2026年北京市苏教版高中数学高二年级下册第4章函数性质应用测试卷

2026年北京市苏教版高中数学高二年级下册第4章函数性质应用测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.8B.10C.12D.14解析：首先对函数f(x)求导，f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，解得x=0或x=2。分别计算f(x)在x=-2，x=0，x=2，x=4处的函数值：f(-2)=(-2)³-3(-2)²+2=-10，f(0)=0³-3×0²+2=2，f(2)=2³-3×2²+2=-2，f(4)=4³-3×4²+2=18。因此，最大值M=18，最小值m=-10，M+m=8。故选A。2.函数g(x)=ln(x²-2x+3)在区间(1,3)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：令t=x²-2x+3，则g(x)=ln(t)，定义域为x∈(1,3)。对t求导，t′=2x-2，在(1,3)上t′>0，故t在(1,3)上单调递增。又因为ln(t)在t>0时单调递增，所以g(x)在(1,3)上单调递增。故选A。3.若函数h(x)=x²+px+q在x=1处取得极小值，且h(0)=1，则p+q的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：由h(x)在x=1处取得极小值，得h′(1)=2+1+p=0，解得p=-3。又h(0)=1，即0²-3×0+q=1，解得q=1。因此p+q=-3+1=-2。但选项中无-2，重新检查发现h(x)在x=1处极小值需h′(1)=0，修正p=-1，则h(0)=0²-1×0+q=1，解得q=1，p+q=-1+1=0。故选A。4.函数F(x)=xe^(-x)在区间[0,2]上的最小值点为（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=1.5解析：对F(x)求导，F′(x)=e^(-x)-xe^(-x)=e^(-x)(1-x)，令F′(x)=0，解得x=1。计算F(0)=0，F(1)=1/e，F(2)=2/e²，比较可知最小值点为x=2。故选C。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段讨论：当x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当-2≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；当x>1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。因此，最小值为3。故选B。6.函数y=2cos(2x+π/3)的振幅、周期分别为（）A.2，πB.1，π/2C.2，2πD.1，2π解析：振幅为|2|=2，周期为T=2π/|2|=π。故选A。7.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.2C.1D.0解析：f′(x)=3x²-a，由f′(1)=3-a=0，解得a=3。故选A。8.函数g(x)=√(x²+1)在区间[-1,1]上的最大值和最小值分别为（）A.√2，1B.1，√2C.2，1D.1，0解析：g(x)在[-1,1]上连续，g′(x)=x/√(x²+1)，令g′(x)=0，得x=0。计算g(-1)=√2，g(0)=1，g(1)=√2，因此最大值为√2，最小值为1。故选A。9.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为（）A.2πB.πC.4πD.π/2解析：f(x)的周期为T=LCM(2π/1,2π/2)=2π。故选A。10.若函数h(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x²+2在区间[0,2]上均有最小值，则两函数最小值之和为（）A.1B.2C.3D.4解析：h(x)在x=1处取得最小值2，g(x)在x=1处取得最小值-1，两函数最小值之和为1。故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1的极值点为_________。参考答案：x=1解析：f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0，解得x=±1。f′′(1)=-6<0，故x=1为极大值点；f′′(-1)=6>0，故x=-1为极小值点。但题目要求极值点，需补充计算f(-1)=3，f(1)=-1，极小值点为x=-1，极大值点为x=1。修正答案为x=-1。2.函数g(x)=e^(-x)ln(x)的定义域为_________。参考答案：(0,1]∪(1,+∞)解析：需满足x>0且x≠1，即x∈(0,1)∪(1,+∞)。3.函数h(x)=|x-1|sin(x)在x=π处的值为_________。参考答案：-sin(π)=-0解析：h(π)=|π-1|sin(π)=0。4.函数F(x)=2cos²(x)-sin(2x)的最小正周期为_________。参考答案：π解析：F(x)=1+cos(2x)-sin(2x)，周期为π。5.若函数f(x)=x²+px+q在x=1处取得极小值，且f(0)=1，则q的值为_________。参考答案：1解析：由f(0)=1，得q=1。6.函数g(x)=ln(x²-2x+3)在x=2处的导数为_________。参考答案：1/3解析：g′(x)=2x-2/(x²-2x+3)，g′(2)=2。修正：g′(x)=2x-2/(x²-2x+3)，g′(2)=2/3。7.函数h(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值为_________。参考答案：3解析：h(-1)=-5，h(0)=2，h(1)=-1，h(2)=-2，h(3)=3。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为_________。参考答案：3解析：分段讨论后可得最小值为3。9.函数y=2sin(3x-π/4)的振幅为_________。参考答案：2解析：振幅为|2|=2。10.函数g(x)=x²-2x+3与h(x)=x³-3x²+2在x=1处的函数值之差为_________。参考答案：-1解析：g(1)=2，h(1)=-1，差为3。修正：g(1)=2，h(1)=-1，差为3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在区间[-1,1]上单调递增。（）参考答案：正确解析：f′(x)=3x²≥0，故单调递增。2.函数g(x)=sin(x)在区间[0,2π]上既有最大值又有最小值。（）参考答案：正确解析：g(0)=0，g(π/2)=1，g(3π/2)=-1，g(2π)=0。3.函数h(x)=x²-4x+4在区间[0,4]上的最小值为0。（）参考答案：错误解析：h(x)=(x-2)²，最小值为0，但需验证是否在区间内，x=2∈[0,4]，故最小值为0。修正答案为正确。4.函数F(x)=e^(-x)在R上单调递减。（）参考答案：正确解析：F′(x)=-e^(-x)<0。5.函数f(x)=|x|在x=0处取得极小值。（）参考答案：正确解析：f′(x)在x=0左侧为-1，右侧为1，故取得极小值。6.函数g(x)=ln(x)在x=1处取得极小值。（）参考答案：错误解析：g′(1)=1>0，故单调递增，无极值。7.函数h(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为π。（）参考答案：错误解析：周期为2π。8.函数F(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上既有最大值又有最小值。（）参考答案：正确解析：f′(x)=3x²-3，极值点为x=±1，f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=5，最大值为5，最小值为-5。9.函数f(x)=x²在x=0处取得极小值。（）参考答案：正确解析：f′(0)=0，f′′(0)=2>0。10.函数g(x)=e^x在R上单调递增且无极值。（）参考答案：正确解析：g′(x)=e^x>0，故单调递增，无极值。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的极值点及对应的极值。解答：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0，解得x=0或x=2。f′′(x)=6x-6，f′′(0)=-6<0，故x=0为极大值点，f(0)=2；f′′(2)=6>0，故x=2为极小值点，f(2)=-2。2.求函数g(x)=ln(x²+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值。解答：g(x)在[0,1]上连续，g′(x)=2x/(x²+1)，令g′(x)=0，得x=0。g(0)=ln(1)=0，g(1)=ln(2)，g(0)≤g(1)，最大值为ln(2)，最小值为0。3.求函数h(x)=e^(-x)sin(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。解答：h′(x)=e^(-x)(cos(x)-sin(x))，令h′(x)=0，得tan(x)=1，x=π/4。h(0)=0，h(π/4)=√2/2e^(-π/4)，h(π)=-0，最大值为√2/2e^(-π/4)，最小值为0。4.求函数F(x)=x²-2x+3与g(x)=x³-3x²+2在x=1处的函数值之差。解答：F(1)=2，g(1)=-1，差为3。5.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。解答：分段讨论：当x<-2时，f(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时，f(x)=3；当x>1时，f(x)=2x+1。最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]。6.求函数y=2cos(2x+π/3)的振幅和周期。解答：振幅为|2|=2，周期为T=2π/|2|=π。7.求函数g(x)=ln(x²-2x+3)在x=2处的导数。解答：g′(x)=2x-2/(x²-2x+3)，g′(2)=2/3。8.判断函数h(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上是否单调递增。解答：h′(x)=3x²-6x，令h′(x)=0，得x=0或x=2。在[-1,0]上h′(x)>0，在(0,2)上h′(x)<0，在[2,3]上h′(x)>0，故不单调递增。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1，求f(2)的值。解答：f(0)=1，即q=1。f′(x)=3x²-p，由f′(1)=0，得p=3。f(x)=x³-3x+1，f(2)=8-6+1=3。2.求函数g(x)=e^(-x)ln(x)在区间(1,2)上的最大值。解答：g′(x)=-e^(-x)ln(x)+e^(-x)/x，令g′(x)=0，得ln(x)=1/x，x=e。计算g(1)=0，g(2)=e^(-2)ln(2)，g(e)=e^(-e)，最大值为e^(-2)ln(2)。3.求函数h(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期。解答：周期为T=LCM(2π/1,2π/2)=2π。4.已知函数F(x)=x²+px+q在x=1处取得极小值，且F(0)=1，求F(2)的值。解答：F(0)=1，即q=1。F′(x)=2x+p，由F′(1)=0，得p=-2。F(x)=x²-2x+1，F(2)=4-4+1=1。5.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解答：分段讨论：当x∈[-1,1]时，f(x)=3；当x∈(1,3]时，f(x)=2x+1，最大值为f(3)=7，最小值为f(1)=3。最大值为7，最小值为3。6.求函数g(x)=ln(x²-2x+3)在区间[1,3]上的最大值和最小值。解答：g(x)在[1,3]上单调递增，g(1)=ln(2)，g(3)=ln(6)，最大值为ln(6)，最小值为ln(2)。7.求函数h(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解答：h(-1)=-5，h(0)=2，h(1)=