北师大版八年级数学上册《7.3平行线的证明》同步练习题（带答案）

第页北师大版八年级数学上册《7.3平行线的证明》同步练习题（带答案）【作业说明】本作业依据北师大版数学八年级上册第七章第3节「平行线的证明」编写，共设两个课时，全部内容不超出本节的教学要求。第1课时平行线的判定；第2课时平行线的性质与综合应用。说明：本节以基本事实「同位角相等，两直线平行」和「两直线平行，同位角相等」为出发点，证明其余的判定定理与性质定理，并学习用它们进行推理。所有证明都写成「已知、求证、证明」的规范格式。3平行线的证明第1课时平行线的判定一、知识梳理1．三线八角两条直线a、b被第三条直线c所截，共产生8个角。直线a、b被直线c所截（1）同位角（位置相同）：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠（2）内错角（都在内部、分居截线两侧）：∠3与∠6，∠4（3）同旁内角（都在内部、同在截线一侧）：∠3与∠5，∠42．基本事实同位角相等，两直线平行。（这是本节推理的出发点，不需要证明。）3．判定定理1内错角相等，两直线平行。已知：如图∠3=∠6。证明：∵∠2又∵∠3∴∠2∴a∥4．判定定理2同旁内角互补，两直线平行。证明思路：由∠3+∠5=180∘，而判定两直线平行的三条途径5．还可以这样判定平行于同一条直线的两条直线互相平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。【易错警示】①找同位角、内错角、同旁内角时，一定要先弄清哪两条直线被哪一条直线所截。②判定定理是「由角相等（互补）得到线平行」，方向不能反过来用。③写证明时，每一步的括号里要写完整的理由，如「同位角相等，两直线平行」，不能只写「平行」。④「∠3=∠6⑤判定平行时，结论写成a∥b，符号「∥」不要写成「二、基础训练（一）选择题（每小题4分，共20分）1．如图，直线a、b被直线c所截，则∠1与∠第1～3题图A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角2．上图中，∠3与∠A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角3．上图中，能判定a∥A．∠1=∠2B．∠34．「同旁内角互补，两直线平行」这句话是（）A．定义B．基本事实C．定理D．假命题5．下列条件中，不能判定两直线平行的是（）A．同位角相等B．内错角相等C．同旁内角互补D．同旁内角相等（二）填空题（每小题4分，共20分）6．两条直线被第三条直线所截，如果同位角＿＿＿＿，那么这两条直线平行。7．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线＿＿＿＿。8．若∠1与∠2是同旁内角，且∠19．在同一平面内，若a∥c，b∥10．证明「内错角相等，两直线平行」时，先由＿＿＿＿角相等把内错角转化成同位角。（三）解答题（共60分）11．（16分）如图，直线AB、CD被直线EF所截，交点分别为第11题图（1）∠1与∠2是什么角？∠3（2）若∠1=∠2（3）若∠3+∠212．（14分）如图∠1第12题图求证：EF∥（提示：∠1与∠3是直线EF、GH被直线13．（16分）完成下面证明「同旁内角互补，两直线平行」的过程。已知：如图，直线a、b被直线c所截∠3第13题图求证：a∥证明：∵∠5∴∠7∵∠3∴∠3∴∠3∴a∥14．（14分）如图，已知∠3第14题图（1）∠3与∠（2）求∠1（3）判断AB与CD是否平行，并写出理由。3平行线的证明第2课时平行线的性质与综合应用一、知识梳理1．基本事实两直线平行，同位角相等。2．性质定理1两直线平行，内错角相等。已知：如图，a∥b。求证：证明：∵a∥∴∠2∵∠2∴∠33．性质定理2两直线平行，同旁内角互补。证明思路：由a∥b得∠3=∠74．判定与性质的区别已知什么得到什么判定角相等（或互补）两直线平行性质两直线平行角相等（或互补）5．常用的辅助线——作平行线遇到「拐点」问题时，过拐点作已知直线的平行线，可以把分散的角联系起来。AB∥CD，P6．一个重要应用利用平行线的性质可以说明：三角形三个内角的和等于180∘过点A作MN【易错警示】①判定与性质的方向相反，用错了就成了「循环论证」。②由平行得到角的关系时，理由要写成「两直线平行，内错角相等」这样的完整语句。③作辅助线要在证明中说明作法，如「过点P作PQ∥AB」，并用④同旁内角是互补（和为180∘⑤计算角度时不要漏写单位「​∘二、基础训练（一）选择题（每小题4分，共20分）1．如图，若a∥第1～2题图A．∠1=∠6B．∠3=∠2．上图中，若a∥b且∠3A．70∘B．100∘C．110∘3．「两直线平行，同旁内角互补」是（）A．定义B．基本事实C．定理D．假命题4．已知a∥b，一个同位角为A．32∘B．58∘C．1225．若两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的度数分别为2x与x+30∘A．10∘B．20∘C．30∘（二）填空题（每小题4分，共20分）6．两直线平行，同位角＿＿＿＿；两直线平行，内错角＿＿＿＿；两直线平行，同旁内角＿＿＿＿。7．如图，若AB∥CD，8．已知两直线平行，一组同旁内角中的一个角是105∘9．三角形三个内角的和等于＿＿＿＿。10．解决「拐点」问题时，常过拐点作已知直线的＿＿＿＿线作为辅助线。（三）解答题（共60分）11．（14分）完成下面证明「两直线平行，同旁内角互补」的过程。已知：如图a∥第11题图求证：∠3证明：∵a∥∴∠3∵∠5∴∠312．（16分）如图AB∥CD，E、G在第12题图（1）∠1与∠（2）若∠1=50（3）求∠EFC（4）若还知道∠3=∠1，判断EF13．（16分）如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，第13题图（1）过点P作PQ∥AB，说明（2）求证：∠2（3）若∠1=3514．（14分）利用平行线的性质证明：三角形三个内角的和等于180∘第14题图已知：如图△ABC求证：∠B（提示：过点A作MN∥参考答案与解析第1课时平行线的判定一、选择题1．A【解析】∠1在直线a的上方、截线c的左侧，∠5在直线b的上方、截线2．B【解析】∠3与∠6都在两条直线a、b之间（内部），且分别在截线3．B【解析】∠3=∠6A、C中的两个角在同一个交点处，D中的两个角也在同一个交点处，都不能判定两直线平行。4．C【解析】它是由基本事实经过证明得到的真命题，所以是定理。5．D【解析】同旁内角相等时，两直线不一定平行（只有当这两个角都等于90∘二、填空题6．相等7．平行8．70【解析】同旁内角互补时两直线平行，所以∠29．平行（即a∥10．对顶三、解答题11．（16分）（1）∠1在直线AB的下方、截线EF的左侧，∠2在直线CD的上方、截线两个角都在AB与CD之间，且分居截线两侧，所以∠1与∠2是∠3在直线AB的上方（外部），它与∠不过∠3与∠1在点G处（2）能。理由：∵∠1=∠2（已知），且∠∴AB∥（3）能。理由：∵∠3与∠∴∠1∵∠3+∠2∴∠1又∵∠1与∠2是内错角，∴【方法总结】判断两个角是哪一类角，只要看它们相对于两条被截直线在内还是在外、相对于截线在同侧还是异侧。12．（14分）证明：∵∠1与∠3是直线EF、GH被直线AB所截而成的同位角（∠1在E处、∠又∵∠1∴EF∥13．（16分）证明：∵∠5+∠7∴∠7∵∠3∴∠3=∴∠3=∠7∴a∥b（14．（14分）（1）∠3与∠1在点G处有公共边且另一边互为反向延长线，是（2）∵∠3与∠∴∠1（3）平行。理由：由（2）得∠1=65∘，又∵∠1与∠2是直线AB、∴AB∥【学后反思】判定平行的三条途径都可以归结到一条基本事实上：同位角相等，两直线平行。内错角、同旁内角的条件都要先「转化」成同位角。第2课时平行线的性质与综合应用一、选择题1．B【解析】∠3与∠6是内错角，由「两直线平行，内错角相等」得∠3与∠∠1与∠∠1与∠2．C【解析】∠3与∠∠53．C【解析】它是由基本事实证明得到的真命题，属于定理。4．B【解析】两直线平行，同位角相等，所以另一个同位角也是58∘5．C【解析】两直线平行，内错角相等，所以2x=x+二、填空题6．相等；相等；互补7．648．75【解析】180∘9．18010．平行三、解答题11．（14分）证明：∵a∥∴∠3=∠7∵∠5+∠7∴∠3+∠512．（16分）（1）∠1与∠2是直线AB、CD被截线EF所截得到的内错角，它们理由：∵AB∥CD（已知）∴（2）由（1）得∠2（3）∵∠EFC与∠∴∠EFC（4）EF∥理由：∵∠1与∠3是直线EF、GH被直线又∵∠3∴EF∥13．（16分）（1）过点P作PQ∥∵AB∥CD（已知），∴PQ∥第13题答案图（虚线PQ为辅助线）（2）证明：∵PQ∥∴∠QPM∵PQ∥∴∠QPN∵∠2∴∠2（3）∠2【方法总结】「拐