人教版数学八年级上册 第13章 三角形（单元自测卷·内蒙古专用） 试卷 含答案

2026-2027学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用)第十三章三角形建议用时：90分钟，满分：100分一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(

)A.1，2，3 B.1，2，4 C.2，3，4 D.2，2，42.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是(

)

A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短

C.三角形具有稳定性 D.垂线段最短3.在△ABC中，∠A−∠B=35°，∠C=55°，则∠B等于

(

)A.50° B.55° C.45° D.40°4.如图，C处在B处的北偏西40∘方向，C处在A处的北偏西75∘方向，则∠ACB的度数为(

)

A.30∘ B.35∘ C.40∘5.如图，有一块厚薄均匀的硬纸板(被分为3×4的正方形网格)，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起.若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是(

)

A.点A B.点B C.点C D.点D6.如图，BD是△ABC的中线，O是BD上一点，OB=2OD，连接AO并延长交BC于点E.若△ABO的面积为2，则△ABC的面积是(

)

A.8 B.6 C.5 D.47.静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向OF1//AC，支持力的方向OF2⊥OF1，重力的方向OF3A.180∘−α B.180∘−128.如图，在△ABC中，∠A=20°，沿BE将此三角形翻折，BA′交AC于点D，又沿BD再一次翻折，点C落在BE上的点C′处，此时∠C′DB=74°，则原三角形的∠C的度数为

(

)

A.27° B.59° C.69° D.79°二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。9.等腰三角形的两边长a，b满足|a−4|+(b−9)2=0，则这个等腰三角形的周长为

10.如图，在△ABC中，AC=5cm，AB>AC，AD是△ABC的中线，且AD把△ABC的周长分为两部分，若两部分的差为3cm，则AB的长度为

cm．

11.如图，∠MON=80∘，点A，B在∠MON的两条边上运动，∠OAB和∠OBA的平分线交于点C，则在点A，B的运动过程中，∠BCA的度数为

．

12.《周礼⋅考工记》中记载：“⋯⋯半短谓之宣(xuān)，一宣有半谓之橘(zhú)⋯⋯”意思是：“⋯⋯直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作橘⋯⋯”(1宣=12矩，1橘=112问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图.若∠A=1矩，∠B=1橘，则∠C=

．解答题：本题共6小题，共64分。13.(10分)如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．

(1) ∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；(2)在△BED中作边BD上的高；(3)若△ABC的面积为16，BD=5，则点E到边BC的距离为多少？

14.(7分)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的长的和为10．

(1)求AB，AC的长．(2)求边BC的长的取值范围．

15.(10分)如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O．

(1)若∠A=50∘，∠BOD=70∘，∠C=(2)试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的数量关系，并证明你的猜想．

16.(12分)如图，CD是△ABC的高线，E为BC边上的一点，连接AE交CD于点F，∠BCD=10°，∠AEB=75°．

(1)求∠BAE的度数．(2)若AE平分∠BAC，求∠ACD的度数．

17.(12分)取一副三角尺按图 ①拼接，固定三角尺ADC，将三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ABC′，如图 ②所示.设∠CAC′=α(1)当α=15∘(2)连接BD，当0∘<α≤45∘时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的度数是否变化，若变化，求出变化范围;若不变，求出其度数．

18.(13(1)如图1，探究∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系，并证明．(2)请利用上述结论，完成下面的问题：【类比探究】 ①如图2，已知∠A+∠C+∠E=90∘，∠B+∠D=150∘【拓展延伸】 ②如图3，已知AM//EN，∠B+∠D=150∘，∠C+∠E=50

2026-2027学年八年级上册数学单元自测(内蒙古专用)第十三章三角形建议用时：90分钟，满分：100分选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。1.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(

)A.1，2，3 B.1，2，4 C.2，3，4 D.2，2，4【答案】C【分析】本题考查三角形三边关系，核心判定依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。【详解】A.1+2=3，两边之和等于第三边，不能组成三角形；B.1+2＜4，两边之和小于第三边，不能组成三角形；C.2+3＞4，2+4＞3，3+4＞2，满足三边关系，能组成三角形；D.2+2=4，两边之和等于第三边，不能组成三角形。故选：C。2.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是(

)

A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短

C.三角形具有稳定性 D.垂线段最短【答案】C【分析】本题考查三角形的几何性质，区分直线、线段、垂线段、三角形稳定性的实际应用。【详解】空调支架固定后形成三角形结构，利用了三角形具有稳定性的几何原理，可固定物体不易变形。故选：C。3.在△ABC中，∠A−∠B=35°，∠C=55°，则∠B等于

(

)A.50° B.55° C.45° D.40°【答案】C【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形内角和为180°，通过联立角度关系式求解未知角。【详解】在△ABC中，∠C=55°，∴∠A+∠B=180°−∠C=180°−55°=125°，又∠A−∠B=35°，两式相减得：2∠B=90°，解得∠B=45°。故选：C。4.如图，C处在B处的北偏西40∘方向，C处在A处的北偏西75∘方向，则∠ACB的度数为(

)

A.30∘ B.35∘ C.40∘【答案】B【分析】本题考查方位角与三角形内角计算，结合平行线性质、三角形内角和求解角度。【详解】由题意得：B地正北方向与A地正北方向互相平行，C在B北偏西40°，C在A北偏西75°，可得∠ABC=50°，∠BAC=35°，∴∠ACB=180°−50°−95°=35°。故选：B。5.如图，有一块厚薄均匀的硬纸板(被分为3×4的正方形网格)，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起.若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是(

)

A.点A B.点B C.点C D.点D【答案】C【分析】本题考查三角形重心的定义，三角形悬挂平衡的点为重心，即三条中线的交点。【详解】三角形重心是三角形三条中线的交点，也是三角形的几何中心，物体悬挂平衡时，悬挂点必为重心，结合格点位置可知对应点为C。故选：C。6.如图，BD是△ABC的中线，O是BD上一点，OB=2OD，连接AO并延长交BC于点E.若△ABO的面积为2，则△ABC的面积是(

)

A.8 B.6 C.5 D.4【答案】B【分析】本题考查三角形中线与面积关系，等高三角形面积比等于底边长之比，中线平分三角形面积。【详解】∵OB=2OD，△ABO与△ADO等高，∴S△ABO=2S△ADO，已知S△ABO=2，则S△ADO=1，∴S△ABD=S△ABO+S△ADO=3。∵BD是△ABC的中线，∴S△ABC=2S△ABD=6。故选：B。7.静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向OF1//AC，支持力的方向OF2⊥OF1，重力的方向OF3A.180∘−α B.180∘−12【答案】A【分析】本题考查直角、平行线性质与角度推导，结合垂直定义、三角形内角和转化角度。【详解】由题意：OF₁∥AC，OF₂⊥OF₁，OF₃⊥AB，∠A=α，根据平行线性质与垂直角度转化，可得∠F₂OF₃=180°−α。故选：A。8.如图，在△ABC中，∠A=20°，沿BE将此三角形翻折，BA′交AC于点D，又沿BD再一次翻折，点C落在BE上的点C′处，此时∠C′DB=74°，则原三角形的∠C的度数为

(

)

A.27° B.59° C.69° D.79°【答案】D【分析】本题考查三角形折叠性质与角度综合计算，折叠前后对应角相等，结合三角形内角和、外角性质求解。【详解】由两次折叠性质可知，角度等量关系统一，设∠C=x，结合∠A=20°，∠C'DB=74°，利用三角形内角和与折叠等角代换，逐步推导得：∠C=79°。故选：D。二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。9.等腰三角形的两边长a，b满足|a−4|+(b−9)2=0，则这个等腰三角形的周长为

【答案】22【分析】本题考查非负数性质与等腰三角形三边分类讨论，绝对值与平方数均为非负数，非负数和为0则各项为0，再结合三边关系验证。【详解】∵|a−4|+(b−9)²=0，且|a−4|≥0，(b−9)²≥0，∴a−4=0，b−9=0，即a=4，b=9。①若腰长为4，三边长为4、4、9，4+4＜9，无法构成三角形，舍去；②若腰长为9，三边长为9、9、4，满足三边关系，周长=9+9+4=22。故答案为：22。10.如图，在△ABC中，AC=5cm，AB>AC，AD是△ABC的中线，且AD把△ABC的周长分为两部分，若两部分的差为3cm，则AB的长度为

cm．

【答案】8【分析】本题考查三角形中线定义与周长差问题，中线平分底边，周长差即为腰长之差。【详解】∵AD是△ABC中线，∴BD=CD，两部分周长差：(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB−AC，已知周长差为3cm，AC=5cm，AB＞AC，∴AB−5=3，解得AB=8cm。故答案为：8。11.如图，∠MON=80∘，点A，B在∠MON的两条边上运动，∠OAB和∠OBA的平分线交于点C，则在点A，B的运动过程中，∠BCA的度数为

．

【答案】130°【分析】本题考查三角形内角和与角平分线性质，利用角平分线拆分角度，结合内角和公式推导定值。【详解】在△MON中，∠MON=80°，∴∠OAB+∠OBA=180°−80°=100°，∵AC、BC分别平分∠OAB、∠OBA，∴∠CAB+∠CBA=1/2(∠OAB+∠OBA)=50°，∴∠BCA=180°−50°=130°。故答案为：130°。12.《周礼⋅考工记》中记载：“⋯⋯半短谓之宣(xuān)，一宣有半谓之橘(zhú)⋯⋯”意思是：“⋯⋯直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作橘⋯⋯”(1宣=12矩，1橘=112问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图.若∠A=1矩，∠B=1橘，则∠C=

．【答案】22.5°【分析】本题考查新定义角度换算与三角形内角和，先根据题意换算角度，再利用三角形内角和求未知角。【详解】由题意：1矩=90°，1宣=1/2矩=45°，1橘=1.5宣=67.5°，即∠A=90°，∠B=67.5°，∴∠C=180°−90°−67.5°=22.5°。故答案为：22.5°。三、解答题：本题共6小题，共64分。13.(10分)如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．

(1) ∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；(2)在△BED中作边BD上的高；(3)若△ABC的面积为16，BD=5，则点E到边BC的距离为多少？【答案】解：∵∠BED是△ABE的一个外角，

∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+35°＝50°．

(2)解：如图，线段EF即为所求.

(3)解：∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，

∴S△BED=14S△ABC=14×16=4．

即12解得EF=85．

∴点E到边BC的距离为814.(7分)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多2，且AB与AC的长的和为10．

(1)求AB，AC的长．(2)求边BC的长的取值范围．【答案】解：∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD．由题意，得(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)＝AB-AC＝2，AB+AC＝10，∴AB＝6，AC＝4．

(2)∵AB＝6，AC＝4，∴6-4＜BC＜6+4，即2＜BC＜10．

15.(10分)如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD相交于点O．

(1)若∠A=50∘，∠BOD=70∘，∠C=(2)试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)∵∠A=50∘,∠C=25∴∠BDO=∠A+∠C=75∘∴∠B=180∘-∠BDO-∠BOD=180∘-75∘-70∘=35∘.

(2)猜想:∠BOC=∠证明:∵∠BDO=∠A+∠C,∠BOC=∠BDO+∠B,∴∠BOC=∠A+∠B+∠C.16.(12分)如图，CD是△ABC的高线，E为BC边上的一点，连接AE交CD于点F，∠BCD=10°，∠AEB=75°．

(1)求∠BAE的度数．(2)若AE平分∠BAC，求∠ACD的度数．【答案】∵∠BCD＝10°，∠AEB＝75°，∠AEB＝∠BCD+∠CFE，∴∠CFE＝75°-10°＝65°，∴∠AFD＝∠CFE＝65°，∵CD是△ABC的高线，∴∠ADC＝90°，∴∠BAE+∠AFD＝90°，∴∠BAE＝90°-65°＝25°．

(2)∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE＝50°，∴∠ACD＝90°-∠DAC＝40°．

17.(12分)取一副三角尺按图 ①拼接，固定三角尺ADC，将三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ABC′，如图 ②所示.设∠CAC′(1)当α=15∘(2)连接BD，当0∘<α≤45∘时，【答案】【证明】∵∠BAC=∠BAC′-∠CAC′=45∘-15∴∠BAC=∠C=30∘∴AB//CD.

(2)【解】当0∘<α≤45∘时,∠DBC′+∠CAC′+∠BDC连接CC′,设DC,BC′如图.在△BDO和△OCC′中,∠BOD=∠COC