人教版数学八年级上册 第14章 全等三角形全章压轴突破8个专题（60题）（必考点分类集训） 同步练习 含答案

第十四章全等三角形全章压轴突破8个专题（60题）【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u压轴突破1遇中点作辅助线构全等 1压轴突破2遇角平分线作辅助线构全等 3压轴突破3作垂线构全等 4压轴突破4截长补短构全等 6压轴突破5一线三等角模型 8压轴突破6全等三角形动点问题 11压轴突破7利用全等三角形判断多结论问题 13压轴突破8平面直角坐标系与全等综合 15压轴突破1遇中点作辅助线构全等1．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，M为AD上一点，连接BM并延长交AC于N，∠AMN＝∠MAN，若BM＝6，AN＝3.7，则CN的长度是．2．如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点F在线段CD上，且DF＝3CF，点E为AB的中点，若△ADE的面积为3，则△DEF的面积为．4．如图，△ABC中，D是AC边的中点，过D作直线交AB于点E，交BC的延长线于点F，且AE＝CF．若AB＝19，BC＝7，则CF＝．5．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，连接BE，CD，若AM为△ACD的中线，猜想AM与BE的数量关系并说明理由．6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD＝DF，M为EF的中点，求证：DM⊥BM．7．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，试说明：AC＝2AE；【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由．压轴突破2遇角平分线作辅助线构全等8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC＝7，AE：AD＝4：3，则AE长为（）A．187 B．247 C．269．如图在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝3，CD＝5，则AC的长为．10．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC+4∠C＝180°，AB＝5，BC＝12，则AE＝．11．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD平分∠ABC，DE⊥BC，BE＝7，CE＝3，若△BCD的面积是20，则△ABD的面积是．12．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE是∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线，CE与BE交于点E，连接AE．若∠BEC＝35°，则∠CAE＝°．13．如图，D为△ABC外一点，BD⊥AD，BD平分△ABC的一个外角，若2∠C+∠BAD＝180°，AB＝5，BC＝3，则AD的长为．14．如图Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，则线段AB的长为．压轴突破3作垂线构全等15．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若5DG＝3AD，则DF＝．16．如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是．17．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数是（）A．58° B．45° C．77° D．64°18．如图，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究线段AD与EF的数量关系和位置关系，并加以说明．19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为AC上一动点，过点A作AD⊥BE于D，连接CD．（1）【观察发现】如图①∠DAC与∠DBC的数量关系是（2）【尝试探究】点E在运动过程中，∠CDB的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求∠CDB的度数．20．如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA；（2）如图2，连接BF交AC于D点，若ADCD=3，求证：E点为（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若BCBE=43，则压轴突破4截长补短构全等21．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，点E在BC的延长线上，∠CAE＝75°，若CE＝BA+AC，则∠B的度数为．22．如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，∠CAD=12∠BAE，AB=AE且CD＝5，AE＝6，则五边形ABCDE的面积为23．如图，△ABC中两边AB、AC上有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠A＝80°，∠BDC＝100°，∠MDN＝50°，BD＝DC．（1）猜想线段MN、BM、NC之间的数量关系并证明；（2）若AB＝6，AC＝7，求△AMN的周长．24．如图1，△ABC中，AB＝BC，点D在边BC上，CD＝CA，连接AD，∠CAE＝∠BAD，AE交BC的延长线于点E．（1）求证AD＝AE；（2）如图2，在图1的基础上延长CA到F，使AF＝CE，连接DF交边AB于点G，探究线段AG，AC之间的数量关系，并证明．25．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一点，连接BD，G，F两点都在线段BD上，连接AG，AF，过C作CE∥BD交AF延长线于点E，若AG＝AF，∠ABD＝∠CAE．求证：AG＝CE；（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC下方一点，连接AD，BD，过C作CE∥BD交AD于点E，若∠ABD＝∠CAE，CE＝3，AE＝1，求DE的长．26．已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠EAF=1（1）如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，线段EF、BE、FD之间的关系是；（2）如图2，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明；（3）如图3，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．27．已知，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B＝∠ADC＝90°时．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．小明的解题思路：先证明△ABE≌；再证明了△AEF≌，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系为．（2）请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC＝180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．（3）如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的数量关系为．（不用证明）压轴突破5一线三等角模型28．如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足点分别是D，E，AD＝5，BE＝2，则DE的长为．29．如图1，CA⊥AB，DB⊥AB，AC＝BD，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点．（1）若P为AB的中点，点Q与点D重合，试说明△ACP与△BDP全等；（2）如图2，若∠CPQ＝90°，CP＝PQ，求AC，BQ，AB之间的数量关系；（3）如图3，将“CA⊥AB，DB⊥AB”改为“∠A＝∠B＝α（α为锐角）”，其他条件不变．若∠CPQ＝α，CP＝PQ，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由．30．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，猜想DE、BD、CE之间的数量关系为；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否仍然成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．31．已知，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．（1）如图1，求证：EF＝AE+BF；（2）如图2，请直接写出EF，AE，BF之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，若BF＝3AE，EF＝4，求△BFC的面积．32．如图1，△ABC中，∠ABC＝∠ACB．点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，BE＝CF．（1）若∠DEF＝∠ABC，求证：DE＝EF；（2）若∠A+2∠DEF＝180°，BC＝9，EC＝2BE，求BD的长．33．直线CD经过∠BCA的顶点C，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．【数学思考】若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：（1）①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，求证：EF＝BE﹣AF；（2）②如图2，若0°＜∠BCA＜90°，当∠α与∠BCA之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明．【问题拓展】（3）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请直接写出EF，BE和AF之间数量关系．压轴突破6全等三角形动点问题34．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿CD向点D匀速运动，连接PQ、RQ，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，△PBQ与△QCR全等，则a的值为（）A．2或115 B．2或52 C．52或1135．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝8cm，BC＝12cm，CD＝16cm，点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点O在线段CD上由点C向点D匀速运动．若△BAP与△PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为（）A．32cm/s B．32C．4cm/s或32cm/s D．4cm/s36．如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．37．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以3cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动s时，CF＝AB．38．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t＝秒．39．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿A→C→B的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P的运动时间等于秒时，△PEC与△CFQ全等．40．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直线l经过点C且与边AB相交．动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为1cm/s和2cm/s，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，设运动时间为t秒，则当t＝秒时，△PEC与△QFC全等．压轴突破7利用全等三角形判断多结论问题41．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠EAC＝∠DAB，连接ED，且ED的延长线交BC于点F，连接AF，则下列说法中正确的有（）①ED＝CB；②∠EAC+∠DFB＝180°；③∠EFA＝∠AFB；④BC+AD＝EF．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个42．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，且交于点F．则下列说法中哪些是正确的（）①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC；③若AE＝EB，则CE⊥AB；④CD+AE＝AC；⑤S△AEF：S△CDF＝AE：CD．A．①③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤43．如图，△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE，PN⊥BF，下列说法：①CP平分∠ACF；②∠ABC+∠MPN＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④∠MPN＝2∠APC；⑤AC＝AM+CN．其中正确的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个44．如图，在△ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F．延长FA至点G，使得FG＝AE，连接GC．下列结论中正确的个数为（）①BE＝CF；②∠BAC＝∠G+2∠ACG；③S△GCF﹣S△CDF＝S△ABD；④S△AGC＝2S△BED．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个45．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，在下列结论中：①∠AOB＝90°+∠C；②若AB＝4，OD＝1，则S△ABO＝2；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的结论为（）A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④46．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的是（）A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④47．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．则对于以下结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB．其中错误的是（）A．① B．② C．③ D．④压轴突破8平面直角坐标系与全等综合48．如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，线段ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于E．（1）求证：△BEC≌△CDA．（2）如图2，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（﹣6，0），点B是第二象限中的一点，若△ABC是以AC为直角边的等腰直角三角形，求点B的坐标；（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，在等腰直角△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝8，点M在线段OB上从O向B运动（运动到点B停止），以点M为直角顶点向右上方作等腰直角△AMN，求点N移动的距离．49．如图，点A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a﹣1）2+|2b﹣2|＝0．（1）如图1，求△AOB的面积；（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，PB⊥PE且PB＝PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BQ长为定值，请求出该定值50．已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，A点在x轴的负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．（1）如图1所示，A点坐标为（﹣4，0），B点坐标为（0，1），求点C的坐标（直接写出结果）；（2）如图2所示，过C作CD⊥y轴于D，求证：AO＝CD+OD；（3）如图3所示，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过C作CF⊥x轴于F，求证：AE＝2CF．51．在平面直角坐标系中，A（﹣5，0），B（0，5），点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E，连接DO，则DO平分∠ADC．（1）如图（1），若C（3，0），则点E的坐标为；（2）如图（2），若点C在x轴正半轴上运动，当OC+CD＝AD时，求∠OBC的度数．52．如图（1），在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，线段AB交y轴于F点．（1）求点A、B的坐标．（2）如图（2），点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，求∠AMD的度数；（3）如图（3），①求点F的坐标；②在y轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于△ABC的面积？若存在，求出点P坐标．若不存在，请说明理由．53．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，6），C（6，0），∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．（1）求证：∠ABO＝∠CAD；（2）求证：AB＝AD；（3）求四边形ABCD的面积．54．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，0）、B（0，3）、C（t，0），过点A作AD⊥BC交BC于D点，交y轴正半轴于点E．（1）如图1，当t＝1时，求E点的坐标；（2）如图，连接OD，求∠ADO的度数；（3）如图3，已知点P（0，2），若PQ⊥PC，PQ＝PC，直接写出Q的坐标（用含t的式子表示）．55．在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足|3a+b−8|=−a−2b+2，点P为线段AB上（不与A、B两点重合）一点，连接OP（1）如图1，过点A作AQ⊥x轴，且满足∠OPQ＝90°，求证：OP＝PQ；（2）如图2，C，D分别为OA，OB上的两点，且OC＝OD，点P满足OP⊥AD，过点P作PE⊥BC交AD的延长线于点E，试探究AE，EP，OP之间的数量关系，并给出证明．56．如图所示，在平面直角坐标系中，P（4，4），（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且PA＝PB，①求证：PA⊥PB：②求OA+OB的值；（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且PA＝PB，求OA﹣OB的值．57．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且OA＝OB．（1）如图1，若点D在BA的延长线上，连接OD，点E在第一象限，且满足OD⊥OE，BD⊥BE，连接DE，求证：△DOE是等腰直角三角形；（2）如图2，点F在AB的延长线上，以OF为斜边向上构等腰直角三角形OFM，连接AM，若AB＝10，BF＝2，求△AMF的面积．58．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，9），点B在x轴上．（1）如图1，若点B在x轴正半轴上，AB＝BC，AB⊥BC，AC交x轴于点D，①若∠DBC＝14°，则∠ADB＝；②若点C的坐标为（3，﹣3），求点B坐标．（2）如图2，若点B在x轴负半轴上，AE⊥x轴于点E，AF⊥y轴于点F，∠BFM＝45°，MF交直线AE于点M，若点B（﹣3，0），BM＝15，求EM的长．59．如图1，已知A（1，4），C（﹣4，1），AB⊥y轴于点B，CD⊥x轴于点D，连接OA，OC．（1）求证：△ABO≌△CDO；（2）如图2，连接AC，BD交于点H．求证：H为AC的中点；（3）如图3，E为第二象限内一点，F为y轴正半轴上一点，连接AF，EF、CE，EF⊥CE且EF＝CE，点G为AF的中点，连接EG，EO．请猜想∠OEG的度数并证明你的猜想．60．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），B（0，4），点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E．（1）如图1，求证：△AEO≌△BCO；（2）如图2，若点C在x轴正半轴上运动，且OC＜3，连接DO．①求证：DO平分∠ADC；②当AD＝CD+OC时，求∠BCO∠DAO

第十四章全等三角形全章压轴突破8个专题（60题）【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u压轴突破1遇中点作辅助线构全等 1压轴突破2遇角平分线作辅助线构全等 11压轴突破3作垂线构全等 19压轴突破4截长补短构全等 27压轴突破5一线三等角模型 40压轴突破6全等三角形动点问题 48压轴突破7利用全等三角形判断多结论问题 58压轴突破8平面直角坐标系与全等综合 71压轴突破1遇中点作辅助线构全等1．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，M为AD上一点，连接BM并延长交AC于N，∠AMN＝∠MAN，若BM＝6，AN＝3.7，则CN的长度是．【分析】延长AD至点E，使得AD＝DE，再连接BE，证明△BDE≌△CDA，得到∠E＝∠MAN，BE＝AC，结合∠AMN＝∠MAN，∠AMN＝∠BME，可得∠E＝∠BME，推出BE＝BM＝AC＝6，即可求解．【解答】解：如图，延长AD至点E，使得AD＝DE，再连接BE，∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠ADC∴△BDE≌△CDA（SAS），∴∠E＝∠MAN，BE＝AC，∵∠AMN＝∠MAN，∴∠E＝∠AMN，∵∠AMN＝∠BME，∴∠E＝∠BME，∴BE＝BM＝AC＝6，∴CN＝AC﹣AN＝6﹣3.7＝2.3，故答案为：2.3．2．如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD．【分析】延长AD至M，使DM＝AD，先证明△ABD≌△MCD，进而得出MC＝AB，∠B＝∠MCD，即可得出∠ACM＝∠ACE，再证明△ACM≌△ACE，即可得出答案．【解答】证明：延长AD至M，使DM＝AD，∵AD是△ABC的中线，∴DB＝CD，在△ABD和△MCD中，AD=MD∠ADB=∠MDC∴△ABD≌△MCD（SAS），∴MC＝AB，∠B＝∠MCD，∵AB＝CE，∴CM＝CE，∵∠BAC＝∠BCA，∴∠B+∠BAC＝∠ACB+∠MCD，即∠ACM＝∠ACE，在△ACM和△ACE中，AC=AC∠ACM=∠ACE∴△ACM≌△ACE（SAS）．∴AE＝AM，∵AM＝2AD，∴AE＝2AD．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点F在线段CD上，且DF＝3CF，点E为AB的中点，若△ADE的面积为3，则△DEF的面积为．【分析】延长DE、CB交于点G，由AD∥BC，得∠ADE＝∠G，而AE＝BE，∠AED＝∠BEG，即可根据“AAS”证明△ADE≌△BGE，得AD＝BG，DE＝GE，S△ADE＝S△BGE＝3，由BC＝2AD＝2BG，得S△BCE＝2S△BGE＝6，求得S△DCE＝9，由DF＝3CF，得DF=34DC，所以S△DEF=34S【解答】解：延长DE、CB交于点G，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠G，∵点E为AB的中点，∴AE＝BE，在△ADE和△BGE中，∠ADE=∠G∠AED=∠BEG∴△ADE≌△BGE（AAS），∴AD＝BG，DE＝GE，S△ADE＝S△BGE＝3，∴BC＝2AD＝2BG，∴S△BCE＝2S△BGE＝6，∴S△DCE＝S△BCE＝S△BGE+S△BCE＝3+6＝9，∵DF＝3CF，∴DC＝3CF+CF＝4CF，∴DF=34∴S△DEF=34S△DCE=3故答案为：2744．如图，△ABC中，D是AC边的中点，过D作直线交AB于点E，交BC的延长线于点F，且AE＝CF．若AB＝19，BC＝7，则CF＝．【分析】，由“AAS”可证△ADH≌△CDF，可得AH＝CF＝AE，可得∠H＝∠AEH＝∠F＝∠FEB，可得BE＝BF，即可求解．【解答】解：如图，过点A作AH∥BF交FE的延长线于点H，∴∠H＝∠F，且AD＝DC，∠ADH＝∠CDF，∴△ADH≌△CDF（AAS），∴AH＝CF，∵AE＝CF，∴AH＝AE，∴∠H＝∠AEH，∴∠AEH＝∠F＝∠FEB，∴BE＝BF＝BC+CF＝7+CF，∴AB＝AE+BE＝CF+7+CF＝19，∴CF＝6，故答案为：6．5．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，连接BE，CD，若AM为△ACD的中线，猜想AM与BE的数量关系并说明理由．【分析】延长AM到N，使AM＝MN，连接CN，则AN＝2AM，先证明△ADM和△NCM全等得AD＝CN，∠DAM＝∠N，则AD∥CN，进而得∠DAC+∠ACN＝180°，再由∠BAC+∠DAE＝180°得∠BAE+∠DAC＝180°，则∠ACN＝∠BAE，由此可依据“SAS”判定△ACN和△BAE全等，则AN＝BE，由此可得AM与BE的数量关系．【解答】解：猜想：BE＝2AM，理由如下：延长AM到N，使AM＝MN，连接CN，如图②所示：则AN＝2AM，∵AM为△ACD的中线，∴DM＝CM，在△ADM和△NCM中，DM=CM∠AMD=∠NMC∴△ADM≌△NCM（SAS），∴AD＝CN，∠DAM＝∠N，∴AD∥CN，∴∠DAC+∠ACN＝180°，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∴∠BAE+∠DAC＝180°，∴∠ACN＝∠BAE，∵AD＝AE，AD＝CN，∴CN＝AE，在△ACN和△BAE中，AB=AC∠ACN=∠BAE∴△ACN≌△BAE（SAS），∴AN＝BE，∵AN＝2AM，∴BE＝2AM．6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD＝DF，M为EF的中点，求证：DM⊥BM．【分析】延长BM到H，使MH＝MB，连接GH，DH，BD，先依据“SAS”判定△FMH和△EMB全等得FH＝BE，∠FHM＝∠EBM，进而得FH∥BC，则∠CFH＝∠C，根据四边形内角和定理得∠A+∠C＝180°，及∠DFH+∠CFH＝180°得∠A＝∠DFH，由此依据“SAS”判定△ABD和△FHD全等得BD＝HD，然后根据等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：证明：延长BM到H，使MH＝MB，连接GH，DH，BD，如图2所示：∵点M为EF的中点，∴FM＝EM，在△FMH和△EMB中，FM=EM∠FMH=∠EMB∴△FMH≌△EMB（SAS），∴FH＝BE，∠FHM＝∠EBM，∴FH∥BC，∴∠CFH＝∠C，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠A+∠C＝180°，∵∠DFH+∠CFH＝180°，∴∠A＝∠DFH，∵AB＝BE，BE＝FH，∴AB＝FH，在△ABD和△FHD中，AB=FH∠A=∠DFH∴△ABD≌△FHD（SAS），∴BD＝HD，∵HM＝BM，∴DM⊥BM．7．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，得出AC＝BE．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，试说明：AC＝2AE；【问题拓展】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，判断线段EF与AD的关系，并说明理由．【分析】（1）由题意得：AE在△ABE中，由三角形三边关系可得到AE的取值范围，AD=12AE，即可求得（2）由“SAS”可证△EDF≌△EBA，可得∠ADC＝∠ADF，由“SAS”可证△AFD≌△ACD（SAS），可得AC＝AF＝2AE；（3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC，再证△ABM≌△EAF（SAS），得AM＝EF，∠BAM＝∠E，则EF＝2AD，然后由三角形的外角性质证出∠APE＝∠BAE＝90°，即可得出结论．【解答】解：（1）在△ABE中，AB＝6，BE＝AC＝10，由三角形三边关系可得：AE﹣AB＝4＜AE＜AB+BE＝16，即AE到取值范围为4＜AE＜16，∵AD=1∴AD的取值范围为2＜AD＜8；故答案为：2＜AD＜8；（2）如图2，延长AE至点F，使得EF＝AE，连接DF，则AF＝EF+AE＝2AE，∵E是BD中点，∴DE＝BE，在△EDF和△EBA中，DE=BE∠DEF=∠BEA∴△EDF≌△EBA（SAS），∴DF＝AB＝CD，∠B＝∠EDF，∠F＝∠EAB，∵∠CDA＝∠B+∠BAD，∠ADF＝∠BDA+∠EDF，∠BDA＝∠BAD，∴∠ADC＝∠ADF，在△AFD和△ACD中，CD=DF∠ADC=∠ADF∴△AFD≌△ACD（SAS），∴AC＝AF，∴AC＝2AE；（3）EF＝2AD，EF⊥AD，理由：如图3，延长DA交EF于点P，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC，∠M＝∠CAD，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）可知，AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵AE⊥AB、AF⊥AC，∴∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，AB=EA∠ABM=∠EAF∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∠BAM＝∠E，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∴EF＝2AD，∵∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠E+∠APE，∴∠APE＝∠BAE＝90°，∴EF⊥AD．压轴突破2遇角平分线作辅助线构全等8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，BD交AC于点D，CE交AB于点E，若已知△ABC周长为20，BC＝7，AE：AD＝4：3，则AE长为（）A．187 B．247 C．26【分析】由“SAS”可证△BOE≌△BOH，可得∠EOH＝∠BOH＝60°，由“ASA”可证△COD≌△COH，可得CD＝CH，即可求解．【解答】解：如图，在BC上截取BH＝BE，连接OH，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CDB，∠ACE＝∠BCE，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠DBC+∠BCE＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝60°，在△BOE和△BOH中，BE=BH∠ABD=∠CBD∴△BOE≌△BOH（SAS），∴∠BOE＝∠BOH＝60°，∴∠COD＝∠COH＝60°，在△COD和△COH中，∠ACE=∠BCEOC=OC∴△COD≌△COH（ASA），∴CD＝CH，∴BE+CD＝BH+CH＝BC＝7，∵△ABC周长为20，∴AB+AC+BC＝20，∴AE+AD＝6，∵AE：AD＝4：3，∴AE=6故选：B．9．如图在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝3，CD＝5，则AC的长为．【分析】在AC上取点E，使AE＝AB＝3，连接DE，则由角平分线的性质可证明△ABD≌△AED，从而有∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，则可得∠CDE＝∠CED，有CE＝CD＝5，再由AC＝CE+AE即可求解．【解答】解：如图，在AC上取点E，使AE＝AB＝3，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD；又∵AD＝AD，AE＝AB，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE；∵∠B＝2∠ADB，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB＝∠B，∴∠BDE＝∠AED，∴180°﹣∠BDE＝180°﹣∠AED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD＝5，∴AC＝CE+AE＝5+3＝8．故答案为：8．10．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC+4∠C＝180°，AB＝5，BC＝12，则AE＝．【分析】延长AE交BC于点F，根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC=12∠ABF，再根据垂直定义可得∠AEB＝∠BEF＝90°，从而利用ASA证明△ABE≌△FBE，再利用全等三角形的性质可得AE＝EF，AB＝BF＝5，从而可得CF＝7，然后根据垂直定义可得∠EBF+∠AFB＝90°，从而可得12∠ABC+∠AFB＝90°，再根据已知可得12∠ABC+2∠C＝90°，从而可得∠AFB＝2∠C，最后利用三角形的外角性质可得∠AFB＝∠C+∠CAF，从而可得∠C＝∠CAF，进而可得【解答】解：延长AE交BC于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC=12∠∵BE⊥AF，∴∠AEB＝∠BEF＝90°，∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，AB＝BF＝5，∵BC＝12，∴CF＝BC﹣BF＝12﹣5＝7，∵∠BEF＝90°，∴∠EBF+∠AFB＝90°，∴12∠ABC+∠AFB∵∠ABC+4∠C＝180°，∴12∠ABC+2∠C∴∠AFB＝2∠C，∵∠AFB是△AFC的一个外角，∴∠AFB＝∠C+∠CAF，∴∠C＝∠CAF，∴AF＝CF＝7，∴AE＝EF=12故答案为：3.5．11．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD平分∠ABC，DE⊥BC，BE＝7，CE＝3，若△BCD的面积是20，则△ABD的面积是．【分析】作DF⊥BA交BA的延长线于点F，则∠F＝90°，由BE＝7，CE＝3，求得BC＝10，由S△BCD=12×10DE＝20，求得DE＝4，由角平分线的性质得DF＝DE＝4，可根据“HL”证明Rt△DAF≌Rt△CDE，得AF＝CE＝3，再根据“HL”证明Rt△DBF≌Rt△DBE，得BF＝BE＝7，则AB＝4，求得S△ABD=1【解答】解：作DF⊥BA交BA的延长线于点F，则∠F＝90°，∵BE＝7，CE＝3，∴BC＝BE+CE＝7+3＝10，∵DE⊥BC，△BCD的面积是20，∴12×10DE＝20，∠AED＝∠∴DE＝4，∵BD平分∠ABC，DF⊥BA，DE⊥BC，∴DF＝DE＝4，在Rt△DAF和Rt△CDE中，AD=CDDF=DE∴Rt△DAF≌Rt△CDE（HL），∴AF＝CE＝3，在Rt△DBF和Rt△DBE中，BD=BDDF=DE∴Rt△DBF≌Rt△DBE（HL），∴BF＝BE＝7，∴AB＝BF﹣AF＝7﹣3＝4，∴S△ABD=12AB•DF故答案为：8．12．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE是∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线，CE与BE交于点E，连接AE．若∠BEC＝35°，则∠CAE＝°．【分析】延长BA，作EN⊥BD，EF⊥BA，EM⊥AC，设∠ECD＝x°，则∠ACE＝∠ECD＝x°，进而根据三角形的外角的性质得出∠CAF＝110°，证明Rt△EFA≌Rt△EMA（HL），即可求解．【解答】解：CE是∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线，如图，延长BA，作EN⊥BD，EF⊥BA，EM⊥AC，设∠ECD＝x°，∴∠ACE＝∠ECD＝x°，EM＝EN，∠ABE＝∠EBC，EF＝EN，∴EF＝EM，∵∠BEC＝35°，∴∠ABE＝∠EBC＝∠ECD﹣∠BEC＝（x﹣35）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣35°）﹣（x°﹣35°）＝70°，∴∠CAF＝110°，在Rt△EFA和Rt△EMA中，AE=AEEM=EF∴Rt△EFA≌Rt△EMA（HL），∴∠FAE＝∠EAC＝55°．故答案为：55．13．如图，D为△ABC外一点，BD⊥AD，BD平分△ABC的一个外角，若2∠C+∠BAD＝180°，AB＝5，BC＝3，则AD的长为．【分析】设AD、CB的延长线交于点E，先利用ASA证得△ABD和△EBD全等，即可得出AD＝ED，AB＝EB＝5，∠BAD＝∠E，结合已知∠BAD+2∠C＝180°，得出∠E+2∠C＝180°，再根据三角形内角和定理得出∠E+∠C+∠EAC＝180°，从而得出∠C＝∠EAC，于是有AE＝CE，再求出CE的长即可求出AD的长．【解答】解：设AD、CB的延长线交于点E，由题意得∠ABD＝∠EBD，∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠EDB＝90°，在△ABD和△EBD中，∠ABD=∠EBDBD=BD∴△ABD≌△EBD（ASA），∴AD＝ED，AB＝EB＝5，∠BAD＝∠E，∵BC＝3，∴CE＝BC+EB＝3+5＝8，∵∠BAD+2∠C＝180°，∴∠E+2∠C＝180°，∵∠E+∠C+∠EAC＝180°，∴∠C＝∠EAC，∴AE＝CE＝8，∴AD＝ED=12故答案为：4．14．如图Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，点E在AB的延长线上，满足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，则线段AB的长为．【分析】延长AD到M，作DH⊥AB于H．首先证明△ADC≌△ADH，推出AC＝AH＝6，再证明AH＝HE＝6，由BE＝2，可得BH＝4，推出AB＝10．【解答】解：延长AD到M，作DH⊥AB于H．∵AD平分∠CAB，∴∠DAC＝∠DAH，∵∠C＝∠AHD，AD＝AD，∴△ADC≌△ADH（AAS），∴AC＝AH＝6，∵∠ADE+∠CAB＝180°，∠ADE+∠EDM＝180°，∴∠EDM＝∠CAB，∵∠EDM＝∠DAE+∠DEA＝∠DAE+∠CAD，∠CAD＝∠DAB，∴∠DAB＝∠E，∴DA＝DE，∵DH⊥AE，∴AH＝HE＝6，∵BE＝2，∴BH＝4，∴AB＝10，故答案为：10．压轴突破3作垂线构全等15．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若5DG＝3AD，则DF＝．【分析】由“AAS”可证△AHC≌△CFE，可得CF＝AH，由直角三角形的性质可得DH=12CD＝7，DG＝2【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝60°＝∠BDC，∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∴∠A＝∠BCD，在△AHC和△CFE中，∠A=∠BCD∠AHC=∠EFC=90°∴△AHC≌△CFE（AAS），∴CF＝AH，∵∠BDC＝60°，EF⊥CD，CH⊥AB，∴∠DGF＝∠DCH＝30°，∴DH=12CD＝7，DG＝2∵5DG＝3AD，∴AD=103∵AH＝CF，∴103DF+7＝14﹣DF∴DF=21故答案为：211316．如图，在△ADE和△ABC中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF＝4，则FG的长是．【分析】过点A作AH⊥BC于H，判定△ABC≌△AED，得出AF＝AH，再判定Rt△AFG≌Rt△AHG，判定Rt△ADF≌Rt△ABH，得出S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，再根据Rt△AFG≌Rt△AHG，求得Rt△AFG的面积＝6，进而得到FG的长．【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示：在△ABC与△AED中，BC=DE∠C=∠E∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AD＝AB，S△ABC＝S△AED，又∵AF⊥DE，即12×DE×AF=12∴AF＝AH，又∵AF⊥DE，AH⊥BC，∴在Rt△AFG和Rt△AHG中，AG=AGAF=AH∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），同理：Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝12，∵Rt△AFG≌Rt△AHG，∴Rt△AFG的面积＝6，∵AF＝4，∴12×解得：FG＝3；故答案为：3．17．如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数是（）A．58° B．45° C．77° D．64°【分析】作FH⊥FE交AC用H，由题意可求得∠AFH＝∠CFE＝13°，由ASA可证得△FAH≌△FCE，从而有FH＝FE，再由SAS证得△DFE≌△DFH，有∠DEF＝∠DHF，从而可求解．【解答】解：作FH⊥FE交AC用H，如图，∵∠AFC＝∠EFH＝90°，∴∠AFH＝∠CFE＝13°，∵∠A＝∠FCE＝45°，FA＝FC，∴△FAH≌△FCE，∴FH＝FE，∵∠DFE＝∠CFE+∠DFC＝13°+32°＝45°，∴∠DFH＝∠DFE＝45°，∵DF＝DF，∴△DFE≌△DFH，∴∠DEF＝∠DHF＝∠A+∠AFH＝58°，∵∠FEB＝∠CFE+∠FCE＝58°，∴∠DEC＝180°﹣58°﹣58°＝64°，故选：D．18．如图，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究线段AD与EF的数量关系和位置关系，并加以说明．【分析】过点C作CH⊥AE于点H，证明△CDH和△BDA全等得DH＝AD，CH＝AB，则AH＝2AD，证明∠ACH＝∠FAE，进而依据“SAS”判定△ACH和△FAE全等得AH＝EF＝2AD，∠CHA＝∠AEF＝90°，据此即可得出线段AD与EF的数量关系和位置关系．【解答】解：线段AD与EF的数量关系是：AD=12EF，位置关系是：EF⊥过点C作CH⊥AE于点H，如图3所示：∴∠CHA＝90°，∵∠BAE＝90°，∴∠CHA＝∠BAE＝90°，∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，在△CDH和△BDA中，∠CHA=∠BAE=90°∠CDH=∠BDA∴△CDH≌△BDA（AAS），∴DH＝AD，CH＝AB，∴AH＝DH+AD＝2AD，∵AB＝AE，∴CH＝AB＝AE，∵∠CHA＝90°，∠FAC＝90°，∴∠ACH+∠CAH＝90°，∠FAE+∠CAH＝90°，∴∠ACH＝∠FAE，在△ACH和△FAE中，AC=AF∠ACH=∠FAE∴△ACH≌△FAE（SAS），∴AH＝EF，∠CHA＝∠AEF＝90°，∴2AD＝EF，EF⊥AE，∴AD=12EF，EF⊥19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E为AC上一动点，过点A作AD⊥BE于D，连接CD．（1）【观察发现】如图①∠DAC与∠DBC的数量关系是（2）【尝试探究】点E在运动过程中，∠CDB的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求∠CDB的度数．【分析】（1）由三角形内角和可以得到一个“8字形“倒角，从而很容易就证出∠DAC＝∠DBC；（2）过C作CF⊥CD，证△ACD≌△BCF即可证出△CEF是等腰直角三角形，从而得出∠CDB＝45°．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥BE于D，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠DAC+∠AED＝90°，∠DBC+∠BEC＝90°，∵∠AED＝∠BEC，∴∠DAC＝∠DBC，故答案为：∠DAC＝∠DBC．（2）∠CDB的大小不发生改变，∠CDB＝45°．如图，作CF⊥CD交BD于点F，则∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠BCF＝90°﹣∠ACF，由（1）得∠DAC＝∠FBC，在△ACD和△BCF中，∠ACD=∠BCFAC=BC∴△ACD≌△BCF（ASA），∴CD＝CF，∴∠CDB＝∠CFD＝45°，∴∠CDB的大小不改变，∠CDB的度数是45°．20．如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA；（2）如图2，连接BF交AC于D点，若ADCD=3，求证：E点为（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若BCBE=43，则【分析】（1）易证∠CAE＝∠F，即可证明△AGF≌△ECA，即可解题；（2）过F点作FG⊥AC交AC于G点，根据（1）中结论可得FG＝AC＝BC，即可证明△FGD≌△BCD，可得DG＝CD，根据ADCD=3可证AGAC=12，根据AG＝（3）过F作FG⊥AD的延长线交于点G，易证ACCE=47，由（1）（2）可知△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，可得CD＝DG，AG＝【解答】证明：（1）∵∠FAG+∠CAE＝90°，∠FAG+∠F＝90°，∴∠CAE＝∠F，在△AGF和△ECA中，∠AGF=∠ECA∠F=∠CAE∴△AGF≌△ECA（AAS）；（2）过F点作FG⊥AC交AC于G点，∵△AGF≌△ECA，∴FG＝AC＝BC，在△FGD和△BCD中，∠FDG=∠CDB∠FGD=∠C=90°∴△FGD≌△BCD（AAS），∴DG＝CD，∵ADCD∴AGCD∴AGAC∵AG＝CE，AC＝BC∴CEBC∴E点为BC中点；（3）过F作FG⊥AD的延长线交于点G，如图3，∵BCBE=43，BC＝AC，CE＝∴ACCE由（1）（2）知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，∴CD＝DG，AG＝CE，∴ACAG∴ACCG∴AC1∴ADCD故答案为113压轴突破4截长补短构全等21．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，点E在BC的延长线上，∠CAE＝75°，若CE＝BA+AC，则∠B的度数为．【分析】延长CA到O，使得AO＝AB，连接OE，求出∠BAE＝∠OAE＝105°，证明△AOE≌△ABE，然后根据角度关系求得3∠B+30°＝180°求出∠B的度数即可．【解答】解：延长CA到O，使得AO＝AB，连接OE，∵∠BAC＝30°，∠CAE＝75°，∴∠BAE＝75°+30°＝105°，∠OAE＝180°﹣75°＝105°，∴∠BAE＝∠OAE，在△AOE和△ABE中，AO=AB∠BAE=∠OAE∴△AOE≌△ABE（SAS），∴∠B＝∠O，∵CE＝BA+AC，∴CE＝AO+AC＝OC，∴∠O＝∠CEO，∴∠OCE+∠O+∠OEC＝∠B+∠BAC+∠B+∠B＝180°，故3∠B+30°＝180°，∴∠B＝50°，故答案为：50°22．如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，∠CAD=12∠BAE，AB=AE且CD＝5，AE＝6，则五边形ABCDE的面积为【分析】可延长DE至F，使EF＝BC，可得△ABF≌△AED，连AC，AD，AF，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论．【解答】解：延长CB到F，使BF＝DE，连接AF，在△AFB与△ADE中，AB=AE∠ABF=∠AED∴△AFB≌△ADE（SAS），∴AF＝AD，∠FAB＝∠DAE，AB＝AE＝6，∵∠CAD=12∠BAE=12（∠DAE+∠BAD）∴∠FAC＝∠DAC，∴△AFC≌△ADC（ASA），∴FC＝CD＝5，∴五边形ABCDE的面积＝S△AFC+S△ACD＝2S△AFC＝2×1故答案为：30．23．如图，△ABC中两边AB、AC上有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠A＝80°，∠BDC＝100°，∠MDN＝50°，BD＝DC．（1）猜想线段MN、BM、NC之间的数量关系并证明；（2）若AB＝6，AC＝7，求△AMN的周长．【分析】（1）延长AB，在AB的延长线上截取BE＝NC，连接DE，根据∠A＝80°，∠BDC＝100°得∠ABD+∠ACD＝180°，再根据∠DBE+∠ABD＝180°得∠DBE＝∠ACD，由此可依据“SAS”判定△DBE和△DCN全等，则DE＝DN，∠EDB＝∠NDC，进而根据∠BDC＝100°，∠MDN＝50°得∠MDE＝∠MDN＝50°，由此可依据“SAS”判定△MDE和△MDN全等，则ME＝MN，据此可得线段MN、BM、NC之间的数量关系；（2）由（1）的结论得MN＝BM+NC，则△AMN的周长为AM+AN+MN＝AM+AN+BM+NC＝AB+AC，由此可得出答案．【解答】解：（1）猜想：MN＝BM+NC，证明如下：延长AB，在AB的延长线上截取BE＝NC，连接DE，如图所示：在△ABC中，∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，在△BCD中，∠BDC＝100°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣100°＝80°，∴∠ABC+∠ACB+∠DBC+∠DCB＝180°，即∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠DBE+∠ABD＝180°，∴∠DBE＝∠ACD，在△DBE和△DCN中，BE=NC∠DBE=∠ACD∴△DBE≌△DCN（SAS），∴DE＝DN，∠EDB＝∠NDC，∵∠BDC＝100°，∠MDN＝50°，∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝50°，∴∠MDE＝∠BDM+∠EDB＝∠BDM+∠NDC＝50°，∴∠MDE＝∠MDN＝50°，在△MDE和△MDN中，DE=DN∠MDE=∠MDN∴△MDE≌△MDN（SAS），∴ME＝MN，∵ME＝BM+BE＝BM+NC，∴MN＝BM+NC；（2）由（1）可知：MN＝BM+NC，∴△AMN的周长为：AM+AN+MN＝AM+AN+BM+NC＝AB+AC，∵AB＝6，AC＝7，∴AB+AC＝13，∴△AMN的周长为13．24．如图1，△ABC中，AB＝BC，点D在边BC上，CD＝CA，连接AD，∠CAE＝∠BAD，AE交BC的延长线于点E．（1）求证AD＝AE；（2）如图2，在图1的基础上延长CA到F，使AF＝CE，连接DF交边AB于点G，探究线段AG，AC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据等边对等角得出∠BAC＝∠BCA，进而利用等角对等边解答即可；（2）在AB上截取，AH＝AC，连接DH，根据SAS证明△ADH与△AEC全等和利用AAS证明△AGF与△HGD，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠BCA＝∠CAE+∠E，且∠CAE＝∠BAD，∴∠DAC＝∠E，∵CA＝CD，∴∠CDA＝∠CAD，∴∠CDA＝∠E，∴AD＝AE；（2）解：AG=1证明如下：在AB上截取，AH＝AC，连接DH，∵AD＝AE，∠HAD＝∠CAE，在△ADH与△AEC中，AH=AC∠HAD=∠CAE∴△ADH≌△AEC（SAS），∴∠DHA＝∠ACE，CE＝DH，∵AF＝CE，∴DH＝AF，∵∠BAC＝∠BCA，∠GAF＝180°﹣∠BAC．∠ACE＝180°﹣∠ACB，∴∠ACE＝∠GAF，∴∠DHA＝∠GAF，在△AGF与△HGD中，∠DGH=∠AGF∠DHA=∠GAF∴△AGF≌△HGD（AAS），∴AG＝GH=12AH=25．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC边上一点，连接BD，G，F两点都在线段BD上，连接AG，AF，过C作CE∥BD交AF延长线于点E，若AG＝AF，∠ABD＝∠CAE．求证：AG＝CE；（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC下方一点，连接AD，BD，过C作CE∥BD交AD于点E，若∠ABD＝∠CAE，CE＝3，AE＝1，求DE的长．【分析】（1）由AG＝AF，得∠AGF＝∠AFG，则∠AGB＝∠AFD，由CE∥BD，得∠E＝∠AFD，所以∠AGB＝∠E，而∠ABG＝∠CAE，AB＝CA，即可根据“AAS”证明△ABG≌△CAE，则AG＝CE；（2）在BD上截取BH＝AE，连接AH，可证明△ABH≌△CAE，得AH＝CE＝3，∠AHB＝∠CEA，则∠AHD＝180°﹣∠AHB＝180°﹣∠CEA＝∠CED，根据平行线的性质得∠CED＝∠D，则∠AHD＝∠D，所以AD＝AH＝3，则DE＝AD﹣AE＝2．【解答】（1）证明：∵AG＝AF，∴∠AGF＝∠AFG，∵∠AGB+∠AGF＝180°，∠AFD+∠AFG＝180°，∴∠AGB＝∠AFD，∵CE∥BD，∴∠E＝∠AFD，∴∠AGB＝∠E，在△ABG和△CAE中，∠AGB=∠E∠ABG=∠CAE△ABG≌△CAE（AAS），∴AG＝CE.（2）解：如图2，在BD上截取BH＝AE，连接AH，在△ABH和△CAE中，AB=CA∠ABH=∠CAE∴△ABH≌△CAE（SAS），∴AH＝CE＝3，∠AHB＝∠CEA，∴∠AHD＝180°﹣∠AHB＝180°﹣∠CEA＝∠CED，∵CE∥BD，∴∠CED＝∠D，∴∠AHD＝∠D，∴AD＝AH＝3，∴DE＝AD﹣AE＝3﹣1＝2，∴DE的长是2．26．已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠EAF=1（1）如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，线段EF、BE、FD之间的关系是；（2）如图2，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明；（3）如图3，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【分析】（1）延长CD至G，使DG＝BE，连接AG，可证得△ABE≌△ADG，从而∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，进而推出△EAF≌△GAF，从而EF＝FG，进一步得出结论；（2）方法与（1）相同；（3）方法与（1）相同．【解答】解：（1）如图1，延长CD至G，使DG＝BE，连接AG，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠ABC＝90°，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，∵∠EAF=1∴∠BAE+∠DAF=1∴∠DAG+∠DAF=1∴∠GAF＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DG+FD＝BE+FD，故答案为：EF＝BE+FD；（2）如图2，（1）中的结论不变，即EF＝BE+FD，理由如下：延长CD至G，使DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠ADG＝∠ABC，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，∵∠EAF=1∴∠BAE+∠DAF=1∴∠DAG+∠DAF=1∴∠GAF＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DG+FD＝BE+FD．（3）如图3，（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，理由如下：延长CD至G，使DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠ADG＝∠ABC，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，∵∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∴∠DAG+∠DAE+∠DAF＝∠BAD+∠DAF，∵∠EAF=1∴∠DAG+1∴∠DAG﹣∠DAF=1∴∠GAF=1∴∠GAF＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DG﹣FD＝BE﹣FD．27．已知，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B＝∠ADC＝90°时．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．小明的解题思路：先证明△ABE≌；再证明了△AEF≌，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系为．（2）请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC＝180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．（3）如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的数量关系为．（不用证明）【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．证明△ABE≌△ADG（SAS），得出AE＝AG，∠1＝∠2，证明△AEF≌△AGF（SAS），得出EF＝EG，进而可得结论；（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF（SAS）．可得AF＝AM，∠2＝∠3．然后证明△AME≌△AFE（SAS）．可得EF＝ME．进而可以得到结论；（3）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF（SAS）．可得∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．然后可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．【解答】（1）证明：如图1中，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．∵∠ADG＝∠ABC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF=12∠∴∠GAF＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝EG，∵FG＝FD+DG，∴EF＝DF+BE，故答案为：△ADG，△AEG，EF＝BE+FD；（2）解：上述结论依然成立．证明：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM与△ADF中，AB=AD∠1=∠D∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF＝AM，∠2＝∠3．∵∠EAF=12∠∴∠2+∠4＝∠3+∠4＝∠MAE，∴∠MAE＝∠FAE，在△AME与△AFE中，AE=AE∠MAE=∠FAE∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF＝ME．∴EF＝ME＝BE+BM＝BE+DF；（3）解：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABG与△ADF中，AB=AD∠B=∠ADF∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=12∠∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．故答案为：EF＝BE﹣FD．压轴突破5一线三等角模型28．如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足点分别是D，E，AD＝5，BE＝2，则DE的长为．【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值．【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，∠E=∠ADC∠EBC=∠DCA∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC＝2，CE＝AD＝5．∴DE＝EC﹣CD＝5﹣2＝3．故答案为：3．29．如图1，CA⊥AB，DB⊥AB，AC＝BD，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点．（1）若P为AB的中点，点Q与点D重合，试说明△ACP与△BDP全等；（2）如图2，若∠CPQ＝90°，CP＝PQ，求AC，BQ，AB之间的数量关系；（3）如图3，将“CA⊥AB，DB⊥AB”改为“∠A＝∠B＝α（α为锐角）”，其他条件不变．若∠CPQ＝α，CP＝PQ，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由．【分析】（1）根据题意应用SAS证明即可；（2）根据题意证明△ACP≌△BPQ，得到AC＝BP，AP＝BQ，则问题可证；（3）根据题意证明△ACP≌△BPQ，得到AC＝BP，AP＝BQ，则问题可证．【解答】解：（1）由题意可知AC＝QB．∵AC⊥AB，DB⊥AB，∴∠A＝90°，∠B＝90°，∴∠A＝∠B＝90°．又∵P为AB的中点，∴AP＝BP，∵AC＝BD，∴△ACP≌△BDP（SAS）；（2）由（1）可知∠A＝∠B＝90°．∵∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠CPA＝90°﹣∠CPA，∠BPQ＝180°﹣∠CPQ﹣∠CPA＝90°﹣∠CPA，∴∠ACP＝∠BPQ．又∵CP＝PQ，∴△ACP≌△BPQ（AAS），∴AC＝BP，AP＝BQ，∴AB＝AP+BP＝BQ+AC，即AC，BQ，AB之间的数量关系为AB＝BQ+AC；（3）不会改变；理由：∵∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠CPA＝180°﹣α﹣∠CPA，∠BPQ＝180°﹣∠CPQ﹣∠CPA＝180°﹣α﹣∠CPA，∴∠ACP＝∠BPQ．又∵CP＝PQ，∠A＝∠B，∴△ACP≌△BPQ（AAS），∴AC＝BP，AP＝BQ，∴AB＝AP+PB＝BQ+AC，即（2）中的数量关系不会改变．30．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，猜想DE、BD、CE之间的数量关系为；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否仍然成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，即可得出结论；（2）由∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF即可得出结果．【解答】解：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA∴△ADB≌△CEA（AAS