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第三章进阶篇不等式的证明方法进阶1作差法与双函数构造法在证明与函数有关的不等式时，我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题，也常构造函数，把不等式的证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题.重点解读

题型一作差构造法

(1)待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式.(2)利用作差构造法证明不等式的基本步骤①作差或变形；②构造新的函数g(x)；③利用导数研究g(x)的单调性或最值；④根据单调性及最值，得到所证不等式.思维升华

跟踪训练1

已知函数f(x)=x2-lnx.(1)求f(x)的单调区间；

题型二构造双函数法例2

设函数f(x)=ax2-(x+1)lnx，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求实数a的值；

若直接求证比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的.思维升华跟踪训练2已知函数f(x)=elnx-ax(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；

跟踪训练2已知函数f(x)=elnx-ax(a∈R).(2)当a=e时，证明：xf(x)-ex+2ex≤0.

跟踪训练2已知函数f(x)=elnx-ax(a∈R).(2)当a=e时，证明：xf(x)-ex+2ex≤0.

课时精练答案121.(1)解

f'(x)=2-ex，令f'(x)=0得x=ln

2，当x∈(-∞，ln

2)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(ln

2，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，∴当x=ln

2时，f(x)取得最大值，且最大值为f(ln

2)=2ln

2+2.答案121.(2)证明

设g(x)=x-sin

x+4，x≥0，则g'(x)=1-cos

x≥0，∴g(x)在[0，+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(0)=4，即g(x)在[0，+∞)上的最小值为4，∵2ln

2+2<4，∴当x≥0时，f(x)≤2ln

2+2<4≤g(x)，∴当x≥0时，f(x)<x-sin

x+4.答案122.

答案122.

2.

答案121.(2026·六安模拟)已知函数f(x)=2(x+2)-ex.(1)求f(x)的最大值；12答案解f'(x)=2-ex，令f'(x)=0得x=ln

2，当x∈(-∞，ln

2)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(ln

2，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，∴当x=ln

2时，f(x)取得最大值，且最大值为f(ln

2)=2ln

2+2.1.(2026·六安模拟)已知函数f(x)=2(x+2)-ex.(2)当x≥0时，证明：f(x)<x-sinx+4.12答案证明设g(x)=x-sin

x+4，x≥0，则g'(x)=1-cos

x≥0，∴g(x)在[0，+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(0)=4，即g(x)在[0，+∞)上的最小值为4，∵2ln

2+2<4，∴当x≥0时，f(x)≤2ln

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