-第十三章-第7讲-空间中角与距离的计算-配套课件

第7讲空间中角与距离的计算 1.异面直线所成的角

过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a′与b′.那么直线a′与b′所成的

，叫做异面直线a与b所成的角，其范围是.锐角或直角(0°,90°]第一页，编辑于星期六:七点

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2.直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内,则直线与平面所成的角等于

.(2)如果直线和平面垂直,则直线与平面所成的角等于.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是.斜线与平面所成的

是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最

的角.3.二面角

从一条直线出发的两个半平面组成的图像叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于

的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做.0°90°(0°,90°)线面角小棱直二面角第二页，编辑于星期六:七点

二十九分。

4.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.求点到平面的距离通常运用

，即构造一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的. 5.直线与平面平行，那么直线任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离. 1.正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线B1C与BD1所成角为()DA.30°B.45°C.60°D.90°2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面ABC1D1的距离为()B等积法高第三页，编辑于星期六:七点

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3．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AC.BD的中点，若CD＝2AB＝4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为()DA.90°B.60°C.45°D.30° 4．四面体ABCD中，CD＝AB＝2，E、F分别为AC.BD的中点，EF＝1，则AB与CD所成角的大小是.

图13－7－1 5．如图13－7－1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2,AA1＝1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.60°第四页，编辑于星期六:七点

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考点1空间距离的计算

例1:如图13－7－4，S是△ABC所在平面外一点，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，且SA⊥平面ABC，SA＝3a，求点A到平面SBC的距离．图13－7－4图13－7－5第五页，编辑于星期六:七点

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图13－7－6第九页，编辑于星期六:七点

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【互动探究】 1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1.C1.B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图13－7－7所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为10.(1)求棱A1A的长;(2)求点D到平面A1BC1的距离.图13－7－7第十一页，编辑于星期六:七点

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考点2 空间角的计算

例2:如图13－7－8，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点，且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.

图13－7－8第十三页，编辑于星期六:七点

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1.求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法: (1)传统立体几何的综合推理法:通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小．找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影．也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影． (2)空间向量的坐标法:建立空间直角坐标系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角．第十五页，编辑于星期六:七点

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2．求二面角，大致有两种基本方法： (1)传统立体几何的综合推理法：

①定义法;②垂面法;③三垂线定理法;④射影面积法． (2)空间向量的坐标法：建立空间直角坐标系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小．D第十六页，编辑于星期六:七点

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(1)求证：AF∥平面BCE;(2)求证：平面BCE⊥平面CDE;(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

图13－7－10

错源:向量法求线面角时用错公式求余弦值

例3:如图13－7－10，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．第十九页，编辑于星期六:七点

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误解分析：求出平面BCE的法向量n

后，误以为线面角θ的余弦值为cosθ＝第二十页，编辑于星期六:七点

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【互动探究】第二十二页，编辑于星期六:七点

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例4:如图13－7－12，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA＝2，侧面积为8，∠AOP＝120°.(1)求证：AG⊥BD;(2)求二面角P－AG－B的平面角的余弦值.图13－7－12第二十三页，编辑于星期六:七点

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与CN所成角的余弦值为,求

【互动探究】 4.如图13－7－14已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长均为1，M为棱A1B1上的点，N为棱BB1的中点，异面直线AM25|A1M||MB1|图13－7－14的值.

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图13－7－15第二十九页，编辑于星期六:七点

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立体几何中，处理空间的角和距离的问题主要用两种方法:传统方法和向量方法. (1)传统方法需要较高的空间想象能力，需要深刻理解角和距离的定义，灵活运用空