高中数学知识点总结

高中数学必修+选修知识点归纳

新课标人教A版

一、集合2、一般地，曰属于集合A且属于集合B的所有元素

1、把研究的对象统称为遢，把一些元素组成的总组成的集合，称为A与B的交集.记作：

体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无3、全集、补集？C〃4={x|xcU,且x日U}

雌§1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个

应关系了,使对于集合A中的任意一个数K,在

集合B中都有惟一确定的数/(x)和它对应，那么

集合相等。

就称/:AfB为集合A到集合B的一个螫,

记作：y=f(x),xeA.

3、常见集合：正整数集合:N”或N一整数集合:

2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值

Z,有理数集合:Q,实数集合:R.

域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完

4、集合的表示方法：列举法、描述法.

全一致，则称这两个函数相等.

§1.1.2、集合间的基本关系

§1.2.2、函数的表示法

1、一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任

1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是

§1.3.1、单调性与最大(小)值

集合B的王集。记作AqB.

1、注意函数单调性的证明方法：

2、如果集合AqB,但存在元素xwB,且x/A,(1)定义法：设内、x2<无那么

/(X,)-f(x2)<0=/(x)在必力|上是增函数;

则称集合A是集合B的♦子集.记作:A£B.

)-f(X2)>0O/(•¥)在上是减函数.

3、把不含任何元素的集合叫做交集.记作：0.并规步骤：取值T乍差一变形一定号一判断

格式：解：设内,12t［。，司且々，则：

定：空集合是任何集合的子集.

/(再)-/(々)=…

4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有2"个(2)导数法：设函数)，=/(外在某个区间内可导,

一/'(幻>0，则为增函数；

子集，2”-1个真子集.

巷ra)<o，则/")为减函数.

§1.1.3、集合间的基本运算§1.3.2、奇偶性

1、一股地，由所有属于集合A或集合B的元素组成L一般地，如果对于函数/(A)的定义域内任意一个

的集合，称为集合A与B的并集.记作：AU3.X,都有f(7)=/(X),那么就称函数/⑴为

偶留数.偶函数图象关于.V轴对称.极值是在；。附近所有的点，都有M<f(x0),

2、一股地,如果对于函数/(x)的定义域内任意一个

则f(xQ)是函数/(幻的极大值;

x,都有/(一工)=一/(。,那么就称函数/(x)为极值是在工。附近所有的点，都有/0)>/■)),

鲤数.奇函数图象关于原点对称.则/(工0)是函数/*)的极小值.

知识链接：函数与导数(2)判别方法：

1、函数y=/(x)在点灯处的导数的几何意义：①如果在飞附近的左侧>0,右侧/'*)<0,

函数y=fM在点X。处的导数是曲线y=fW在

*7>10<6T<1

2%J,(x。))处的切线的斜率/'(%)，相应的切线方

程是了一九=/'(/)(]-图

象

V>

*

(1)定义域：R

2、几种常见函数的导数

性(2)值域：(0,+8)

①C'=0;质(3)过定点(0,1),即x=0时，y=l

(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数

③(sinx)=cosx;@(cosx)=-sinx;(5)x>0,a>1；(5)X>0,0<^'<1;

A<0,0<a'<\x<0,«'>1

⑤(/)'=a'Ina;⑥(")="；那么/(%)是极大值；

11

⑦(log.x)=——；®(lnx)=-②如果在此附近的左侧f(x)<0,右侧/'(X)>0,

xlnax

3、导数的运算法则

那么/(.")是极小值.

(1)(u±v)=u±v.

(2)(wv)=uv+uv.6、求函数的最值

,、、,八uv-iiv.

(3)(-)=一一(—()).

VVQ)求)，=/(A)在(。/)内的极值(极大或者极小值)

4、复合函数求导法则

(2)将)，=/(A)的各极值点与/(〃)JS)比较，其中

复合函数y=的导数和函数

>'=/(〃),〃=g(x)的导数间的关系为乂’=最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

即y对x的导数等于y对"的导数与〃对x的导数的

乘积.§2.1.1,指数与指数幕的运算

解题步骤:分层一层层求导T乍积还原.

1、一般地，如果炉，那么x叫做。的〃次方根。

5、函数的极值

其中〃〉l.WGN

(1)极值定义：

2、当〃为奇数时，也7=4；

当刀为偶数时,叱=|小3、基本崛：log,1=0,log„«=l.

3、门规定：

4、运算性质：当a>0MHl,M>0,N>0时:

⑴Q=y[a"

⑴log“(MN)=logaM+log”N;

(a>0,rn,neN',m

(

⑵,「=》(〃>0);⑵log”—=logM-logN;

ITV/</u

4、运算性质：(3)log“A/"=flIogwM.

(1)。'优=a>,s(a>0,r,seQ);5、换底公式：咦/=^!^

log,a

⑵0/,S£Q);

l,c>0,cw1.力>0).

⑶(ab)'=arbr(a>0,b>0,reg).

tn

6、重要公式：log""=—log芯

n

§2.1.2、指数函数及其性质

7、倒数关系：log”〃=——(〃>0,〃w>0.6w1).

1、记住图象：y=a"(a>0,a1)

§2..2.2、对数函数及其性质

a>\0<6'<1

图1t

a.1a«■

象1、记住图象：y=logu>°，。工1)

⑴定义域：(0,+8)

性(2)值域：R

质(3)过定点(1,0),E0x=l时,y=0

(4)在(0,+8)上是培困数(4)在(0,+8)上是减函数

(5)x>l,logax>0;(5)x>x<0;

0<x<l,log„x<00<x<l,log,x>0

2、性质：

§2.3、幕函数

2、性质:1、几种幕函数的图象：

§2.2.1,对数与对数运算

1、指数与对数互化式:a'=Nox=logaN;

2、对数恒等式：d=N.

y=x

的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫

平行投影，三行投影的投影线是平行的.

3、空间几何体的表面积与体积

§3.1.1、方程的根与函数的零点

1、方程/(x)=0有实根

=函数_y=/(.i)的图象与x轴有交点

⑴圆柱侧面积：S侧面=2乃厂/

=函数y=/(x)有零点.

2、零点存在性定理：

如果函数y=/(%)在区间［a,b］上的图象是连续不断

⑵圆锥侧面积:S.划面=九,r•I

的一条曲线，并且有/(〃)•/(〃)<0,那么函数

(3)圆台侧面积:S便］面=乃「/+乃,//

y=/(X)在区间(〃/)内有零点，即存在。e(a,b),

⑷体积公式：

使得f［c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

•柱体=Sh；%体=§S.%；

第一章：空间几何体

%体=^S匕+瓦斗+S下

1、空间几何体的结构

⑸球的表面积和体积：

(1)常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：

)4o

S球=4成"，匕求=-7rR.

3

圆柱、圆锥、圆台、球.

第二章：点、直线、平面之间的位置关系

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且

1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条

每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围

直线在此平面内。

成的多面体叫做棱柱。

2、公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与

3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它

截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

们有且只有一条过该点的公共直线。

2、空间几何体的三视图和直观图

4、公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影

5、递：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这

两个角相等或互补。⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面

6、线线位置关系:平行、相交、异面。角，就说这两个平面互相垂直.

7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个

线和平面相交。平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直\

8、面面位置关系:平行、相交。⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的

9、线面平行:直线垂直于另一个平面，简称面面垂直，则线面垂直\

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则

直线与方程

该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行\

1、倾斜角与斜率：k=tana=

⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一X2-XI

平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则2、直线方程二

线线平行工⑴点斜式：y-%=k（x-X。）

10、面面平行:⑵斜截式：y=kx+b

⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

（3）两点式：=y2->»

x-x

xX2-XX

则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行\

⑷截距式：--^=1

ab

（2）性质：如果两介平行平面同时和第三个平面相交，那么

⑸一般式:/U+8y+C=0

它们的交线平行（简称面面啊亍，则线线平行\

3、对于直线：

11、线面垂直:

/i:y=kix+b]y

有：

（1）定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，/,:y=k2x+b2

那么就说这条直线和这个平面垂直。勺=k

⑴/J〃2O2

4H优

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，

（2）/1和12相交oky«k；

则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直\

⑶/1和/，重合

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行.IA=&

12、面面垂直:⑷/]1/,<=>k]k2=-1.

4、对亍直线：⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

其中圆心为，半径为r,b+g-4”.

/):+坊y+G=0,士

有222

/:Ax+B,y+C=0

2222、直线与圆的位置关系

A层=A2Bi直线Ax+By-C=0与圆（x-a）2+（y-b）2=r2

⑴/J"20

4c2工房G

的位置关系有三种：

⑵乙和。相交oA与用；

d>ro相离<=>A<0;

AB,=ABJ4=/0相切02\=0;

（3）/1和人重合。<2

81c2=B2cl

d<「=相交<=>A>0.

(4)/)_L/?<=>A)A+B,B=0.

22弦长公式：［=2』产-值

=J1+.J（芭々）2—怨泾

5、两点间距离公式:一

3、两圆位置关系：［=|。02|

山图=》（/一内厂+也一））

⑴外离：d>R+r;

6、点到直线距离公式：

⑵外切：d=R+r；

|Ar0+By0+C|

"十》

⑶相交：R-r<d<R+r;

7、两三行线间的妲离公式：

⑷内切：d=R-r；

/,:Ar+为+G=。与4:Ar+By+C=0平行，

2⑸内含:d<R-r.

,|C,-Cd

则4=IJ__=L3、空间中两点间距离公式：

VA2+B-

山刃=427J+（乃一。r+包-ZJ

统计

L抽样方法：

第四章：圆与方程

①简单随机抽样（总体个数较少）

1、圆的方程：

②系统抽样（总体个数较多）

⑴标准方程：（工一〃）2+（），一。2=户

③分层抽样（总体中差异明显）

其中圆心为（。/），半径为「・

注意在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，

每个个体被抽到的机会（概率）均为三，稳定水平。

N

2、总体分布的估计：⑶线性回归方程

⑴一表二图：①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；

①频率分布表一数据详实②制作散点图，判断线性相关关系

②频率分布直方图——分布直观③线性回归方程：＞=6+«（最小二乘法）

r__

③频率分布折线图——便丁观察总体分布趋势

b=R--------------__

2

注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为loVv2-注意线性回归直线经过定（Q）。

*=1

⑵茎叶图：a=y-bx

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据第三章：概率

的分布，以及中位数、众位数等。1、随机事件及其概率二

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大随机事件A的概率：P（A）=-.0^P（A）W1.

n

书写，相同的数据重复写。2、古典概型：

3、总体特征数的估计：⑴特点：

Q）平均数：R+MY+•••+.\〃.①所有的基本事件只有有限个；

n

取值为司,必,…,X”的频率分别为Pi，〃2,…，则其②每个基本事件都是等可能发生。

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事

平均数为X[P]+X2P2+…+X„pn；

注意：领率分布表计算平均数要取组中值。件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则

⑵方差与标准差：一组样本数据为,小，…，4事件A发生的概率P（A）=》.

n

方差：$2=一5（距7）；

“1=1

3、几何概型：

标准差：s=但一X）

⑴几何概型的特点：

I1=1

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。①所有的基本事件是无限个；

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的②每个基本事件都是等可能发生。

⑵几何概型概率计算公式：”八)=黑嚼;也。=a+2k?v,kGZ}.

其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、

§1.1.2、弧度制

体积等，

1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弓侬

4、互斥事件工

的角.

⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；

2、冏=；

⑵如果事件为,&，4/工意两个都是互斥事件，则称

3、弧长公式:l=—=\a\R.

180

事件为,”,…彼此互斥。

4、扇形面积公式:S=嚼工;/R.

⑶如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生的概率,

等于事件A,B发生的概率的和，§1.2.1、任意角的三角函数

即:P(A+B)=P(A)+P(B)1、设a是一个任意角，它的终边与里位圆交于点

⑷如果事件A，A〃彼此互斥，则有：P(x,y),那么：sintz=y,cos。=x,tantz=—

x

P(4++…+A”)=P(A)+P(&)+3+P(A〃)

2、设点A(x,y)为角。终边上任意一点，那么X设

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称

r=yjx2+y2)

这两个事件为对立事件。

.yxyx

sin<7=—,cosa--,tana=—,cot«=—

①事件4的对立事件记作又rrxy

P(A)+P(A)=I.P(A)=1-P(A)3、sina,cosa,

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事tana在四个象限

件。的符号和三角函数

必修4数学知识点线的画法.

第一章：三角函数

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式

§1.1.1,任意角

1、平方关系:sin°a+cos2a-\,

1、正角、负角、零角、象限角的概念.

2、商数关系：tana=*~.

cosa

2、与角。终边相同的角的集合：

3、倒数关系：tanacota-1

§1.3、三角函数的诱导公式sina=cosor.

（2）

(概括为"奇变偶不变号看象限“8£z)

cos----a=sma.

1、诱导公式一:\2）

sin(a+2^)=sintz,6、诱导公式六:

co《a+IkTi)=cosa,(其中：AeZ)

.（71A

tan((z+2k冗)=tana.sin—+a\=cosa,

（2）

（71\.

2、诱导公式二:cos—+a=-sinrz.

\2）

sin(^+£z)=-sina,

cos(4+。)=-cos。，§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质

tan(^+<z)=tana.

1、记住正弦、余弦函数图象：

y=sinx丫

.5xx.3x7i

/7\万

3、诱导公式三:

2~2■'2

=-sina,

=cosa,y=cosx%

=-tana..5xxJ3x7JT

・代工/2哀/JKJ2X4n吗

4、诱导公式四:2~227

sin（一一a）=sina,2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定

cos（乃-a）=-cosa,

义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、

tan（乃一a）=-tana.

奇偶奇、单调件、周期周.

3、会用五点法作图.

5、诱导公式五:

y=sinx在xe[0,2TT]上的五个关健点为：

(0,0),(-,1),(^-,0),(—

22

§1.4.3、正切函数的图象与性质

/

1、记住正切函数的图象：X

2

3、正切函数的相关性质：定义/_值域为优曲必奇偶性、单调性、周期性.

周期■定义:对于函数fg,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有

/（A-4-r）=/（x）,那么函数f3就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y=sinxy=cosxy=tanx

卜

yyV.

u

图象/T\芋％、一箱/-s.r/6

■o14wx0XL7J7V

定义域RR{.v|.v于巴+k兀,keZ]

R

能[-1A][-1,1]

x-2k加+—,keZ时»y-1

2x=2A“,kGZI时，ynui=1

x=2A”+^.keZ时,y=-1无

x=2k;r--,keZBt,=-l

7=24T=2兀T=7T

周期性

奇偶性奇偶奇

在［2A”上,2江+勺上单调递增在叱-4,2〃加上单调递增

___22

单调性在上单调递增

在［2就+多2k兀+争上单调递减

kwZ在生也二包上单调递减

对称轴方程：x=k^+—对称轴方程：x=ki无对称轴

对称性2

对称中心（既+1,（））对称中心（包,0）

keZ对称中心（板.0）•

22

§1.5、函数y=Asin(ar+0)的图象

2、能够讲出底数），=sinx的图象与

1、对亍函数：

y=Asin（+⑴+"的图象之间的平移伸缩变

y=Asin(ox+0)+3(A>0,0>0)的周期

求函数.V=Asin（/x+°）图像的对称轴与对称口心，

换关系.

只需令（t）x+（p=k兀+巳（k£Z）与①x+（p=k冗（keZ）

①先平移后伸缩：2

解出工即可.

>'=sinx平移|勿个单位y=sin（x+。）4由图像确定三角函数的解析式

--------►

利用图像特征：A=乂1Klemin,B=M+”而.

（左加右减）

22

横坐标不变,y=Asin（x+0）

0要根据周期来求,<P要用图像的关健点来求.

纵坐标变为原来的A倍

第三章、三角恒等变换

纵坐标不变.y=z4sin（<yxI<p）

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

横坐标变为原来的|-|（§

（t）

1、sin(a+fi)=sincrcos^+cosasinft