高一年级下册期中考试仿真测试题一解析

高一下期中考试仿真测试题一（解析）

1.设P,A,B,C是球0表面上的四个点，若,，，且，则球0的体积为（）

A.48nB.C.12nD.

【答案】B

【分析】

由题知球。为以2为棱长的正方体的外接球.

【详解】

,,,且

球可看作以2为棱长的正方体的外接球，设半径为，

,即，

•••球0的体积V=？（614后.

故选:B、

【点睛】

本题考查外接球体枳的计算，解题的关键是求出半径，属于基础题.

2.在中，一点满足，则的值为

A.B.6C.D.8

【答案】A

【详解】

解：中,，，点满足，

故为的中点，/

I____iQa

:.AOBC=-(AB+AC)-(AC-AB)=-(AC~-AB)

22

22

=1X(2-4)=-6,

故选:A、

3.已知复数(i为虚数单位)，若是纯虚数，则实数a=()

A.B.C.D.3

【答案】A

【分析】

利用是纯虚数，实部为，即可得的值.

【详解】

z,z2=(«-3z)(2+z)=2«4-34-(tz-6)z,

若是纯虚数，

则加+3=0,

解得:.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了纯虚数的定义，属于基础题.

4.已知,，且与的夹角为，则

A.B.C,D.

【答案】A

【分析】

解:，，且与的夹角为，

«­Z?=1x2x—=6，

2

/]a-y/3bl2=a2-2y/3-a-b+3b2=l-2y/3xy/3+3x22=7,

故|“一6/；|=",

故选:A、

5.△物团中，角A,B,C所对应的分别为a,b,c,且（回+R）（sin国rin勖=（团通）sin瓦若田=2,则4

皿团的面积的最大值是（）

A.lB.

3

C.2D.2

3

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理：余弦定理，基本不等式，三箔形的面积公式在解三角形中的综

合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

由已知利用正弦定理可得

2

2

2

-,由余弦定理可得cos=

1

2

,结合范围£(0,),可求A的值；再利用余弦定理，基本不等式可求W4,当且仅

当==2时，取等号，利用三角形的面积公式即可求解.

【解答】

解:由正弦定理以及(+)(sinrin)=(-)sir.得：

整理得

2

2

2

>

则cos=

1

2

,e(0,),

求得/,

因为二2,所以由余弦定理得4:

2

+

2

因为

2

2

22,

所以4+22,解得W4,

当且且仅当=时取等号，

所以/,

即/面积的最大值为

3

故选B.

6.已知正方体的棱长为，是底面的中心，则异面直线与所成的角为

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】

通过平移将问题变为与所成角;根据等腰三角形三线合一可知，从而得到所成角为.

【详解】

原题如下图所示：

・・・ACJ/AC.•.异面直线。2与AG所成角即为。仅与AC所成角

连接，

・・・A。=Z)C且。为AC中点，OD、1AC

••・异面直线。。与AG所成角为9()

【点睛】

本题考查异面直线所成角的求解，关键是通过平移利用相交直线所成角来求解，属「基础

题.

7.在中，角，，的对边分别为，一若，则的最小值为

A.B.C.D.

【答案】C

【详解】

解：,.,sinB+2sinAcosC=0,

由正弦定理及余弦定理得:，可得:，

又，当且仅当，即时取等号，

即的最小值为.

故选:.

8.如图，三棱柱-

i

1

1

中，侧棱

1

垂直于底面

1

1

1

,底面三角形

1

1

1

是正三角形，E是BC的中点.由以下论断:

/

①

1

与

1

是异面直线；/平面

1

1

♦*

③与

1

1

为异面直线，且/;④

1

1

〃平面

1

则这些论断正确的序号是（）

A.③B.③④C.②③D.②③④

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学

的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，考查空间想象能力以及推理谁的能力，

属于中档题.

由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选

项逐一判断得出正确选项.

【解答】

解：①不正确，因为

1

与

1

在同一个侧面

1

1

中，故不是异面直线；

②不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，所以/=60。，故不可能存在

J■平面

1

1

■

③正确，因为AE,

1

1

为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线;

又_L,〃

1

1

,所以±

1

1

,故③正确；

④不正确，因为

1

1

所在的平面

1

1

与平面

1

相交，且

1

1

与交线不可能平行，故A

1

1

〃平面

1

不正确.

故选A、

9.设,，为复数,.下列命题中正确的是

A.若，则B.若,则

C.若,则D.若，则

【答案】BC

【详解】

解：由系数的形式可知，选项错误；

当时，有，

又Z1H0,

所以，故选项正确；

当时，则，

所以，故选项正确；

当时，则，

可得zz?-z,z,=z,(z2-zt)=0,

所以，故选项错误.

故选：BC、

10.已知三棱柱-

1

1

1

的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球0的表面上，侧面

I

1

的面积为4

3

.则正确的结论是（）

A.若的中点为E,则〃平面

B.若三棱柱的体积为，则到平面的距离为3

C.若是边长为2的等边三角形，则与平面所成的角力

D.若AB=AC二BC,则球O体积的最小值为

【答案】AD

【解析】

【分析】

本题考查直线与平面的平行，宜线与平面所成的角，点到平面的距离，锥体的体积公式,

球体的体积公式，多面体的外接球等知识点.属于中档题.

A中取BC的中点F,连接AF,

1

,BE,

1

,•先利用三棱柱的结构特征和平面与平面平行的判定定理证得平面

1

〃平面

1

,在运用平面与平面平行的性质定理即可证得

1

〃平面

1

B中根据割补思想四棱锥

1

的体积占三棱柱

1

1

1

体积的

2

3

,结合题设侧面

1

1

的面积为4

3

即可求得

1

到平面

1

1

的距离.

C中根据/是边长为2的等边三角形结合题设可得三棱柱

1

1

1

为正三棱柱.取

1

1

的中点N,连结

1

,根据平面与平面垂直的性质定理可证得/,从而有/

1

为直线

1

与平面

所成的角，通过计算即可确定

1

与平面

1

1

所成的角.

I）中由=,三棱柱

1

1

1

的侧棱和底面垂直

可得三棱柱

1

1

为正三棱柱，设M,N分别是△,△

1

1

的中心，连接MN,则球心0为MN的中点.设三棱柱底面边长为a,高为h,则h=4

3

,通过计算可得外接球的半径？2从而确定球()体积的最小值.

【解答】

解：A,取BC的中点F,连接AF,

1

,BE,

1

1

,EF.

•・•三棱柱

1

1

1

//且

1

四边形

1

为平行四边形,

故故〃

1

,同理〃

1

又「n

1

E.

・•・平面

1

〃平面

1

1

u平面

1

1

〃平面

1

,故A正确；

B,若三棱柱

1

1

1

的体枳为4

3

,如图二示四棱锥

1

1

1

的体积为

8

3

3

•••三棱柱-

1

1

1

的侧棱和底面垂直三棱柱的各侧面均垂直与上下底面.

即有平面

1

1

_L平面

1

1

1

设

1

到直线

1

1

的距离为明由平面与平面垂直的性质定理知:

1

到平面

1

1

的距离为m

又•・•

1

的面积为4

3

1

1

1

3

h=

1

3

X4

3

X=

8

3

3

解得=2

••

1

到平面

1

1

的距离为2,故B错误;

C,若/是边长为2的等边三角形，则三棱柱

1

1

为正三棱柱.

，平面

1

1

1

_L平面

1

1

1

1

1

1

取

1

1

的中点N,连结

1

.则

1

1

1

1

又/,

/.

故N

为直线

1

与平面

1

1

所成的角

在三角形

1

1

1

中易得:

1

1

1

2

在面积为4

3

矩形

1

中,

1

1

1

=4

3

1

=2

3

1

2

1

1

2

=4,

在直角三角形

1

中sinZ

1

1

3

4

.故C错误；

D,若二二,三棱柱

1

1

的侧棱和底面垂直

可得三棱柱

1

I

1

为正三棱柱，

设M,N分别是△,△

1

1

1

的中心，连接MN,

则球心0为MN的中点.

设三棱柱底面边长为a,高为h,则h=4

3

1

2

1

3

3

h

2

・•・外接球的半径R满足:

1

2

+

2

2

3

+

h

2

4

2

3

+

12

2

2

4

=2

当且仅当

2

3

12

2

6

时取等号.

故球0的体积

4

3

3

2

32

3

,所以D正确.

故选AD.

11.中，为边上的一点、且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是

A、B、的最大值为

C.的最小值为D.的最小值为

【答案】BD

【详解】

解：因为，所以，

所以，

因为、、三点共线，所以，故错误；

则，则，

即最大值为，当且仅当，即，时取等号，故正确；

,当且仅当时取等号，

所以的最小值为，故错误；

,当且仅当，时取等号，

所以的最小值为，故正确.

故选：BD、

12.如图，点P在正方体

1

1

1

的面对角线

1

上运动，则正确的结论是（）

A.三棱锥□一

□

的体积不变

B.

□

1

口//平面口

□

1

c.aaxc

□

i

D.平面一

□

1

_1_平面口口

□

【答案】ABD

【分析】

本题主要考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂

直的判定，要注意使用转化的思想，属于中档题.

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

【解答】

解：对于A,由题意知

1

//

1

又

1

U平面

1

1

。平面

1

从而

1

〃平面

1

故BC

1

上任意一点到平面

1

的距离均相等，

所以以P为顶点，平面

1

为底面，则三棱锥-

1

的体积不变，故A正确;

对于B,连接

1

1

1

易知

1

1

//,又

1

1

。平面

1

U平面

1

,故A

1

1

〃平面

1

由A选项证明过程可知:

1

〃平面

1

又

1

1

n

1

1

,且

i

i

U平面

1

1

所以平面

1

〃平面

1

又

1

U平面

1

1

,故

1

〃平面

1

,故B正确；

对于C,由于■1平面

1

1

,又

1

u平面

1

1

,所以±

1

若±

1

，又n=,DP、u平面DPC,则

1

_L平面DCP,

又u平面DCP,故BC

1

1，则P为

1

中点，与P为动点矛盾，放c错误：

对于D连接

1

,B1),

/

易知

1

平面ABCD,u平面ABCD,故AC_1_

1

又正方形ABCD中±，且n

I

=,BD、

1

u平面

1

故AC_L平面

1

又

1

U平面

1

，故DB

1

同理可得

1

±

1

又n

1

=,AC、

1

u平面

1

可得

1

J•平面

1

,又

1

U平面

1

故平面

1

_L平面

1

,故D正确.

故选ABD.

13.是虚数单位，复数.

【答案】75

解：复数，

故答案为:.

14.已如向量，满足，若，则的最大值为

【答案】4

【详解】

设,则，

所以4一〃W4+〃=7?+1,

22-2--

7M+(1-4)2

=AZ?+(1—/l)c=A2c+2A(1-A)Z?-c

=4r+9(l-/L)2=1322-182+9(0<2<l),

由二次函数性质可得,，即:

所以a-n<a+n=/?+1<4

所以a—4Z?—(l-4)c=a—n的最大值为4.

故答案为:4.

15.在中，一则的值为.

【答案】1

27

【详解】

解：在中,，

故2bccosA=-ac•cosQr-B)=ac,cosB,

由余弦定理可知：，

即3a2-3h2=c2,

由正弦定理可知:，

由题知/,

/.sin2A-sin2B=—.

27

故答案为:.

16.如图，在边长为的正方形中,，分别是边，上的两个动点，且，为的中点,，则的最大值是

【分析】

建立直角坐标系,，设,，然后根据得，再设,，，根据、表示出，进而表示出，换元之后利汨基

本不等式求解最值.

【详解】

以为坐标原点，以，所在宜线为，轴建立平面直角坐标系，设,，则.

由可得，所以可设,，.

因为，由可得,，

所以.设,，

1116+4f44,4

—+—=----------=---------=----------------<-------

2

贝//7+4/+Z[+」z+4+--425—4，

r+4r+4

即当时，取最大值，最大值为.

故答案为：.

17.已知,，分别是内角,，所对的边，且满足，若为边上靠近的三等分点,，求:

（1）求的值；

（2）求6+2〃的最大值.

【答案】⑴；（2）.

【分析】

（1）根据，利用正弦定理化简得到，再利用余弦定理求解；

（2）根据，两边平方整理得到，再利用基本不等式求解.

【详解】

（1）因为，

由正弦定理得，

即/+从_。2=/，

2

2»221

所以由余弦定理得得cosC=±+'=,.

2ab4

（2）由题意得，

两边平方得，

整理得,即,

而。入3，、3(b+2a

mJ3ab=-(b-2a)<-......=3"2小

2、72l2

于是(Z?+2a『《l+3(/?+2Q)2,

8

所以，即,

当且仅当b=2a=叵取等号.

5

所以求〃+2〃的最大值是马何

5

18.的内角，，的对边分别为,，，已知为锐角，.

⑴求；

（2）若，且边上的高为，求的面积.

【答案】（1）n/6（2）7囱

【解析】

解：（1）因为，

所以2a/?sinB=c2-a2+2abeusC,

由余弦定理得,，

所以2a力sinB=,

即2tzsinB=b,

由正弦定理得,，

所以2sinAsinB=sinB,

因为sin8>0,

故sinA=—>

2

由为锐角，，

（2）由题意得,，

所以力c=4&i,

因为〃=正<,

4

所以,，

由余弦定理得,，

解得a=7,

所以S=6a=7x/5.

19.在三角形中,，D是线段上一点，且,F为线段上一点.

（1）若，求的值；

（2）求的取值范闱;

【答案】⑴,（2）

【分析】

（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，得到，从而可求出的值，进而可求得的值;

（2）根据题意先求出，设，再由平面向量数量积运算，即可求得结果

【详解】

解：（1）因为，所以，

得而「通+!而，

33

因为，所以,

所以x-y二;，

（2）因为在三角形中,，

所以NCAB=C,8C=vg,

3

所以5・放=（6+标）•福二西+而•总，

,由题意得，

所以方.西二瓦•可+南.可=［阿•1网cosNCAB-|西2,

12（1V1

2I4）16

因为，所以，

所以才•西的取值范围为-3,」

_10_

20.已知函数的最大值为2,且的最小正周期为.

（I）若,，求的最小值和最大值；

（H）设的内角、、的对应边分别为、、，为的中点，若…求的面积.

【答案】（1）2;-（2）

解:，，

由题意得,,即,

贝lj(p=——,

因为丁二"，

所以,，

因为,，

所以,，

所以,，

故函数的最大值2,最小值.

由得,，

由,得,

由为三角形内角得，

因为为的中点,，，

所以8万=」(84+8(7),

2

LL,r----2371-->21---.21―-----1,1,1

所以8。=-=-BA+-BC+-\BA\\BC\cosB=-a2^--c2+-accosB,

4442442

所以/+3C-28=0,

解得或(舍，

故的面积.

21.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD,CE为

路灯灯杆，/□□□二

2J

3

,在E处安装路灯，且路灯的照明张角/□□口二

□

3

.已知口=4口，□匚=2匚.

/

⑴当M,D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN;

(2)求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，考查了正弦定理，余弦定理和三角形面积公

式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.

(1)直接利用余弦定理和三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果；

⑵利用余弦定理和正弦定理的应用及相关的运算的应用求出结果.

【答案】

(1)路灯在路面的照明宽度为

7

3

2

m；

(2)照明宽度MN的最小值为

10

3

3

m.

【解析】

解：（1）当，重合时,

由余弦定理知，

2

+

2

-2，cosN

=2

7

所以cosN=

2

2

2

2

5

7

14

因为N

2

,所以sinZ=cosZ

5

7

14

因为cosZ>0,所以cosZ

1-

sin

2

Z

21

14

因为/=

3

,所以sinN=sin

2

3

-Z

=sin

2

3

cosZ-cos

2

3

sinZ=

2

7

7

,在△中，由正弦定理可知,

sinZ

sinZ

解得=

7

3

2

(2)易知E到地面的距离h=4+2sin

2

3

2

=5m,

由三角形面积公式