第四单元圆(讲义)2026-2027学年六年级数学上册人教版

第四单元圆(讲义)2026-2027学年六年级数学上册人教版（思维导图+知识梳理+精讲例题+专项练习）圆心确定图的位置，丰径决定图的圆心确定图的位置，丰径决定图的大小。各部分名称一个圆的半径有无数条、直径也有无数条圆一个圆的半径有无数条、直径也有无数条圆在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径的长度是半径的2倍，即：d=2r,r=12d。在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径的长度是半径的2倍，即：d=2r,r=12直径和半径圆和扇形的认识特征特征对称性→圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。对称性→圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。定义→圆定义→圆扇形扇形扇形的大小与所在圆的半径大小有关，还与圆心角的大小有关。扇形的→扇形的大小与所在圆的半径大小有关，还与圆心角的大小有关。扇形的→大小围成圆的曲线的长是圆的周长。定义→围成圆的曲线的长是圆的周长。定义→测量圆的周长的方法→“化曲为直”的转化思想。圆的周长测量圆的周长的方法→“化曲为直”的转化思想。圆的周长任意一个圆的周长除以它的直径，所得结果是一个固定的数，叫圆周率，用字母π表示。圆周率→任意一个圆的周长除以它的直径，所得结果是一个固定的数，叫圆周率，用字母π表示。圆周率→公式→C公式→C周=πd或C周=2πr已知圆的半径，求圆的面积：S=πr²。已知圆的直径，求圆的面积：S=π(d已知圆的半径，求圆的面积：S=πr²。已知圆的直径，求圆的面积：S=π(d2已知圆的周长，求圆的面积：S=π(c2π公式→圆的面积圆的面积圆环的面积→S=π(R²-r²)(R为大圆半径，r为小圆半径)圆环的面积→S=π(R²-r²)(R为大圆半径，r为小圆半径)解决实际问题→S=4r²-πr²S=πr²-2r²解决实际问题→S=4r²-πr²S=πr²-2r²1.圆是由(曲线)围成的平面封闭图形。圆中心的一点叫(圆心)，用字母O表示。以某一点为圆心，可以画(无数个)圆。连接圆心和圆上任意一点的线段叫(半径)，用字母(r)表示。连接圆心并且两端都在圆上的线段叫(直径)，用字母(d)表示。2.圆有(无数条)半径，有(无数条)直径。(圆心)决定圆的位置，(半径)决定圆的大小。3.在同一个圆中，所有的半径都(相等)，所有的直径都(相等)。直径是半径的(2)倍，半径是直径的(124.车轮为什么是圆的?因为(圆心到圆上各点的距离相等)，所以圆在滚动时，(圆心在一条直线上运动)，这样的车轮运行才(稳定)。5.圆内最长的线段是(直径)。圆规两脚之间的距离是(半径)。6.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径就是正方形的(边长)。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径就是长方形的(宽)。7.把圆对折，再对折(对折2次)就能找到(圆心)。圆是(轴对称图形)，(直径)所在的直线是圆的对称轴，圆有(无数条)对称轴。半圆只有(1条)对称轴。8.如果一个图形沿着一条直线(对折后两部分完全重合)，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫作(对称轴)，对称轴是一条(直线)。9.常见轴对称图形的对称轴数量：等腰三角形(1条)、等边三角形(3条)、等腰梯形(1条)、长方形(2条)、正方形(4条)、圆(无数条)、半圆(1条).10.圆一周的长度就是圆的(周长)。圆的周长总是直径的3倍多一些，圆周长与直径的比值是一个(固定的数)，叫作(圆周率)，用字母(π)表示。π是一个(无限不循环小数)，通常取近似值(3.14)。11.圆的周长=圆周率×直径，即：C=πd=2πr12.圆所占平面的大小叫圆的(面积)。把圆等分的份数越多，拼成的图形越接近(平行四边形或长方形)。拼成的平行四边形的(底)相当于圆周长的一半，(高)相当于圆的半径。拼成的长方形的(长)相当于圆周长的一半，(宽)相当于圆的半径。13.如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积公式：S圆=π14.半圆的周长不是圆的周长的一半，而是圆的周长的一半再加上一条直径长，即πr+2r；半圆的面积是圆的面积的一半，即(πr15.周长相等时，圆的面积(最大)；面积相等时，圆的周长(最小)。周长相等：圆面积>正方形面积>长方形面积；面积相等：长方形周长>正方形周长>圆周长。16.一个圆的半径扩大(缩小)几倍，直径就扩大(缩小)几倍，周长也扩大(缩小)几倍，面积扩大缩小几的(平方倍)，但圆周率永远不变。17.几个公式圆周长C=πd=2πr 圆面积S=π直径d=C÷π 半径r=C÷2π直径d=2r 半径r=d÷218.永远记住要带单位，周长是(cm)，面积是平方(cm²)，体积是立方(cm³)。19.圆的周长3.14×1=3.14 3.14×2=6.283.14×3=9.42 3.14×4=12.563.14×5=15.7 3.14×6=18.843.14×7=21.98 3.14×8=25.123.14×9=28.26 3.14×10=31.420.圆的面积常用计算结果3.14×12=3.143.14×32=28.263.14×52=78.53.14×72=153.863.14×92=254.34例1（基础：已知周长求半径）例题：画一个周长是18.84cm的圆，圆规两脚之间的距离是多少厘米？思路点拨：圆规两脚距离=圆的半径。周长公式C=2πr，逆推求半径r=C÷π÷2。解答：18.84÷3.14÷2=3（cm）答：圆规两脚间距离是3厘米。小结：已知周长求半径，一定要除以2，不要忘记。例2（圆周长实际应用：钟表分针）例题：钟表分针长4cm，从9:00到9:45，分针尖端走过多少路程？扫过的面积是多少？思路点拨：分针长是半径；45分钟，转动4560=34圈。路程=圆周长的34解答：周长部分：2×3.14×4×34面积部分：3.14×42×34答：尖端走过18.84厘米，扫过面积37.68平方厘米。小结：钟表问题，半径=指针长度，看分针转了几分之几圈。例3（圆环面积）例题：一个圆环，外圆半径R=5cm，内圆半径r=3cm，求圆环面积。思路点拨：圆环面积公式S环=π(R2-r2)，不要写成π(R-r)2。解答：3.14×(52-32)=3.14×(25-9)=3.14×16=50.24（cm²）答：圆环面积50.24平方厘米。小结：圆环面积是大圆减小圆，先算半径平方之差。例4（正方形内最大圆）例题：在边长10cm正方形里面画一个最大的圆，求圆的周长和面积。思路点拨：正方形内最大圆，圆的直径=正方形边长。解答：d=10cm,r=5cm周长：3.14×10=31.4（cm）面积：3.14×52=78.5（cm²）答：周长31.4厘米，面积78.5平方厘米。小结：正方形内最大圆，直径等于正方形边长。例5（难点：圆切拼近似长方形）例题：把一个圆平均分成若干扇形，拼成近似长方形。已知长方形的宽是4cm，求圆的面积。思路点拨：拼成的长方形，宽=圆的半径r，长=圆周长的一半。解答：r=4cmS=3.14×42=50.24（cm²）答：圆面积是50.24平方厘米。小结：切拼后，长方形宽=r；长方形周长比原来圆多2条半径。例6（半圆周长易错题）例题：一个半圆，半径5cm，求半圆的周长。思路点拨：半圆周长≠圆周长÷2，还要加上一条直径！解答：3.14×5×2÷2+5×2=15.7+10=25.7（cm）答：半圆周长25.7厘米。小结：高频易错！半圆周长=半圆弧长+直径。例7（长方形内最大圆）例题：长方形长8cm，宽6cm，在里面剪出最大圆，求圆面积。思路点拨：长方形内最大圆，直径等于长方形较短的边（宽）。解答：d=6cm,r=3cmS=3.14×32=28.26（cm²）答：圆面积28.26平方厘米。小结：长方形内最大圆，直径取长、宽里面较小值。一、填空。1.车轮设计成圆形，可使车辆行驶得更加平稳，这是利用了()的特征。2.数学课上，老师进行了如右图所示的操作，由此可以算出，这个圆的周长是()cm,面积是()cm²。3.在一张长10cm、宽4cm的长方形纸中，剪下一张最大的半圆形纸片，这张半圆形纸片的周长是()cm。4.小杰在推导圆的面积公式时，发现将一个圆剪拼成右图中近似的长方形后，长方形的长比宽长6.42cm，这个圆的半径是()cm。二、选择。1.下面关于圆的说法中，正确的是()。A.半径是2cm的圆，它的周长和面积相等B.圆周率π是一个无限不循环小数，我们计算时通常取3.14C.一个圆的半径增加2cm，它的直径就增加4cm，周长就增加2πcmD.扇形的半径越大，面积越大2.在周长相等的正方形、长方形和圆中，面积最大的是()。A.正方形 B.长方形 C.圆 D.一样大3.将下面的图形按对称轴数量从多到少排列，正确的是()。①等边三角形 ②正方形 ③圆 ④半圆 ⑤长方形A.②①⑤③④ B.③②⑤①④ C.③②①④⑤ D.③②①⑤④4.如右图，三角形的面积是5cm²，那么圆的面积是()cm²。A.31.4 B.15.7 C.7.85 D.78.55.两只蚂蚁沿不同的路线从点M爬到点N，甲蚂蚁沿彩色实线爬，乙蚂蚁沿黑色实线爬。下面四幅图中，两只蚂蚁爬的路线一样长的有()幅。A.1 B.2 C.3 D.4三、计算下面各图形中涂色部分的周长和面积。四、操作。在生活中，我们常见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。下图中有一个正方形花圃。1.工人师傅准备在花圃中安装一个半径为8m的自动旋转喷灌装置，要想使其能喷灌到花圃的面积最大，应该安装在什么位置?用点O标出该装置的位置，并画出喷灌区域。2.正方形花圃内不能喷灌到的面积是多少平方米?五、解决问题。1.同学们在操场上玩游戏，在操场上立一根木棍，参加游戏的同学以木棍所在位置为圆心，手拉手围成一个圆(如图)。一名同学展开双臂，两手间的距离约为1.5m，按照这样计算，每名同学和木棍之间的距离大约是多少米?(结果保留整数)2.小明和优优一起去比萨店用餐，他们花89元点了一个直径是40cm的大号比萨，但服务员告知他们大号比萨卖完了，可以换成2个直径是20cm的小号比萨，价钱不变。下面是小明和优优各自的说法，你赞成谁的说法?请通过计算说明。(比萨厚度相同)3.玉璧和玉环均为我国的传统玉器。据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧……肉好若一，谓之环。”其中“肉”指边郭(如下图涂色部分)，“好”指中间的孔。边郭的宽大于孔的直径的玉器叫作璧，边郭的宽等于孔的直径的玉器叫作环。下面是外圆直径相等的玉璧和玉环的示意图。(图中单位：cm)(1)图中玉环的“肉”的宽度是()cm。(2)分别计算图中玉璧与玉环的“肉”的面积。(π取3)参考答案一、1.同一个圆所有的半径都相等解析:把车轴装在车轮的圆心上，当车轮在地面上滚动时，车轴离地面的距离总等于车轮的半径。2.3.140.785解析:圆的直径为1cm,则周长为3.14×1=3.14(cm),面积为3.14×3.20.56解析:在一张长10cm、宽4cm的长方形纸中，剪下一张最大的半圆形纸片，纸片的半径等于长方形的宽，如图。半圆形纸片的周长为2×3.14×4÷2+2×4=20.56(cm)。4.3解析:将一个圆剪拼成一个近似的长方形后，长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径。假设圆的半径为r。根据上图可得2.14r=6.42cm,所以r=6.42÷2.14=3(cm)。二、1.B2.C3.D4.A5.C三、1.周长2×3.14×2×面积：5×2−3.14×解析:观察题图可知，涂色部分的周长=圆周长的14+长方形的2条长(宽与上面的边可拼成1条长)；涂色部分的面积=长方形的面积-12.周长:3.14×4+2×3.14×4×面积：3.14×解析:涂色部分的周长=1个直径为4cm的圆的周长+1个半径为4cm的圆周长的14通过割补可得下图。涂色部分的面积=14个半径为4cm的圆的面积四、1.2.8×2答：正方形花圃内不能喷灌到的面积是55.04m²。解析:根据题意画图即可，花圃内不能喷灌到的面积=正方形的面积一圆的面积，据此计算即可。五、1.1.5×8÷3.14÷2≈2(m)答：每名同学和木棍之间的距离大约是2m。解析每名同学和木棍之间的距离等于圆的半径，先求出同学们围成的圆的周长，再根据r=C÷π÷2计算半径即可。大号比萨的面积：