的直线l.对于点P和图形W，给出如下定义：将点P关于直线l的对称点向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，若点P'在图形W上，则称点P是图形W关于点Q的关联点”.

（1）已知点A（1，0），B（1，1），C（0，1）和点Q（1，2）.

①在点P1（2，-1），，P3（1，-3）中，正方形OABC关于点Q的“关联点”是______；

②若点D是正方形OABC关于点Q的“关联点”，直接写出OD长的最大值；

（2）已知点E（t,0），F（t+1，0），G（t+1，1），H（t,1）和点Q（-t+1，-t+2）.若存在点P是正方形EFGH关于点Q的“关联点”，使得△POQ是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出t的取值范围.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】4

10.【答案】y=3x-1

11.【答案】-1（答案不唯一）

12.【答案】1（答案不唯一）

13.【答案】

14.【答案】＜甲

15.【答案】不能

16.【答案】74556300．

17.【答案】解：原式=2-6×+3+1

=2-2+3+1

=3+1．

18.【答案】（1）解：图形如图所示：

（2）AP；PB；菱形；四边相等的四边形是菱形；菱形的对角线平分一组对角

19.【答案】点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，-3）；

函数图象见解答；

＞3．

20.【答案】ab；

a+b，x（a+b）；

ab，x（a+b）．

21.【答案】（1）证明：∵BE∥AC，EC∥BD，

∴四边形BECO是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠BOC=90°，

又∵四边形BECO是平行四边形，

∴四边形BECO是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，AC⊥BD，AO=CO=AC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=2，

∴AO=AC=×2=1，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO===，

由（1）得：四边形BECO是矩形，

∴CE=BO=，∠ACE=90°，

在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE===．

22.【答案】1.6；

见解答；

①增大，不变；②2.3．

23.【答案】（1）20，86；

（2）比较满意；

（3）乙，对乙路线评分的高分人数多于甲路线（答案不唯一）．

24.【答案】（1）当a=-3时，点A的坐标为（-2，-3），

把A（-2，-3），