第二章§2.7对数与对数函数

第二章

§2.7对数与对数函数1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数.考试要求课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识1.对数的概念一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=

，其中

叫做对数的底数，

叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数，记作

.

以e为底的对数叫做自然对数，记作

.

logaNaNlgNlnN

01NlogaM+logaNlogaM-logaNnlogaM3.对数函数(1)概念：一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞).(2)对数函数的图象与性质

a>10<a<1图象

定义域_________(0，+∞)

a>10<a<1值域___性质过定点

，即x=1时，y=0当x>1时，

；当0<x<1时，_____当x>1时，

；当0<x<1时，_____

函数

函数R(1，0)y>0y<0y<0y>0增减4.反函数指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线

对称.y=x

自主诊断×√×√

√

√

4.若对数函数f(x)的图象经过点(2，1)，则它的反函数g(x)的解析式为

.

g(x)=2x解析设f(x)=logax(a>0且a≠1)，函数图象过点(2，1)，即f(2)=loga2=1，即a=2，f(x)=log2x，它的反函数g(x)的解析式为g(x)=2x.

微点提醒(3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，其中图象(C1，C2，C3，C4对应的底数依次为a，b，c，d)的相对位置与底数大小有关.图中0<c<d<1<a<b.微点提醒返回2.谨防两个易误点(1)凡涉及对数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.当底数a的范围不明确时，研究函数的单调性、最值时必须分0<a<1和a>1两种情况讨论.(2)在使用运算公式时，注意指数和对数中的和积之间的转化.探究核心题型

题型一对数式的运算√√√

解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.思维升华

题型二

对数函数的图象及应用√

√√√

对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.思维升华跟踪训练2

已知实数m>0且m≠1，函数y=logm(x+n)的大致图象如图所示，则A.m>1，n>1B.m>1，0<n<1C.0<m<1，n>1D.0<m<1，0<n<1√解析由图象可知函数y=logm(x+n)是减函数，所以0<m<1；当x=0时，logm(x+n)=logmn<0，所以n>1.

命题点1比较对数式的大小题型三对数函数的性质及应用√

例4

(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=log2x-(x-1)2，则不等式f(x)<0的解集为

.

命题点2解简单的对数方程或不等式(0，1)∪(2，+∞)解析由题意，不等式f(x)<0，即log2x-(x-1)2<0，等价于求log2x<(x-1)2在(0，+∞)上的解，令g(x)=log2x，h(x)=(x-1)2，则不等式为g(x)<h(x)，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，又g(1)=h(1)=0，g(2)=h(2)=1，由图可得不等式f(x)<0的解集为(0，1)∪(2，+∞).例5

(多选)(2026·岳阳模拟)关于函数f(x)=log2x+log2(4-x)，下列说法正确的是A.f(x)的最大值为1B.f(x)在区间(0，2)上单调递增C.f(x)的图象关于直线x=2对称D.f(x)的图象关于点(2，0)对称命题点3对数函数性质的综合应用√√解析函数f(x)=log2x+log2(4-x)=log2(4x-x2)=log2[-(x-2)2+4](0<x<4)，当x=2时，4x-x2取到最大值4，故此时f(x)=log2x+log2(4-x)取到最大值log24=2，A错误；f(x)=log2(4x-x2)(0<x<4)可以看作是由函数y=log2u，u=-x2+4x(0<x<4)复合而成，而y=log2u是定义域上的增函数，u=-x2+4x(0<x<4)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，故f(x)在区间(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，B正确；因为函数f(4-x)=log2(4-x)+log2x=f(x)，故f(x)的图象关于直线x=2对称，C正确；因为f(4-x)+f(x)=2f(x)=0不恒成立，故f(x)的图象不关于点(2，0)对称，D错误.求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.思维升华

√

√√√

返回课时精练对一对答案1234567891011121314题号12345678答案BCDACBABDABD题号9101314答案e12BAB答案123456789101112131411.

答案123456789101112131411.

答案123456789101112131412.

答案123456789101112131412.

答案123456789101112131412.

1234567891011121314答案知识过关√

1234567891011121314√答案

3.(2025·天津河西区模拟)设a=log0.30.4，b=log0.31.1，c=log0.40.3，则a，b，c的大小关系为A.b<c<a

B.c<b<aC.c<a<b

D.b<a<c√1234567891011121314答案解析易知0=log0.31<log0.30.4<log0.30.3=1，即0<a<1，而log0.31.1<log0.31=0，即b<0，又log0.40.3>log0.40.4=1，即c>1，所以b<a<c.

1234567891011121314答案√1234567891011121314答案

√1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案√1234567891011121314答案解析若0<a<1，此时x∈(1，2]，logax<0，而(x-1)2>0，故(x-1)2<logax无解；若a>1，此时x∈(1，2]，logax>0，而(x-1)2>0，令f(x)=logax，g(x)=(x-1)2，画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，若不等式(x-1)2<logax在x∈(1，2]内恒成立，则loga2>1，解得1<a<2，即实数a的取值范围是(1，2).1234567891011121314答案

√√√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案√√√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案三、填空题9.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)，若f(ln

2)f(ln

4)=8，则a=

.

e

1234567891011121314答案12

1234567891011121314答案四、解答题11.(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数.(1)求k的值；

11.(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数.(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x-1).

1234567891011121314答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

1234567891011121314答案13.(2025·全国Ⅰ卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能为A.x>y>z

B.x>z>yC.y>x>z

D.y>z>x1234567891011121314答案能力拓展√

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