陕西商洛市2027届高三上学期学情调研数学试卷（含答案）

2027届高三学情调研试题(卷)

数学

注意事项：

1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.

4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.

5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.样本数据6,8,4,5,12的75%分位数为

A.5B.6C.7D.8

2.设全集U={x∈Z|x²<5},集合A={0,1,2},B={-1,0,2},则C(A∩B)=

A.{0,2}B.{-2,-1,1}C.{-1,1}D.{-2,-1,1,2}

3.已知平面向量a,b不共线，且4a-yb=-xa+2b,则

A.x=4,y=2B.x=-4,y=2C.x=4,y=-2D.x=-4,y=-2

4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是

A.f(x)=(x+1)²B.f(x)=2*+2C.f(x)=cosxD.f(x)=|1gxl

5.已知圆x²+y²=4经过双曲线C(a>0,b>0)的焦点，且双曲线C的离心率为2,则双曲

线C的渐近线方程为

A.y=±√3xBC.y=±2xD

6.在△ABC中，“sinA=sinB”是“cosA=cosB”成立的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数f(x)=2x²-alnx在区间(1,+∞)上单调递增，则正数a的取值范围为

A.(4,+∞)B.(4,+∞)C.(0,4)D.[0,4]

高三数学试题-1-(共4页)

8.已知等差数列{a}与等比数列{b}的首项均为1,公差与公比均为2.将数列{b。中的所有项按

原顺序依次插入数列{a中，组成一个新数列：a₁,b₁,a₂,b₂,b₃,b₄,a₃,b₅,b₆,b₇,b₈,b₉,a₄,…,其

中a,与a+1之间插入2k-1项{b}中的项，该新数列记作{c,则C₂00=

A.369B.371C.2185D.2186

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函,将y=f(x)的图象沿x轴的正方向平移φ(0<φ<4π)个单位长度，得

到y=g(x)的图象，且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称，则下列结论正确的有

A.函数f(x)在区间()单调递增B.函数g(x)的最小正周期为2π

C.函数f(x)与g(x)有相同的对称轴D.φ的可能取值为π,3π

10.数列{a为等差数列，S为其前n项和.已知a₃=2,S₉=90,则下列结论正确的有

A.a₅=10B.|aₙ}为递减数列

C.S₇=42D.当n=2时，S,最小

11.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,且M,N两点在抛物线C上，0为原点，下列结论正确的有

A.抛物线C的准线方程为x=-1

B.存在点M,使得△OMF为等腰直角三角形

C.若M、N、F共线，则△MNO面积的最小值为2

D.若OM⊥ON,则直线MN恒过点Q(4,0)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.复的共轭复数为

13.一个圆柱的体积和底面周长均为2π,若该圆柱能够被整体放入一个球内，则该球的最小体积

由为

14.将1,2,3,…,9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字

依次变小.若将1,6填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为

6

1

(第14题图)

高三数学试题-2-(共4页)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√3acosC=csinA.

(1)求角C的大小；

(2)若c=2,△ABC的面积为√3,求△ABC的周长.

16.(本小题满分15分)

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°,0,M分别为

BC,SC的中点，AC=2.

(1)证明：BC⊥平面OAS;

(2)求平面SOA与平面MOA夹角的余弦值.

(第16题图)

17.(本小题满分15分)

2026年3月1日开始，我国PM₂.5(可人肺颗粒物)执行过渡阶段浓度限值，即PM₂5日均值在

35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～60微克/立方米之间(包括35,60)

空气质量为二级.

某地区8月份中两个星期的PM₂5日均监测数据(单位：微克/立方米)如下：

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

28929563757453

33343768314544

(1)从这两个星期的PM₂5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有两天空气质量达到一级

的概率；

(2)从这两个星期的数据中任取三天数据，记X表示抽到空气质量达到一级的天数，求X的分

布列和数学期望；

(3)记这两个星期样本的方差为S²,将这两个星期样本数据去掉一个最大值和一个最小值，记

去掉最值后12天数据的样本方差为S²,判断S²,S²的大小.(结论不要求证明)

高三数学试题-3-(共4页)

18.(本小题满分17分)

过圆0:x²+y²=9上的动点M向x轴作垂线，垂足为D,动点N满足DN=2NM.

(1)求动点N的轨迹E的方程；

(2)过点P(-4,0)且斜率不为0的动直线l与E相交于A,B两点，AB的中点为Q,

(i)证明：直线I与0Q的斜率之积为定值；

(ii)求△OAB面积的最大值.

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=x²+mx-ne*-1,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x-y-2=0.

(1)求实数m,n的值；

(2)求证：f(x)存在两个极值，且两极值均小于0;

(3)若函数y=kx与f(x)图象有三个不同的交点，求证：k<0.,

(参考数据及结论：e¹7³≈5.64;当x→+∞时

高三数学试题-4-(共4页)

2027届高三学情调研试题(卷)

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.D【解析】将样本从小到大排列为：4,5,6,8,12,

由5×75%=3.75,所以75%分位数为8.

2.B【解析】依题意U={x∈Z|x²<5|={-2,-1,0,1,2},A∩B={0,2},

故C,(A∩B)=|-2,-1,1}.

3.D【解析】因为4a-yb=-xa+2b,

所以(4+x)a=(2+y)b,

因为a,b不共线，所以4+x=2+y=0,即x=-4,y=-2.

4.B【解析】A中函数在区间(0,+∞)上单调递增，但不是偶函数，

C中函数是偶函数，但在区间(0,+∞)上不单调递增，

D中函数的定义域为(0,+∞),不是偶函数，故排除A,C,D.

5.A【解析】依题意解得a=1,b=√3,

所以双曲线C的渐近线方程为y=±√3x.

6.C【解析】在△ABC中，若sinA=sinB,则A=B或A+B=π(舍),

所以cosA=cosB,充分性得证；

若cosA=cosB,则A=B,即sinA=sinB,必要性得证.

7.D【解析】函数f(x)=2x²-alnx的定义域为(0,+∞),

由f'(x)>0,解得

所以即a≤4,所以0<a≤4.

8.C【解析】数列{c中a+1之前插入的|b中的项数为1+3+5+…+2k-1=k²,

当k=14时，数列{c}中a+1之前插入的{b。}中的项数为196,

所以数列{c中a₁₅之前(包括a₁₅)共有196+15=211项，

而在a₁₄与a₁₅之间插入了2×14-1=27项，

又bₙ=2”⁻¹,所以c20=b196-(211-1-200)=b186=2185.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选

项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6

分；有选错的得0分.

9.BCD【解析】显然,A错误；

的最小正周期为2π,

所以函数g(x)的最小正周期为2π,B正确；

由f(x)的图象与平移后图象的对称性易知，C,D正确.

10.ACD【解析】设等差数列|a的公差为d,

因为所以a₅=10,A正确；

高三数学试题-答案-1(共5页)

又a₅-a₃=2d=8,即d=4>0,故\a,为递增数列，B错误；

因为a₅+a₃=12,所以,C正确；

数列|a|的各项依次为：-6,-2,2,6,…,故D正确.

11.ACD【解析】对于A,因为抛物线C:y²=4x,故其准线方程为x=-1,A正确；

对于B,若△OMF为等腰直角三角形，则∠OMF=90°,或∠OFM=90°,

若∠OMF=90°,则,显然M不在C上，矛盾；

若∠OFM=90°,则M(1,±1),显然M不在C上，矛盾，B错误；

对于C,由题得F(1,0),设直线MN的方程为x-1=my,M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),

联立得y²-4my-4=0,△=16m²+16>0,

所以y₁+y₂=4m,y₁y₂=-4,

当且仅当m=0时，等号成立，此时直线MN的方程为x=1,

故△MNO面积的最小值为2,C正确；

对于D,设直线OM的方程为y=kx,显然k≠0,

联立得k²x²-4x=0,

解得或x=0(舍),此时,故

因为OM⊥ON,则用代换k可得N(4k²,-4k),

当k存在时

则直线MN的方程为

即,此时经过定点Q(4,0),

当k不存在时，此,解得k=±1,此时x=xɴ=4,

综上，直线MN恒过定点Q(4,0),D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【解析其共轭复数为

13.【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h,

则π²h=2πr=2π,解得r=1,h=2.

依题意当球外接圆柱时，该球的体积最小.

设球的半径为R,则,解得R=√2,

所以该球的最小体积

14.12【解析】根据题意，由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，则数字9在左上角，如图，

高三数学试题-答案-2(共5页)

9ab

c6d

ef1

易得7和8必须排在a或c的两个位置，有A2种方法，

从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在e,f位置，有C2种方法，

最后两个数字从上到下由大到小排在b,d位置，有1种方法，

所以填写方格表的方法共有A²C²×1=12种.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解：(1)由√3acosC=csinA及正弦定理得√3sinAcosC=sinCsinA,(2分)

又0<A<π,所以sinA≠0,

所以√3cosC=sinC,即tanC=√3,………………………(4分)

又0<C<π,所以……………………(6分)

(2)因为△ABC的面积为√3,

,解得ab=4,…………………(9分)

又因为c²=a²+b²-2abcosC=(a+b)²-2ab-2abcosC,

,所以a+b=4,……………(12分)

故△ABC的周长为a+b+c=4+2=6.…………………(13分)

16.解：(1)证明：由侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，可知SB=SC=AB=AC,

又0为BC的中点，

所以AO⊥BC,SO⊥BC,……………………(3分)

又AONSO=0,

故BC1平面OAS.…………………………(6分)

(2)因为AB=AC=2,∠BAC=90°,

所以BC=√2²+2²=2√2,0A=√2.

易知△BAC≌△BSC,所以△BSC为等腰直角三角形，

所以OS=OA=√2.

所以OA²+OS²=SA²,则SO⊥A0.…………(8分)

又AO⊥BC,BCNSO=0,

所以AO⊥平面SBC…(11分)

又MOC平面SBC,所以MO⊥A0.

所以∠MOS是平面SOA与平面MOA所成的角，………(13分)

易知△SOC为等腰直角三角形，

又M为SC的中点，

所以∠MOS=45°,故

故平面SOA与平面MOA夹角的余弦值…………(15分)

(注：学生若用其它方法作答，只要解答正确，可参照给分)

17.解：(1)依题意可知，14个数据中，PM2.5日均值小于35的有4个，大于等于35的有10个，……………(1分)

故恰有两天空气质量达到一级的概率为………………(5分)

高三数学试题-答案-3(共5页)

(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,

所以X的分布列如下所示：

X0123

P(X)

故.………………(12分)

(3)S²>S2.

理由如下：方差反映数据的波动大小，原样本包含最大值和最小值，数据波动较大；去掉最大值和最小值后，

剩余数据的波动减小，离散程度降低，因此方差减小.…………………(15分)

18.解：(1)设M(x₀,y%),N(x,y),则D(x₀,0),

所以DN=(x-x₀,y),VM=(x₀-x,y。-y),

又DN=2NM,所以(x-x₀,y)=(2x₀-2x,2y。-2y),

………………(3分)

所以

故动点N的轨迹E的方程…………………(5分)

(2)(i)证明：由题可设1:x=ty-4,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

消去x得(4t²+9)y²-32ty+28=0,………(6分)

△=(-321)²-4×28(4t²+9)=16×9(4t²-7)>0,即,…………………(7分)

所以

,从

故,………………………(9分)

所以直线0Q的斜率,………………(10分)

显然t≠0,所以直线l的斜率

故直线l与0Q的斜率之积为定…………………(11分)

(ii)由(i)可知…………(13分)

点O到直线1的距离,…………(14分)

高三数学试题-答案-4(共5页)

所以

令√4t²-7=m,则m>0,

,当且仅当,即m=4时，等号成立.

当m=4时，,符合题意.

故△OAB面积的最大值为3.……………(17分)

19.解：(1)因为f(x)=x²+mx-ne-1,所以f'(x)=2x+m-ne,

所以f(0)=-n-1,f'(0)=m-n,…………(2分)

又曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x-y-2=0,

解得m=2,n=1.………………(4分)

(2)证明：由(1)知f(x)=x²+2x-e*-1,f'(x)=2x+2-e*,

令g(x)=2x+2-e,则g'(x)=2-e³,

当x<In2时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

当x>In2时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

,g(1)>0,g(1.73)<0,

所以存在),x₂∈(1,1.73),使得g(x₁)=g(x₂)=0.

故f(x)存在两个极值.……………………