江苏苏州市2026-2027学年高三9月阳光调研数学试卷（含解析）

2027届高三年级9月阳光调研试卷数学2026.09注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由题，集合，，则2.复数与（，为虚数单位）的积为实数的充要条件为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由为实数，则，即复数与（，为虚数单位）的积为实数的充要条件为.3.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把直线方程化为斜截式，根据直线方向公式进行判断即可.【详解】，所以该直线的一个方向向量为，因为，所以向量与向量是共线向量，其他选项的向量与向量不是共线向量.故选：B4.在中，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由余弦定理得，，解得，由，故．5.由曲线围成的图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用曲线方程化简，取确定圆在第一象限的部分，再根据绝对值呈现出的对称性作图，由图计算面积即可.【详解】曲线可化为，当时，解析式为，易知曲线关于轴，轴，原点对称，由题意作出图形：则此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成，所以曲线围成的图形的面积为.6.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由题意可得,，，，．故A正确．考点：三角函数单调性．7.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A.平均数为3，中位数为2B.中位数为3，众数为2C.平均数为2，方差为2.4D.中位数为3，方差为2.8【答案】C【解析】【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案．【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为，方差为，可以出现点数6，故D错误；故选：C8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则+的最大值为（）A.3 B.2 C. D.2【答案】A【解析】【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.

设,易得圆的半径，即圆C的方程是，，若满足，则，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于空间平面、、和直线，下列命题中正确的是（）A.若，则内一定存在直线平行于B.若，则内所有直线都垂直于C.若，，，则D.若不垂直于，则内一定不存在直线垂直于【答案】ACD【解析】【详解】若，设，在内作且，则，选项A正确；如图所示，取为平面，为平面，，但，选项B错误；设，，在内任取一点，过点作于点，过点作于点，，，，，，，又，所以，，，，所以，选项C正确；若内一定存在直线垂直于，则，所以不垂直于，则内一定不存在直线垂直于，选项D正确.10.当变化时，有关表示曲线的说法正确的是（）A.当为第一象限角时，方程表示椭圆B.当为第二象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线C.当的终边在轴的非负半轴上时，方程表示两条平行线D.当为第四象限角时，方程表示焦点在轴的双曲线【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，结合三角函数值的符号，曲线的方程，利用双曲线的标准方程的形式，逐项分析判断，即可求解.【详解】对于A，当为第一象限角时，取，此时，即曲线方程为，此时曲线表示以坐标原点为圆心，半径为的圆，所以A不正确；对于B，当为第二象限角时，可得，此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以B正确；对于C，当的终边在轴的非负半轴上时，可得此时曲线方程为，即，可得方程表示两条平行线，所以C正确；对于D，当为第四象限角时，可得，此时曲线方程，方程表示焦点在轴的双曲线，所以D正确.11.由数字组成没有重复数字的三位数或四位数，现从中随机选取一个数，下列说法正确的是（）A.四位数个B.若抽到四位数，则比大的概率为C.三位偶数个D.若抽到三位偶数，则被整除的概率为【答案】ABD【解析】【分析】A利用排列计数，千位不为算出四位数总数；B按千位分类，统计大于的四位数个数，计算条件概率；C按个位分类枚举三位偶数，得到总数；D在个三位偶数中筛选被整除的数，用条件概率公式算出概率．【详解】对于A，千位不能为，千位可为，共种；剩下个数字全排列，所以四位数有个，A正确；对于B，千位为有，共个，比小有，共个；等于有1个；比大有个；千位是的四位数全部大于有个，所以大于的总数有个，即比大的概率为，B正确；对于C，三位偶数有，共个，C错误；对于D，三位偶数有个，被整除有，共个，所以若抽到三位偶数，则被整除的概率为，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】根据斜率公式及点与线段的位置即可求解．【详解】由题知，，，由图像可知，．13.已知函数（为自然对数的底数）.记，，，则，，三者中最大的是___________，最小的是___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据给定条件，探讨其对称性和单调性，再利用性质比较大小.【详解】函数，令内层二次函数，这是开口向下的抛物线，对称轴为，复合函数性质：在上单调递增，所以的单调性与相同，当时，递增，递增，当时，递减，递减，又因为，所以，所以函数关于对称，所以函数离对称轴越近，函数值越大，因为，所以，即，故，，三者中最大的是，最小的是.14.从关于变量和的4对随机观测数据，，，中随机取三对，则相关系数的最小值为___________．（相关系数）【答案】【解析】【详解】从4对数据中随机取3对，共有4种取法，分别计算相关系数，①取，，时，，，此时；②取，，时，，，此时；③取，，时，，，此时；④取，，时，，，此时；综上可得，相关系数的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图是函数的部分图像，的图像向右平移个单位长度后得到的函数的图像．（1）求的解析式；（2）解不等式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由图像求得的解析式，再根据函数平移及诱导公式即可求解；（2）根据辅助角公式将不等式转化为，令求解即可．【小问1详解】由图可得，，即，解得；因为图像的最高点为，所以，又，故，所以解析式为；因为的图像向右移个单位长度得到函数的图像，所以．【小问2详解】，所以，解得，即不等式的解集为．16.已知椭圆的离心率为，短半轴长为.（1）求的方程；（2）过左焦点且斜率大于的直线交于和两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解；（2）根据题意，设直线的方程为，联立方程组，结合韦达定理和三角形的面积公式，列出方程，求得的值，即可得到答案.【小问1详解】解：由椭圆离心率为，可得，即又由椭圆短半轴长为2，可得，因为，可得，可得，所以，，所以椭圆方程为.【小问2详解】解：由（1）知：，椭圆的左焦点为，设直线的方程为，联立方程组，整理得，假设直线与椭圆的两交点坐标为，可得，，则有，即，因为的面积为，可得，整理得，解得，因为，所以，所以直线的方程为.17.如图，是边长为5的菱形且，取四边形各边中点，，，作第2个四边形，然后再取四边形各边中点，，，作第3个四边形，依此方法一直继续下去.（1）设从菱形开始的前个四边形面积之和为，求和；（2）这个作图过程一直继续下去，所有这些四边形的面积之和将趋于一个常数，求满足的的最小正整数值.【答案】（1），（2）11【解析】【分析】（1）算出菱形面积，根据中点四边形面积是原图的，得到各四边形面积构成首项，公比的等比数列，再利用等比数列求和公式求解；（2）根据极限的思想求出，代入不等式化简求和.【小问1详解】设第个四边形的面积记为，由，根据菱形对角线互相垂直平分及中位线性质可知，第二个四边形是邻边长为菱形对角线长一半的矩形，则；第三个四边形为与第一个菱形相似的菱形棱长为第一个菱形边长的一半，则，依次类推，故每一次的面积组成一个数列，它是以为首项为公比的等比数列.故连续4个四边形的面积之和，；【小问2详解】由（1）得，当无限变大时将趋于一个常数比值，解得，故满足条件的最小正整数为11.18.如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的正弦值；（3）若点在线段上运动（含端点），设平面与平面所成二面角的平面角为，求余弦的取值范围.【答案】（1）在梯形中，因为，，所以为等腰梯形，因为，所以，所以，所以，即.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2）（3）【解析】【分析】（1）先证明，再通过面面垂直性质定理证明线面垂直.（2）根据二面角的定义找出二面角所对应的平面角，再利用勾股定理求解线段长度，进而求解正弦值.（3）建立空间直角坐标系求解平面法向量，利用法向量表示出二面角余弦值，令，求导，根据导数计算可求解范围.【小问1详解】略【小问2详解】取中点，连接、由矩形得，又，，、平面，所以平面，，为中点，所以，所以为二面角的平面角，因为，，在中，斜边，所以；【小问3详解】由题分别以，，所在射线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，，，，设平面和平面的法向量分别为和则由，得，解得可取；由，得，解得可取；令令，故在上递增，，故在上存在使得，解得即递减，递增，又，故19.设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称.对任意、都有，且.（1）求及；（2）证明是周期函数；（3）当时（为自然对数的底数），记，数列的前项和为，求证：.【答案】（1），.（2）证明：依题设关于直线对称，