北京市第五十七中学2025-2026学年高一年级下学期数学期末试题（13）(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第五十七中学2025-2026学年高一年级下学期数学期末试题（13）一、单项选择题：本大题共12小题，共60分。1.已知集合，，，则（

）A. B. C. D.2.能够把圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”，下列函数不是圆的“和谐函数”的是（

）A. B.

C. D.3.设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（

）A. B. C. D.4.已知、、是的三个内角，且，则下列结论中正确的是（

）A. B.可以取到

C. D.可以取到5.已知点A（0，2），B（2，0），若点C在函数y＝x2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为（

）A.4 B.3 C.2 D.16.已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（

）A. B. C. D.7.在△ABC中，“对于任意t∈R，|-t|≥||”是“sin2A+sin2B=sin2（A+B）”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.若函数在上无最小值，则的取值范围为（

）A. B. C. D.9.设max{a，b}表示a与b的最大值，若x，y都是正数，，则z的最小值为（

）A. B.3 C.8 D.910.如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体E－ABCD－F，P为棱BC上一点，则下列四个结论中错误的是(

)

A.AE//平面BCF B.八面体E－ABCD－F的体积为

C.EP＋FP的最小值为 D.点A到平面BCF的距离为11.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（）（参考数据：，）A.0.2小时 B.0.5小时 C.0.8小时 D.2小时12.已知等差数列{an}和{bn}的前10项均为正整数，且公差均不为0．若a10+b5＝10，则a5+b10的最小值为（

）A.15 B.10 C.9 D.5二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13.已知复数，则

，

．14.已知直线l：x-2y=0，点P在双曲线C：mx2+y2=1上.若点P到直线l的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是

，实数m的值为

.15.已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为

．16.已知向量，（ⅰ）若，对于任意的，最小值是

；（ⅱ）若，的取值范围是

．17.定义在上的函数满足：①当时，；②．设关于的函数的零点从小到大依次为．若，则

；若，则

．18.设，函数，给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，则；④设．若存在最小值，则a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题10分)已知曲线与轴交于不同的两点（点在点的左侧），点在线段上（不与端点重合），过点作轴的垂线交曲线于点．(1)若为等腰直角三角形，求的面积；(2)记的面积为，求的最大值．20.(本小题10分)已知函数，，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为．(1)求函数解析式；(2)求在上的单调递增区间；(3)设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．21.(本小题10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC，M为BP的中点，AM//平面CDP．（1）求证：BC＝2AD；（2）若PA⊥AB，AB＝AP＝AD＝CD＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P-ABCD存在且唯一确定．（ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（ⅱ）设平面CDP∩平面BAP＝l，求二面角C-l-B的余弦值．条件①：BP＝DP；条件②：AB⊥PC；条件③：∠CBM＝∠CPM．22.(本小题10分)已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴，(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值.23.(本小题10分)已知函数，.(1)当时，（ⅰ）求曲线在处的切线方程；（ⅱ）求函数的最大值；(2)若函数的最大值为，求的值.24.(本小题10分)已知数列，，…，为个数，，…，的一个排列，其中，且．若在集合中至少有一个元素i使得，则称数列A具有性质P．(1)当时，判断数列：1，5，3，4，6，2和数列：6，5，2，4，1，3是否具有性质P（结论不需要证明）；(2)若数列和（，，…，）均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数m，数列，，…，不具有性质P；(3)在所有由，，…，的排列组成的数列中，记具有性质P的数列的个数为S，不具有性质P的数列的个数为T，证明：对于任意m（），．

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】D

11.【答案】B

12.【答案】B

13.【答案】/

；

/

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】

；

；

；

；

；

；

17.【答案】14

；

18.【答案】②③

19.【答案】解：（1）依题意，

，所以

，由

，得

，则

，解得

或

（舍去），则

，所以

.（2）由

，得

，则

，

，所以

在区间

上

单调递增，在区间

上

单调递减，所以

的最大值是

.​​​​​​​

20.【答案】解:（1），相邻对称轴距离，，即.（2）解不等式，可得，或，与求交集：递增区间为，.（3）对于任意的，，都有，等价于，，，，不等式转化为，，令，，，开口向下，对称轴，当时，最大值，代入解不等式，得，当时，最大值，代入解不等式，得，当时，最大值，代入解不等式，得，综上，.

21.【答案】解：（1）取

的中点

，连接

，因为

为

的中点，所以

，因为

，所以

，所以

四点共面，因为

平面

，平面

平面

，

平面

，所以

，所以四边形

为平行四边形，所以

，所以

；（2）（i）取

的中点

，连接

，由（1）知

，所以

，因为

，所以四边形

是平行四边形，所以

，因为

，所以

，所以

，即

，选条件①：

，因为

，所以

与

全等，所以

，因为

，所以

，所以

，即

，又因为

，

、

平面

，所以

平面

；（ⅱ）由（i）知

平面

，而

平面

，所以

，因为

，建立如图所示空间直角坐标系

，则

，所以

，设平面

的法向量为

,则

，即

，令

，则

，于是

，因为

为平面

的法向量,且

,所以二面角

的余弦值为

.选条件③：

，因为

，所以

，因为

，所以

与

全等，所以

，即

，因为

，又因为

，

、

平面

，所以

平面

；同选条件①.不可选条件②，理由如下：由（i）可得

，又

，

，

、

平面

，所以

平面

，又因为

平面

，所以

，即

是由已知条件可推出的条件，故不可选条件②.

22.【答案】解:（1）因为短轴长为2，所以，因为，所以，，又因为轴，所以，则，且，解得，则椭圆的标准方程为.（2）设，则，，联立，整理得，则，，则，直线：，令，得，故，，，则的中点坐标为，由于与的面积相等，故到直线的距离相等，因此的中点在上，可得，，则，解得，又，所以.

23.【答案】（1）函数的定义域是..当时，.（ⅰ）因为，所以在处的切线方程为.（ⅱ）令，.，所以在区间上单调递减.随着的变化，的变化情况如下：1+0-+0-↗极大值↘所以.（2）由（1）中令，则.设，因为在上单调递减，且，时，，所以存在唯一零点.所以有唯一解，不妨设为，即.随着的变化，的变化情况如下：+0-↗极大值↘所以.又，所以，所以.设，则，所以单调递增.又，所以.

24.【答案】解：（1）数列不具有性质，数列具有性质.理由如下：若数列具有性质，则集合中至少有一个元素，使得，验证：由，可知任意相邻两项差的绝对值均不等于，即不存在，使得，所以数列不具有性质.对于数列，集合中存在元素时，满足，所以数列具有性质.(2)设等差数列的公差为，则，由，，得，故公差.若，则，不满足题意，所以，因此，；同理可得，，故数列为.即数列中奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，可知对任意，均有与两者中一个奇数一个偶数，所以不可能为偶数，故对于所有的偶数，数列不具有性质；(3)设数列为任意一个不具有性质的数列，因为为的一个排列，由任意，由，若，则或，由，数列中不可能同时存在两项满足题意的，使得，假设与均不在数列，则，且，故且推出矛盾，故与二者中有且仅有一项在数列中.由上分析可知对于首项，由数列不具有性质，则.故在中有且仅有一项，使得.

在数列中，将项移到项的前面，其余项的顺序保持不变，得到新数列，新数列仍为的一个排列，且不同于原数列，显然数列具有性质.且任意一个与不同的不具有性质的数列，通过上述移动首项的方法都得不到数列.（由于操作可逆，假设某数列通过同样方法得到数列，则由逆向操作移回后必与数列相同）由题意具有性质P的数列的个数为S，不具有性质P的数列的个数为T，结合数列为任意一个