四川省蓉城名校联盟2026-2027学年高三上学期开学考试数学+答案

高三年级

数学

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、考籍号用0.5毫米的黑色签

字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦

擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，

超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x∈N|x≤5},则下列结论正确的是

A.-1∈AB.-1AC.{0}∈AD.{0}≌A

2.已知命题p:“3x>0,x+2>e×”,则命题p的否定p为

A.3x>0,x+2≤eˣB.Vx>0,x+2≤e*

C.3x≤0,x+2≤e*D.Vx≤0,x+2≤e*

3.函数的最大值为

A.-2B.-4C.-6D.-9

4.“0<m<1”是“m(m-2)<0”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.不等式x²-2|x|-3≤0的解集为

A.[-1,1]B.[-3,3]

C.[一∞,-1]U[1,+∞)D.[-∞0,-3]U[3,+∞)

6.每只红蜘蛛的平均产卵数y(个)和平均温度x(摄氏度)有关，用模型y=c₁eˣ(其

中e为自然对数的底数)拟合，引入中间变量z,令z=lny,将原始数据进行变换，

得到新的成对数据：

x2324252627

Z3.54556.5

由上表可得经验回归方程z=0.7x+a,则c等于

A.-8B.e-⁸C.-12.7D.e-¹2.7

7.已知在菱形ABCD中，∠BAD=60°,将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角

A-BD-C为直二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为

AC.D.

数学试题第1页(共4页)

8.如果过点(2,m)作曲线f(x)=x³-x的切线，恰有三条，则实数m的取值范围为

A.(-2.6)B.(-6,2)C.(-2,2)D.(-6,6)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是

A.当经验回归方程为=-0.5x+2时，变量x和y负相关

B.样本相关系数r的绝对值越接近0,成对样本数据的线性相关程度越强

C.回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水

平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好

D.回归分析中，决定系数R²越小，拟合效果越好

10.下列命题为真命题的是

A.若a>0,b>0且ab=4,则a+4b的最小值为8

B.若a>0,b>0且,则a+4b的最小值为9

C.若a>2,a-b=2,则的最小值为2

D.若a>0,b>0且a+2b+2ab=3,则a+2b的最小值为2

11.已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点，则下列结论正确的是

A.抛物线上任意一点到点(2p,0)的距离最小值为2p

B.若点D为抛物线上的动点，点Q(2p,p),则|DQl+|DF|的最小值为

C.若过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点，且|AFI>|BF|,则

|AF|=3|BF|

D.若过点(p,0)的直线与抛物线交于M,N两点，则点O在以MN为直径的圆内

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(x+1)³的展开式中x²的系数为.(用具体的数字作答)

13.已知集合A={x|y=√1-x},B={|y=√1-x},C=A∩B,

D={x|x²-(m+2)x+2m≤0},若C∩D=C,则实数m的取值范围为·

14.从正方体两个顶点连接所得的直线中，任取一对异面直线，其所成角为的概率为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知数列{an满足a₁=3,a+1=2a,-2.

(1)证明数列{an-2}是等比数列；

(2)求数列{a)的前n项和S,.

数学试题第2页(共4页)

D6.(15分)

如图、园边形44BB是圆柱的轴魏面，C是下底面圆周上一点，AC=AAĄ=2,

BC=2√3,点D为线段BC的中点.

(1)求三棱锥D-AAC的体积：

(2)求二面角B₁-AD-B的余弦值.

17.(15分)

青白江城丽古镇为打造群众满意的旅游景区，大力开发旅游产业.

(1)某部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，下表是从接待游客中

随机抽取的100位游客的满意度调查表，依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析游客

对本地景区的满意度是否与报团游或自助游有关联：

报团游自助游合计

满意303060

不满意301040

合计6040100

附表：

a0.100.050.0100.001

xa2.7063.8416.63510.828

(2)为安排好2026年6月份的游客接待工作，该部门统计了景区2026年1月份到5

月份的接待游客人数y(单位：万人),统计结果如下：

月份x12345

接待游客人数y(单位：万人)122.534

求样本相关系数r的值(精确到0.01),请说明月份x与接待游客人数y之间线性相

关的强弱；若线性相关强，求出y关于x的经验回归方程，并预测2026年6月份游客的

人数.

附：经验回归方程=bx+a的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为：

,a=j-bx,相关系数

数学试题第3页(共4页)

18.(17分)

已知椭圆的左、右焦点分别为F,F₂、

(1)求椭圆的离心率.e;

(2)设点P为第一象限内椭圆上的点，若PF⊥PF₂,求点P的坐标：

(3)过右焦点F₂的直线与椭圆交于A,B两点，在x轴上是否存在定点T,使得不T

的值为定值?若存在，求出定点T的坐标及该定值：若不存在，请说明理由、

19.(17分)

已知函数f(x)=lnx-x+1.

(1)求函数f(x)的极值；

(2)证明：

(3)若f(x)≤xeˣ-mx恒成立，求实数m的取值范围.

高三年级

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

12345678

DBCABDCA

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011

ACABDBCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.313.[-∞,0]14.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

解：(1)证明：

∵an+1=2an-2,

∴an+1-2=2(an-2),…………4分

又∵a₁-2=1≠0,

故数列{aₙ-2}是首项为1,公比为2的等比数列；…………6分

(2)由(1)得，

an-2=(a₁-2)·2”⁻¹=2"-1,

∴aₙ=2”⁻¹+2,…………8分

∴Sₙ=(1+2+4+…+2”-)+(2+2+2+…+2)…………10分

=2”-1+2n

=2”+2n-1.…………13分

16.(15分)

解：(1)∵AB为下底面圆周的直径，C是下底面圆周上一点，

∴CA⊥CB,

…………2分

…………4分

…………6分

又∵V三棱锥D-A4c=V三核维4-4CD,

故棱锥D-A₁AC的体积为…………7分

1

(2)分别以CB,CA所在直线为x轴，y轴，过点C且垂直于平面ACB的直线为z轴，如图，建立

空间直角坐标系，

则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2√3,0,0),D(√3,0,0),B,(2√3,0,2),……8分

平面BAD的一个法向量为m=(0,0,1),…………9分

设平面B₁AD的一个法向量为n=(x,y,z),

∵AD=(√3,-2,0),AB₁=(2√3,-2,2),

令x=2,则y=√3,z=-√3,

∴n=(2,√3,-√3),…………12分

…………14分

又∵二面角B₁-AD-B为锐二面角，

故二面角B₁-AD-B的余弦值为…………15分

17.(15分)

解：(1)零假设H₀为：游客对本地景区的满意度与报团游或自助游无关，…………1分

…………6分

∴依据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H₀不成立，因此可以认为游客对本地景区的满意

度与报团游或自助游有关；…………7分

(2)·

…………10分

相关系数

故月份x与接待游客人数y之间线性相关程度很强，…………12分

故y关于x的经验回归方程为=0.7x+0.4,…………14分

当x=6时，=0.7×6+0.4=4.6,

估计2026年6月份游客的人数为4.6万人.…………15分

2

18.(17分)

解：(1)∵a²=6,b²=2,

∴c²=a²-b²=4,…………2分

∴a=√6,c=2,

故椭圆的离心率，…………4分

(2)设P(x₀,y),x₀>0,yo>0,

∵点P在椭圆上，

,即x₀²+3y。²=6,…………5分

∵PF₁⊥PF₂,F₁(-2,0),F₂(2,0),

∴PF·PF₂=(-2-x₀,-y。)·(2-x₀,-y。)=0,

∴x。²+y²=4,…………7分

由

解得x₀=√3,yo=1,

故点P的坐标为(√3,1);…………9分

(3)假设在x轴上存在定点T(t,0),使得TA·TB的值为定值，

当直线AB的斜率为0时，

A(-√6,0),B(√6,0),TA·TB=t²-6,

当直线AB的斜率不存在时，

…………11分

接下来判断当点T的坐标为直线AB的斜率存在且不为0时，TA·TB的值是否为定值，

设直线AB的方程为x=my+2,A(x,y₁),B(x₂,y₂),

由得，

(m²+3)y²+4my-2=0,

△=16m²+8(m²+3)>0,…………13分

3

…………16分

∴当点T的坐标为时，…………17分

19.(17分)

解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+0),…………1分

…………2分

令f'(x)=0,解得x=1,

x(0,1)1(1,+∞)

f'(x)+0一

f(x)单调递增极大值单调递减

…………3分

∴f(x)极大值=f(1)=0,无极小值；…………4分

(2)证明：

由(1)得f(x)=Inx-x+1≤0,即Inx≤x-1,当且仅当x=1时，等号成立，

…………5分

<1,…………8分

…………9分

4

(3)∵Inx-x+1≤xeˣ-mx在(0,+∞)上恒成立，

…………11分

令h(x)=x²eˣ+Inx,

h(x)在(0,+0o)上单调递增，

h(1)=e>0,x→0⁺,h(x)→-∞,

∴3x₀∈(0,1),h(x₀)=0,

当x∈(0,x₀)时，h(x)<0,g'(x)<0,

当x∈(x₀,+0∞)时，h(x)>0,g'(x)>0,

…………13分

设F(x)=x·e,

∵x₀∈(0,1),

又∵F(x)=x·e在(0,+0)上单调递增，

…………15分

∴m-1≤1,m≤2,

故实数m的取值范围为(-∞,2).…………17分

5

部分解析：

1.解：∵A={0,1,2,3,4,5},故选D.

3.解：当x=-3时取得最小值-6,故选C.

4.解：m(m-2)<0⇔0<m<2,故选A.

5.解：x=0,x=3时不等式成立，故选B.

6.解：中心点(25,4.8)在回归方程Z=0.7x+a上，a=-12.7,Inc₁=-12.7,故选D.

7.解：,故选C.

8.解：设切点(x₀,x³-x₀),∵f'(x₀)=3x。²-1,∴切线方程为y-(x。³-x₀)=(3x。²-1)(x-x₀),过点

(2,m),∴m=-2x³+6x。²-2有三个根，设g(x)=-2x³+6x²-2,g'(x)=-6x²+12x,

∴g(x)极小值=g(0)=-2,g(x)极大值=g(2)=6,故选A.

9.解：样本相关系数r的绝对值越接近1,成对样本数据的线性相关程度越强，故B