2.2 认识二次函数2026-2027学年鲁教版九年级数学上册

第二章二次函数2.2认识二次函数学习目标1.能结合具体情境，表示变量之间的二次函数关系，理解二次函数的概念.

2.会应用二次函数的概念，进行二次函数关系的判断；计算字母的取值.学习重难点能结合具体情境，表示变量之间的二次函数关系，理解二次函数的概念.会应用二次函数的概念，进行二次函数关系的判断；计算字母的取值.难点重点复习导入

函数一次函数反比例函数二次函数正比例函数y=kx+b(k≠0)y=kx(k≠0)一条直线双曲线变量之间的关系源于生活的数学

某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的函数表达式是什么？x能取哪些值？

果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结（600-5x）个橙子，因此果园橙子的总产量你能根据表格中的数据作出猜想吗？y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.

在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？x/棵…67891011121314…y/个……604206045560480604956050060495604806045560420生活问题数学化6037560455604806049560500604956048060455604206037560420你发现了吗？尝试·思考

(1)某公司今年4月份实现利润20万元，预计5~6月利润将持续增长。如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为x，6月份的利润为y万元，那么y与x之间的函数表达式是什么?x能取哪些值?y=20(x+1)²=20x²+40x+20，，x＞0.（2）已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？可能是75cm2吗？还可能是多少？如果设这个矩形的一条边长为xcm，面积为ycm”，那么y与x之间的函数表达式是什么?x能取哪些值?（3）两数的和是20，设其中一个数是x，这两个数的积是y，那么y与x之间的函数表达式是什么?x能取哪些值?y=x(20-x)=-x2+20x，x为任意实数.面积可能是100cm2，也可能是75cm2

.y=x(20-x)=-x2+20x，0＜x＜20.观察·交流一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫作x的二次函数.（1）关于x的代数式一定是整式，a，b，c为常数，且a≠0.（2）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.提示：观察由上述问题得到的雨数表达式:y=-5x²+100x+60000，y=20x²+40x+20，y=-x²+20x，它们有什么共同特征?与同伴进行交流.典例精析例1下列函数中，哪些是二次函数？（1）y=3(x-1)²+1（3）

s=3-2t（5）y=(x+3)²-x²（6）

v=10πr²（是）（是）（不是）（是）（不是）（不是）²用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？答：是二次函数关系式.解：S=a(-a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.

例2例3

（2）如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数，则k的值一定是______.0（1）如果函数y=+kx+1是二次函数，则k的值一定是______.0或3课堂练习1.下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为()A.y=ax2+bx+cB.y2=x2-4x+1C.y=x2D.y=2+√x2+12.函数

y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件()A.m,n是常数,且m≠0B.m,n是常数,且n≠0C.m,n是常数,且m≠n

D.m,n为任何实数CC3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积s

与半径r之间的关系式.S=4πr2

4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽相等,高比长多0.5m。(1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积S(㎡)如何表示?S=2[x2+x(x+0.5)+x(x+0.5)]=6x2+2x(2)如果涂漆每平方米所需要的费用是5元,油漆每个长方体所需要费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么?y=5S=5(6x2+2x)=30x2+10x课堂小结概念：一般地,形如

y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫作x的二次函数.二次函数几种不同表示形式:

(1)y=ax²(a≠0)(2