2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第31讲　第1课时　分组转化法与错位相减法

第六章第31讲数列的求和数列知识整合·体系建构1．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝ (

)A．153

B．210C．135

D．120【解析】A【解析】B【解析】【答案】D4．(教材经典题)求和：(2－3×5－1)＋(4－3×5－2)＋…＋(2n－3×5－n)＝________________________．【解析】n(n＋1)5．(教材经典题)求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝__________________________．【解析】1．公式法除了等差、等比数列的求和公式，常见的求和公式还有：2．分组求和法与并项求和法(1)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)并项求和法一个数列的前n项中，可两两结合求解，则称之为并项求和．如an＝(－1)nf(n)型，可采用两项合并求解．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法(1)裂项原则一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．第1课时分组转化法与错位相减法题型突破·思维拓展目标1并项求和已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝5an－2．(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；1【解答】已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝5an－2．1【解答】目标2分组求和

(2026·徐州期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,3Sn＝(n＋2)an．(1)求数列{an}的通项公式；【解答】2－1

(2026·徐州期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1,3Sn＝(n＋2)an．(2)求数列{(－1)nan}的前2n项和T2n．【解答】2－1(1)求数列{an}的通项公式；【解答】2－2(2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn．【解答】2－2综上，当n＞5时，Tn＞Sn．综上，当n＞5时，Tn＞Sn．(1)已知数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；【解答】【解答】目标3错位相减法求和(1)求证：{nan}为等差数列；3【解答】(2)设f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f′(－2)．3【解答】

由(1)知，nan＝3＋n－1＝n＋2．因为f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，所以f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋mamxm－1＝3＋4x＋5x2＋…＋(m＋1)xm－2＋(m＋2)xm－1，所以f′(－2)＝3＋4×(－2)＋5×(－2)2＋…＋(m＋1)(－2)m－2＋(m＋2)(－2)m－1①，则－2f′(－2)＝3×(－2)＋4×(－2)2＋5×(－2)3＋…＋(m＋1)(－2)m－1＋(m＋2)(－2)m②，(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．(2)利用错位相减法求和时，应注意：①

在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式；②

应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1求和．微探究错位相减问题裂项处理

(2025·石家庄二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S5＝25．(1)求数列{an}的通项公式；【解答】4

(2025·石家庄二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S5＝25．(2)若bn＝3nan，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】

由(1)知bn＝3nan＝(2n－1)·3n，方法一：(错位相减法)Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n①，所以3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－3)·3n＋(2n－1)·3n＋1②．4方法二：(裂项法)因为bn＝3nan＝(2n－1)·3n＝[(n＋1)－2]·3n＋1－(n－2)·3n，所以Tn＝0×32－(1－2)×31＋1×33－0×32＋2×34－1×33＋…＋[(n＋1)－2]·3n＋1－(n－2)·3n＝－(1－2)×31＋[(n＋1)－2]·3n＋1＝(n－1)·3n＋1＋3．配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，lgan＋lgan＋1＝lg2n，n∈N*，则S9＝

(

)A．511

B．61C．41

D．9【解析】【答案】B2．已知数列{an}的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，记bn＝(－1)n·an，n∈N*，则数列{bn}的前20项和是

(

)A．110

B．100 C．90

D．80【解析】A3．设数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋bn＋1＝2n，an＋1＋bn＝2n．设Sn为数列{an＋bn}的前n项和，则S7＝

(

)A．110

B．120C．288

D．306【解析】

S7＝a1＋b1＋a2＋b2＋a3＋b3＋a4＋b4＋a5＋b5＋a6＋b6＋a7＋b7＝a1＋b1＋(a2＋b3)＋(b2＋a3)＋(a4＋b5)＋(b4＋a5)＋(a6＋b7)＋(b6＋a7)＝1＋1＋2×2＋22＋2×4＋24＋2×6＋26＝2＋4＋4＋8＋16＋12＋64＝110．AA．624

B．625 C．626

D．650【解析】C【解析】B二、多项选择题6．已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋3n－1an＝n·3n＋1(n∈N*)，设数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是

(

)A．数列{an}为等差数列

B．Sn＝3n2＋6nC．数列{(－1)nan}的前10项和为30 D．数列{|an－20|}的前20项和为284【解析】

对于A，a1＋3a2＋…＋3n－1an＝n·3n＋1(n∈N*)，设bn＝3n－1an，则b1＋b2＋…＋bn＝n·3n＋1，所以当n≥2时，b1＋b2＋…＋bn－1＝(n－1)·3n，两式相减得bn＝(2n＋1)·3n．当n＝1时，b1＝a1＝9也适合上式，则bn＝(2n＋1)·3n＝3n－1an，可得an＝3(2n＋1)，所以an＋1－an＝6，故数列{an}是以9为首项，6为公差的等差数列，an＝9＋6(n－1)＝6n＋3，故A正确；对于C，数列{(－1)nan}的前10项和为(－9＋15)＋(－21＋27)＋…＋(－57＋63)＝6×5＝30，故C正确；【答案】ABC7．(2025·济宁一模)

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝Sn＋2，{bn}为等差数列，且b2＝a1，b8＝a3，记集合A＝{x∈N*|bn≤x≤an}中元素的个数为cn，数列{cn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是

(

)A．an＝2n B．bn＝n【解析】

对于A，设等比数列{an}的公比为q，由an＋1＝Sn＋2，得an＝Sn－1＋2(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，所以q＝2．又a2＝S1＋2＝a1＋2，a2＝2a1，解得a1＝2，所以an＝2×2n－1＝2n，故A正确．对于B，设等差数列{bn}的公差为d，由b2＝a1＝2，b8＝a3＝8，得6d＝b8－b2＝6，解得d＝1，所以bn＝b2＋(n－2)d＝n，故B正确；对于C，由A＝{x∈N*|bn≤x≤an}，得A＝{x∈N*|n≤x≤2n}，则集合A中元素的个数为2n－n＋1，即cn＝2n－n＋1，故C错误；【答案】ABD8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－7，S5＝－25，则 (

)A．an＝2n－11C．Sn取最小值时n＝5D．设bn＝an·2n，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2n－13)2n＋26【解析】【答案】AC三、填空题9．下面的数组均由三个数组成，分别是(1,2，－1)，(2,4，－2)，(3,8，－5)，(4,16，－12)，(5,32，－27)，…，(an，bn，cn)，若数列{cn}的前n项和为Sn，则

S10＝__________．【解析】－199110．(2025·太原期末)在正项数列{an}中，a1＝1，Sn是{an}的前n项和，且满足4Sn＝anan＋1＋1，若bn＝a2n(n∈N*)，则{bn}的前n项和Tn＝_______________．【解析】2n＋2－n－411．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋an＋1＝4×3n－1，则S2026＝_________.【解析】四、解答题【解答】(1)求数列{an}的通项公式；【解答】(2)求数列{bn}的前n项和Tn．13．(2026·宜昌期初)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，当n≥2时，S