人教版数学八年级上册 第13章 三角形（举一反三单元自测·培优卷） 试卷 含答案

第13章三角形·培优卷【新教材人教版】时间：120分钟满分：120分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（

）A．5，7，2 B．5，9，3 C．5，7，3 D．4，5，102．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（

）A．CF B．BE C．CG D．AD3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，则△BDE的面积是（

）A．15 B．10 C．7.5 D．54．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1=130°，则∠2等于（A．70° B．60° C．50° D．40°5．下列图形不具有稳定性的是（

）A． B． C． D．6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1=30°，则∠2的度数为（

A．100° B．110° C．125° D．130°7．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成△ABC，白棋D，E，F，G在△ABC中，则正好与△ABC的重心位置重合的白棋是（

）A．D B．E C．F D．G8．如图，在△ABC中，∠A=60∘，∠C=40∘，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则A．10° B．20° C．30° D．40°9．（25-26七年级下·山西吕梁·期中）如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，入射光线DE和反射光线CD分别位于法线DF的两侧，入射角∠EDF等于反射角∠CDF，DF⊥OA．若∠DEB=∠EDF=60°，则∠AOB的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°10．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，点N在射线DB上，且BN平分∠FBC，若∠ACB=110°．则下列结论：①∠MAB=∠BAD；②∠ABM=∠BAM；③∠NBC=∠BDH；④若∠CBM=α，则∠BAD=55°−12α；⑤∠DBA=55°A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．如图，在△ABC中，∠A=86°，△ABC的两条内角平分线BE、CD交于点P，则∠BPC的度数为______°．12．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图所示，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=6,△ACD的周长为24，则△ABD的周长为__________．13．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的三边分别是3，4，x，且x是整数，则满足条件的三角形有___________个．14．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，我校建筑多为东西方向“坐北朝南”，初中部A和初中食堂B在一条直线上，幼儿园C与小学部D在一条直线上，高中部E在初中食堂的南偏东，∠ABE=110°，∠CDE=140°，则∠E为________°．15．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE，使点B的对应点D落在BC上，DE与AC交于点F．若∠ABC=55°, ∠ACB=35°，则∠EFC的度数为16．如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2三、解答题（本大题共9小题，满分72分）17．（6分）（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，∠ACB>∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E．(1)若∠B=40°，∠ACB=80°，求∠E的度数；(2)求证：∠E=118．（6分）（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，AD是△ABC的中线，AB>AC，DE、DF分别是△ACD的高与角平分线．(1)若△ABD与△ACD的周长差为2，AB=7，求AC的长；(2)若∠ACB=62°，∠DAC=40°，求∠EDF的度数．19．（6分）（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，D是△ABC中AB边上一点，连接CD，且∠ACD=1(1)图中共有几个三角形，分别是哪些?(2)CD是△ABC的．（填“高线”“中线”或“角平分线”）(3)若∠ACD=45°，∠B=35°，求∠A的度数．20．（8分）（24-25八年级上·贵州遵义·阶段检测）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论．如图，已知∠A，∠B，∠C是小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法：小颖作的辅助线如图①，过点C作DE∥AB；小星作的辅助线如图②，作AB的延长线AF，作BE∥AC；小红作的辅助线如图③，作CG∥AB；请你认真阅读思考并完成如下问题：(1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程．(2)在图2中，求证：∠CBF=∠A+∠C．21．（8分）（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知AB,CD相交于点O,∠A=50°,∠D=40°．(1)如图1，若BE平分∠ABD交CD于点F，CE平分∠ACD交AB于点G，求∠BEC的度数；(2)如图2，延长AC至点H，若直线BF平分∠ABD交CD于点F，CM平分∠DCH交直线BF于点M，求∠BMC的度数．22．（9分）（25-26七年级下·广东湛江·期中）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO的度数为，△AOB（填“是”或“不是”)“和谐三角形”；（2）若∠ACB=84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．【应用拓展】（3）如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．23．（9分）（25-26八年级上·山东日照·期末）在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上任意一点，连接AD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BG⊥AC于点G．(1)如图1，观察、测量、猜想、证明DE，DF，BG之间的数量关系，完善空格内容．小明是这样证明的：∵S△ABC=∴1∵AB=AC，∴__________．(2)如图1，当点D为BC中点时，试判断BG与DE的数量关系__________．(3)如图2，当点D在BC的延长线上时，请猜想DE，DF，BG之间的数量关系并证明．24．（10分）（25-26八年级上·江西吉安·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．

【提出问题】小明提出：如图①∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究．【解决问题】(1)请你帮小明解决这个问题，并说明理由．(2)如图②，求∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系，并说明理由．(3)如图③，已知∠ABC=25°，∠C=60°，AE∥CD，求25．（10分）（25-26七年级下·吉林长春·期中）结合图形，解答下列各题：【问题】(1)如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，则∠BEC=_____；【探究】(2)如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．试猜想∠BEC和∠A有怎样的关系，并说明理由；【应用】(3)如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=n°，则∠BEC=_____．

第13章三角形·培优卷【新教材人教版】参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（

）A．5，7，2 B．5，9，3 C．5，7，3 D．4，5，10【答案】C【分析】只需验证两条较短边的和大于最长边即可，满足条件即可围成，不满足则不能围成.【详解】解：选项A中，较短边为2，5，最长边为7，2+5=7，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形；选项B中，较短边为3，5，最长边为9，3+5=8<9，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形；选项C中，较短边为3，5，最长边为7，3+5=8>7，满足三角形三边关系，故能围成三角形；选项D中，较短边为4，5，最长边为10，4+5=9<10，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形.2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（

）A．CF B．BE C．CG D．AD【答案】D【详解】解：△ABC中BC边上的高是AD．3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为30，则△BDE的面积是（

）A．15 B．10 C．7.5 D．5【答案】C【分析】利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，先由AD是△ABC的中线求出△ABD的面积，再由BE是△ABD的中线求出△BDE的面积．【详解】解：∵AD为△ABC的中线，S△ABC∴S△ABD∵BE为△ABD的中线，∴S△BDE4．（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1=130°，则∠2等于（A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】D【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠CBD的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答．【详解】解：∵直线a∥b，∴∠CBD=180°−∠1=50°，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠2=180°−∠CBD−∠CDB=180°−50°−90°=40°．5．下列图形不具有稳定性的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．【详解】解：根据三角形的稳定性可得B、C、D都具有稳定性，不具有稳定性的是A选项．6．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1=30°，则∠2的度数为（

A．100° B．110° C．125° D．130°【答案】B【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C′，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．【详解】解：如图：∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°−65°−75°=40°，由折叠的性质可知，∠C′=∠C=40°，∴∠3=∠1+∠C′=70°，∴∠2=∠C+∠3=110°．7．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成△ABC，白棋D，E，F，G在△ABC中，则正好与△ABC的重心位置重合的白棋是（

）A．D B．E C．F D．G【答案】D【分析】确定三边中线的交点即可得出答案．【详解】解：由图可知△ABC边AC、BC边上的中线交于点G，即正好与△ABC的重心位置重合的白棋是G．8．如图，在△ABC中，∠A=60∘，∠C=40∘，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】A【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义求出∠ABE的度数，接着根据高线的定义和直角三角形两锐角互余求出∠ABD的度数，最后通过∠【详解】解：∵∠A=60°，∴∠∵BE是△ABC的角平分线，∴∠∵BD是△ABC的高线，∴BD⊥AC，即∠BDA=90°∵在Rt△ABD∴∠∴∠9．（25-26七年级下·山西吕梁·期中）如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，入射光线DE和反射光线CD分别位于法线DF的两侧，入射角∠EDF等于反射角∠CDF，DF⊥OA．若∠DEB=∠EDF=60°，则∠AOB的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【分析】根据题意，结合垂线定义求出相关角度，再由三角形外角性质，数形结合即可求出∠AOB的度数．【详解】解：∵入射角∠EDF等于反射角∠CDF，∴∠CDF=∠EDF=60°∵DF⊥OA，∴∠ODE=90°−∠EDF=30°，∵∠DEB=60°，且它是△DEO的一个外角，∴∠AOB=∠DEB−∠ODE=60°−30°=30°．10．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，点N在射线DB上，且BN平分∠FBC，若∠ACB=110°．则下列结论：①∠MAB=∠BAD；②∠ABM=∠BAM；③∠NBC=∠BDH；④若∠CBM=α，则∠BAD=55°−12α；⑤∠DBA=55°A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由AB平分∠DAC，得到∠MAB=∠BAD，平行线的性质得到∠ABM=∠BAD，进而得到∠ABM=∠BAM，BN平分∠FBC，结合平行线的性质，得到∠NBC=∠BDH，三角形内角和求出∠CMB，平行线的性质，得到∠CAD的度数，角平分线求出∠BAD的度数，设∠CBM=α，根据角的和差关系求出∠DBA=55°．【详解】解：∵AB平分∠DAC，∴∠MAB=∠BAD；故①正确；∵EF∥GH，∴∠ABM=∠BAD，∴∠ABM=∠BAM；故②正确；∵EF∥GH，∴∠NBF=∠BDH，∵BN平分∠FBC，∴∠NBC=∠NBF，∴∠NBC=∠BDH；故③正确；∵∠ACB=110°，∠CBM=α，∴∠CMB=180−110°−α=70°−α，∵EF∥GH，∴∠CAD=∠CMB=70°−α，∵AB平分∠DAC，∴∠BAD=1设∠CBM=α，则：∠CBN=∠FBN=1由④可知：∠BAD=1∴∠ABM=∠BAD=35°−1∴∠ABC=α+35°−1∴∠ABN=35°+1∴∠DBA=180°−∠ABN=55°；故⑤正确．综上，正确的有①②③⑤，共4个．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．如图，在△ABC中，∠A=86°，△ABC的两条内角平分线BE、CD交于点P，则∠BPC的度数为______°．【答案】133【分析】根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解【详解】∵BE、CD平分∠ABC,∠ACB,∠A=86°∴∠PBC=∴∠PBC+∠PCB====47°∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−47°=133°故答案为：133【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练以上知识是解题的关键．12．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图所示，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=6,△ACD的周长为24，则△ABD的周长为__________．【答案】26【分析】先计算AD+CD的长度，由中线的定义得CD=BD，进而即可求解．【详解】解：∵△ACD的周长为24，∴AC+AD+CD=24，∴AD+CD=24−AC=24−6=18，∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD，∴AD+BD=AD+CD=18，∴AD+BD+AB=18+8=26，即△ABD的周长为26．13．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）若三角形的三边分别是3，4，x，且x是整数，则满足条件的三角形有___________个．【答案】5【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，熟练运用三角形三边关系确定第三边的取值范围，是做题的关键．根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解x的取值范围，再取整数值即可．【详解】解：由三角形三边关系，得：3+4>x，即x<7；3+x>4，即x>1；4+x>3，即x>−1（恒成立），所以x的取值范围为1<x<7，由于x是整数，因此x可取2，3，4，5，6，共5个值，即满足条件的三角形有5个．故答案为：5．14．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，我校建筑多为东西方向“坐北朝南”，初中部A和初中食堂B在一条直线上，幼儿园C与小学部D在一条直线上，高中部E在初中食堂的南偏东，∠ABE=110°，∠CDE=140°，则∠E为________°．【答案】30【分析】延长CD交BE于点F，由题意可知AB∥CF，根据两直线平行，同位角相等，可知∠ABE=∠CFE=110°，根据三角形外角的性质即可求出【详解】解：如下图所示，延长CD交BE于点F，由题意可知AB∥∴∠ABE=∠CFE，∵∠ABE=110°，∴∠ABE=∠CFE=110°，∵∠CDE=140°且∠CDE是△DEF的外角，∴∠CDE=∠DFE+∠E，∴110°+∠E=140°，∴∠E=30°．15．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到△ADE，使点B的对应点D落在BC上，DE与AC交于点F．若∠ABC=55°, ∠ACB=35°，则∠EFC的度数为【答案】105°【分析】根据旋转的性质可得AB=AD，∠ADE=∠ABC，∠DAE=∠BAC，利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，进而求出∠DAC的度数，最后在△ADF中利用三角形内角和定理求出∠AFD的度数，根据对顶角相等即可求解．【详解】解：由旋转的性质可得，AB=AD，∠ADE=∠ABC=55°，∠DAE=∠BAC在△ABC中，∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−55°−35°=90°∴∠DAE=90°∵点D落在BC上，AB=AD∴∠ADB=∠ABC=55°在△ABD中，∠BAD=180°−∠ABC−∠ADB=180°−55°−55°=70°∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=90°−70°=20°在△ADF中，∠AFD=180°−∠DAC−∠ADE=180°−20°−55°=105°∵∠EFC与∠AFD是对顶角∴∠EFC=∠AFD=105°16．如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2【答案】α【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及角平分线找到规律：后一个角是前一个角的一半，然后表示出∠A【详解】解；∵A1B平分∠ABC，A1∴∠A1BC=∵由三角形外角的性质可得∠A+∠ABC=∠ACD，∠A∴∠A以此类推∠A∠A……∴∠A故答案为：α2【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分）17．（6分）（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，∠ACB>∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E．(1)若∠B=40°，∠ACB=80°，求∠E的度数；(2)求证：∠E=1【答案】(1)20°(2)见解析【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键．（1）根据三角形的内角和定理可求出∠BAC的度数，由角平分线的定义可得∠BAD的度数，然后根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，最后根据垂线的定义和三角形内角和定理可得答案；（2）根据角平分线的定义可得∠BAD=12∠BAC，然后根据三角形外角的性质和内角和定理可证∠ADC【详解】（1）解：∵∠B=40°，∠ACB=80°，∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=1∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，∵PE⊥AD，∴∠DPE=90°，∴∠E=180°−∠ADC−∠DPE=20°；（2）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=1∵∠BAC=180°−∠B−∠ACB，∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+=∠B+=∠B+90°−1∵PE⊥AD，∴∠DPE=90°∴∠E=180°−∠DPE−∠ADC=180°−90°−=180°−90°−90°−=118．（6分）（25-26八年级上·重庆江津·期末）如图，AD是△ABC的中线，AB>AC，DE、DF分别是△ACD的高与角平分线．(1)若△ABD与△ACD的周长差为2，AB=7，求AC的长；(2)若∠ACB=62°，∠DAC=40°，求∠EDF的度数．【答案】(1)5(2)11°【分析】本题主要考查了三角形的中线，高线和角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．（1）根据三角形的中线的定义可得BD=CD，再由三角形的周长公式推出AB−AC=2，据此可得答案；（2）由三角形内角和定理求出∠ADC的度数，由高线和角平分线的定义求出∠DEA，∠ADF，再求出∠ADE的度数即可得到答案．【详解】（1）解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵△ABD与△ACD的周长差为2，∴AB+BD+DA∵AB=7，∴AC=5；（2）解：∵∠ACB=62°，∠DAC=40°∴∠ADC=180°−∠DAC−∠ACD=180°−40°−62°=78°，∵DE、DF分别是△ACD的高与角平分线，∴∠DEA=90°，∠ADF=1∴∠ADE=90°−∠DAC=90°−40°=50°，∴∠EDF=∠ADE−∠ADF=50°−39°=11°．19．（6分）（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，D是△ABC中AB边上一点，连接CD，且∠ACD=1(1)图中共有几个三角形，分别是哪些?(2)CD是△ABC的．（填“高线”“中线”或“角平分线”）(3)若∠ACD=45°，∠B=35°，求∠A的度数．【答案】(1)图中共有3个三角形，分别是△ACD，△ABC，△BCD(2)角平分线(3)55°【分析】（1）根据三角形的定义解答即可；（2）根据角平分线的定义即可求解；（3）由∠ACD=45°可得∠ACB=90°，再根据三角形内角和定理即可求解；本题考查了三角形的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】（1）解：图中共有3个三角形，分别是△ACD，△ABC，△BCD；（2）解：∵∠ACD=1∴CD是△ABC的角平分线，故答案为：角平分线；（3）解：∵∠ACD=45°，∠ACD=1∴∠ACB=2∠ACD=90°，∵∠B=35°，∴∠A=180°−∠ACB−∠B=180°−90°−35°=55°．20．（8分）（24-25八年级上·贵州遵义·阶段检测）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论．如图，已知∠A，∠B，∠C是小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法：小颖作的辅助线如图①，过点C作DE∥AB；小星作的辅助线如图②，作AB的延长线AF，作BE∥AC；小红作的辅助线如图③，作CG∥AB；请你认真阅读思考并完成如下问题：(1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程．(2)在图2中，求证：∠CBF=∠A+∠C．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明：（1）利用平行线的性质即可证明；（2）利用平行线的性质即可证明．【详解】（1）解：选择小星的作图进行证明∵BE∥AC，∴∠A=∠EBF,∠C=∠CBE，∵∠ABC+∠CBE+∠EBF=180°，∴∠A+∠ABC+∠C=180°；选择小颖的作图进行证明：∵DE∥AB，∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCE，∵∠ACB+∠BCE+∠ACD=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°；选择小红的作图进行证明：∵CG∥AB，∴∠A+∠ACG=180°,∠B=∠BCG，∴∠A+∠ACB+∠BCG=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°；（2）证明：∵BE∥AC∴∠A=∠EBF,∠C=∠CBE，∴∠A+∠C=∠EBF+∠CBE，即∠CBF=∠A+∠C．21．（8分）（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知AB,CD相交于点O,∠A=50°,∠D=40°．(1)如图1，若BE平分∠ABD交CD于点F，CE平分∠ACD交AB于点G，求∠BEC的度数；(2)如图2，延长AC至点H，若直线BF平分∠ABD交CD于点F，CM平分∠DCH交直线BF于点M，求∠BMC的度数．【答案】(1)45°(2)45°【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出∠OBD=∠ACD+10°，由平分线的定义可得出∠DBF=12∠ACD+5°、∠OCG=12（2）由邻补角互补结合角平分线可得出∠DCM=90°−12∠ACD，根据三角形外角性质结合（1）中∠DBF=12∠ACD+5°即可得出【详解】（1）解：∵∠D+∠OBD+∠BOD=180°，∠A+∠ACO+∠AOC=180°，∠BOD=∠AOC，∴∠D+∠OBD=∠A+∠ACO，∵∠A=50°，∠D=40°，∴∠OBD=∠ACD+10°．∵BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，∴∠DBF=12∠OBD=∵∠D+∠DBF+∠BFD=180°=∠BEC+∠OCG+∠CFE，∠BFD=∠EFC，∴∠D+1∴∠BEC=∠D+5°=45°．（2）解：∵∠ACD+∠DCH=180°，CM平分∠DCH交直线BF于M，∴∠DCM=1∵∠MFC=∠D+∠DBF=∠D+12∠ACD+5°∴∠BMC=180°−∠MFC−∠DCM=180°−∠D+22．（9分）（25-26七年级下·广东湛江·期中）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO的度数为，△AOB（填“是”或“不是”)“和谐三角形”；（2）若∠ACB=84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．【应用拓展】（3）如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．【答案】（1）30°，不是（2）见解析（3）∠B＝30°或者∠B＝80°【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．（1）根据AB⊥OM，得到∠OAB=90°，求得∠ABO=90°−∠MON=30°，得到∠OAB=3∠ABO，所以△AOB不是“和谐三角形”；（2）因为∠ACB是△AOC的一个外角，得到∠ACB=∠O+∠OAC，求出∠OAC=24°，∠ACO=96°，所以∠ACO=4∠OAC，所以得到△AOC是“和谐三角形”；（3）由∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，得到∠EFC=∠ADC，可以证明AD∥EF，得到∠DEF=∠ADE，而∠DEF=∠B，得到∠B=∠ADE，由DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据△BCD是“和谐三角形”，即可求解．【详解】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∴∠ABO=90°−∠MON=30°，∴∠OAB=3∠ABO，∴△AOB不是“和谐三角形”；故答案为：30°，不是；（2）∵∠ACB是△AOC的一个外角，∴∠ACB=∠O+∠OAC，又∠O=60°，∠ACB=84°∴∠OAC=24°，∠ACO=180°−84°=96°，∴∠ACO=4∠OAC，∴△AOC是“和谐三角形”；（3）∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，∴∠EFC=∠ADC，∴AD∥EF，∴∠DEF=∠ADE，而∠DEF=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC，∴∠CDE=∠BCD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠B=∠BCD，∵△BCD是“和谐三角形”，∴∠BDC=4∠B或者∠B=4∠BDC∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°∴∠B=30°或者∠B=80°．23．（9分）（25-26八年级上·山东日照·期末）在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上任意一点，连接AD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BG⊥AC于点G．(1)如图1，观察、测量、猜想、证明DE，DF，BG之间的数量关系，完善空格内容．小明是这样证明的：∵S△ABC=∴1∵AB=AC，∴__________．(2)如图1，当点D为BC中点时，试判断BG与DE的数量关系__________．(3)如图2，当点D在BC的延长线上时，请猜想DE，DF，BG之间的数量关系并证明．【答案】(1)BG=DE+DF；S△ABD；12(2)BG=2DE(3)DE=BG+DF；证明见解析【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答；（2）由点D为BC中点，得到12AB⋅DE=12AC⋅DF，结合AB=AC（3）同（1）的方法求解．【详解】（1）解：BG=DE+DF；证明：∵S∴1∵AB=AC，∴BG=DE+DF；（2）解：∵点D为BC中点，∴S∴1∵AB=AC，∴DE=DF；∵BG=DE+DF，∴BG=2DE；（3）解：DE=BG+DF，理由如下：∵S∴1∵AB=AC，∴DE=BG+DF．24．（10分）（25-26八年级上·江西吉安·期末）【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．