第十八讲-估计量的评选标准及区间估计

第十八讲估计量的评选标准第七章参数估计

及区间估计第3节估计量的评选标准

1.估计量的评价标准从上一节得到：对于同一参

判断估计量好坏的标准是：有无系统偏差；数，用不同的估计方法求出的估

波动性的大小；伴随样本容量的增大是否是计量可能不相同，用相同的方法

越来越精确，这就是估计的无偏性，有效性也可能得到不同的估计量，也就

和相合性。是说，同一参数可能具有多种估

计量，而且，原则上讲，其中任

(1)无偏性

何统计量都可以作为未知参数

设方是未知参数，的估计量，则方是一个随机

的估计量，那么采用哪一个估计

变量，对于不同的样本值就会得到不同的估

量为好呢？这就涉及到估计量

计值，我们总希望估计值在夕的真熨值左右

的评价问题。

徘徊，即其数学期望恰等于。的真实值。

对定义的理解：设。是总体

定义：设方=力(X|,X2,…,X〃)是未知参数

X的分布参数，V0£。，即服从

。的估计量，若E向存在,且对有某一分布形式的任意总体分布，

参数6的估计量3=2(X1,X2,

E(o)=e,则称］是e的无偏估计量，称］具

…,x〃)(是简单随机样本的函

力无偏性。

数)的数学期望都等于0。

在科学技术中，a2)-。称为以)作为。

的估计的系统误差，无偏估计的实际意义就

是无系统误差。

例1：设总体X的女阶中心矩4=E(X")

他之1)存在，(X-X?,…,X”)是X的一个样

本，证明：不论X服从什么分布，

是4的无偏估计量。

〃/=1

证明：•.•X1,X2,…X.与X同分布,

...E（X：）=E（XD=4i=l,2,…,〃

1n

£("-Z£(Xj)=4

特别，不论X服从什么分布，只要E(X)存

在，G总是E(X)的无偏估计。

例2：设总体X的七(乂)=〃，。(*)=/都

存在，且/>0,若〃，尸均为未知，则人的

1〃

估计量万？二—V(x,-x)2是有偏的。

〃E

证明：

1n1n

・.・62=_Lz(Xj—》)2=_LZXj2—》2,

"nii

222

E(<j)=-YE(Xi)-E(X)

〃r=l

=-£E(X2)-{D(X)+[E(X)]2)

n1=1

2\/b八〃—1'

=z(b+〃~)一(——+〃~)=——b

nn

2

6的估计量32=iy(x/-x)是有偏的。

〃,=i

在实际应用中，对整个系统(整

若在作的两边同乘以」一,则所得到

n-\个实验)而言无系统偏差，就一

的估计量就是无偏了次实验来讲，。可能偏大也可能

即E(—&2)=—E[&2)=(y2，偏小，实质上并说明不了什么问

n-177-1

题，只是平均来说它没有偏差。

而」L]2恰恰就是样本方差

n-\所以无偏性只有在大量的重复

实验中才能体现出来；另一方

S2=_L^(X「对

面，我们注意到：无偏估计只涉

可见，S?可以作为人的估计，而且是及到一阶矩(均值)，虽然计算

无偏估计。因此，常用S?作为方差/的估简便，但是往往会出现一个参数

计量。从无偏的角度考虑，S2比人作为32的的无偏估计有多个，而无法确定

估计好。哪个估计量好。

例3：设总体X服从指数分布，其概率密度

1~

—e°x>0

0

为<

0其它同分布多维随机变量最小值的

分布函数：

其中9>0为未知，又(X”X2,…,X“)是X的

n

Fmm(z)=\-[1-Fx(z)]

一样本，则》和〃Z=〃[min{X1,X2「、X“}]

都是e的无偏估计。

证明:vE(X)=E(X)=6>,

X是。的无偏估计。

而口而{乂],*「<”)则服从参数为乌

2=21—e"x>0

nFx(%)=

0,x<0

的指数分布，其概率密度为

ftx噎式为=—⑶]”

-e1x>0nz

0=l-e°

/min(X；e)=,

0其它

那么，究竟哪个无偏估计更好、

更合理，这就看哪个估计量的观

：.E(Z)=-,=>E(〃e)=e

察值更接近真实值的附近，即估

即nZ是。的无偏估计。

计量的观察值更密集的分布在

事实上，v£(X,.)=E(X)=<9,.-.(XpX^...,

真实值的附近。我们知道，方差

XJ中的每一个均可作为0的无偏估计。是反映随机变量取值的分散程

度。所以无偏估计以方差最小者

(2)有效性：

为最好、最合理。为此引入了估

定义：设&一&(x,,x2,...,xn)与02一&

计量的有效性概念。

(x,,x2,•••,%„)都是。的无偏估计量，若

有

D@)<D⑻)

且至少存在一个使上式中的不等号成

立，则称，较久有效。

例4：(续例3)试证当〃>1时，。的无偏估

计量又较。的无偏估计量〃Z有效。总体X服从参数为。的指数分

n2布，Z=min{X「X2,…,X〃)服从

证明：vD(X)=<92?.D(X)=—

n参数为2的指数分布。

n2n

又£>(Z)=。D(nZ)=02

n~

当〃>1时，显然有。(幻<O(〃Z),故又较

关于无偏性和有效性是在

〃Z有效。

样本容量固定的条件下提出的，

即我们不仅希望一个估计量是

(3)相合性(一致性)

无偏的，而且是有效的，自然希

定义：设3(XPX2,--,X„)是参数夕的估

望伴随样本容量的增大,估计值

计量，若对于任意0£0,当〃->8时。(X1,能稳定于待估参数的真值，为此

X2,…,X“)以概率收敛于。，则称2为。的引入一致性概念。

相合估计量。

即，若对于任意。£。都满足：V8>0,有

limp{\G-O\<f}=1,

则称2为。的相合估计量。

例如：在任何分布中，又是E(X)的相

合估计；而S?与生都是O(X)的相合估计量。

不过，相合性只有在n相当大时，才能显示

其优越性，而在实际中，往往很难达到，囚

此，在实际工作中，关于估计量的选择要视

具体问题而定。

(课间休息)

2.区间估计第4节区间估计

定义:设总体X的分布函数歹（同。）含有一个从点估计中，我们知道：只要

未知参数0,6>GO（。是。可能取值的范得到样本观测值（西…，匕），点

围），对于给定的a（0<。<1）,若由样本

估计值3（xpx2…,X"）能给我们对

（X」Xz…,X”）确定的两个统计量

。的值有一个明确的数量概念。但

aXi，'?…,X'）和力（X「X2…,X”），对于

是3（xpx2.......%”）仅仅是夕的一

任意满足：

个近似值，它并没有反映出这个近

似值的误差范围，这对实际工作都

>\-a

（4.1）来说是不方便的，而区间估计正好

则称:随机区间［幺心为。的置信水平为1-a弥补了点估计的这个缺陷。

的置信区间，。和3分别称为置信水平为

定义中（4.1）式的意义在于:

1-a的双侧置信区间的置信下限和置信上

若反复抽样多次，每个样本值确定

限。称为置信水平。

一个区间［包,心,每个这样的区间

当X是连续型随机变量时，对于给定的

要么包含。的真值，要么不包含。

a,我们总是按要求P［9<0<0］=\-a^W\的真值。据Bernoul1i大数定律，

置信区间；而当X是离散型随机变量时，对在这样多的区间中，包含。真值的

约占100（1—a）%,不包含。真

于给定的。，我们常常找不到区间使

值的约仅占100。乐比如，

得恰为1-。，此时我们去找区

a=0.005,反复抽样1000次,则得

间［幺）］使得P{0<0<0}至少为1且尽到的1000个区间中不包含。真值

的区间仅为5个.

口J能地接近1—CCo

例1：设总体X~Ng?）d为已知，〃

为未知，（X-X2…,X“）是来自X的样本，

求目的置信水平为1-a的置信区间.

解：我们知道又是目的无偏估计，且有

〜/V(O,D.

oZn

据标准正态分布的上a分位点的定义有:

P<%/2=\-a

即

<z/<X+-^zJ=l-a

yjn2yjn2

这样，我们就得到了R的一个置信水平为

-a的置信区间:

(X------r=Zg,XH-----Z„),

y/n77n7

简写成:(5)

比如，a=0.05时,l-a=0.95,查表得:

=z0O25=1.96o又若cr=1,九=16,则得到

一个置信水平为0.95的置信区间:

(X±-y=xl.96),BP(X±O.49).(4.2)

(教材)我们称(4.71,5.69)为置信

再者，若由一个样本值算得样本均值的观水平为0.95的置信区间。其含义

察值工=5.20,则得到一个区间是：若反复抽样多次，每个样本值

(5.20±0.49),即(4.71,5.69).(n=16)按(4.2)式确定一个区

注：区间(4.71,5.69)己不再是随机区间了,间，在这么多的区间中，包含〃的

但我们可称它为置信度为0.95的置信区间,约占95%,不包含〃的约占5%.

其含义是指“该区间包含这一陈述的可现在抽样得到区间(4.71,5.69),则

信程度为95%o该区间属于那些包含〃的区间的

(若写成P{4.71<//<5.69}=0.95是错误可信程度为95%,或“该区诃包含

的，因为口是一个未知的但确定的数，因此这一陈述的可信程度为95%。

只能说随机区间包含N的可信程度，而不能

说日落在区间的概率，确定的区间要么包含

口，要么不包含日。)

置信区间的性质：

⑴置信区间不唯一。以例1为例，若给定

a=0.05,则又有

P{-Zo,M<7^<Zoc,}=°,95

得到日的一个置信水平为1-a的置信区间:

2

(X7=0.0l，X+-r=Z004)置信区间长度反映了区间估计的

7H7n

精确程度。

(2)样本容量越大，置信区间的长度越短。我们自然希望反映可信程度的置

若记L为置信区间的长度，则置信区间信水平越大越好，反映精确程度的

［私方*长度为;区间K度越小越好。

2。2a

弟八草

由此可以确定样本容量〃，使置信区间正态总体的样本均值及样本方差

具有预定长度。分布：

通过上述例子，可以得到寻求未知参数

X〜/V(/z,—)=〜N(0,l)

。的置信区间的一般步骤为：〃07n

(1)寻求一个样本(X”X2…,X“)的函数

w(x“X2,…，x〃；e)；它包含待估参数。，而

不包含其它未知参数，并且W的分布已知，

且不依赖于任何未知参数。两个正态总体的样本均值和样本

(2)对于给定的置信水平1-a,定出两个常方差分布:

数。力，使

T——=7~

P{a<W(X1,X2,---,Xw;^)</?)=!-ao

(3)若能从avW(X「X2,…,X“;8)</?得到当b：=(T；=cH时，

等价的不等式0464心其中(X-7)-(4一〃2)~t(m+n-2)

e=R(X],X?…,X“),否=方(X1,X?…,X”)

都是统计量，则【e,例就是。的一个置信水平

m+n-2

为1-々的置信区间。

3.单个正态总体期望的区间估计：

设总体X(X1,X?…,X")为来自

X的一个样本，已给定置信度(水平)为

\-a,求〃和/的置信区间。

(1)求均值〃的值信区间：

①当已知时，由例1可得：〃的置信水平

为的置信区间为:第5节正态总体均值与方差的

区间估计

(5.1)

事实上，不论X服从什么分布，只要

(独立同分布的中心极限定理)

E(X)=〃,£>(X)=/,当样本容量足够大(林德伯格一勒维定理)

时，根据中心极限定理，就可以得到的置信设X1,X2,…,X“，…相互独立，服从

水平为1-。的置信区间为(5.1)式。同一分布，旦具有数学期望和方

②当人未知时，由第六章定理三知:差：E(XJ=〃，Q(Xj)=",

X-u

-----产~t(n-1)i=l,2,…,〃，…，则对于任意x有

S!

-a

S/GlimP\^~■=—<x\=①⑴

2(Tyln

即:

_C_C由定理结论有

X—；(//-1)*