2025-2026学年上海市杨浦实验中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2025-2026学年上海市杨浦实验中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）1．将一元二次方程化成、为常数）的形式，则、的值分别是（）A．，21 B．，11 C．4，21 D．4，112．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）A．与 B．与（其中 C．与 D．与（其中，3．下列命题正确的是A．在△中，，，则 B．在△中，，则 C．在△中，，，则 D．在△中，，，则4．等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（）A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定5．下列命题中，正确的个数是（）①两条边分别相等的两个直角三角形全等；②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；③斜边相等的两个等腰直角三角形全等．A．3 B．2 C．1 D．06．关于的方程，下列说法中正确的有个．①右，则该方程没有实数根；②若，则该方程的两个根互为相反数；③若，则该方程一定有两个实数根；④若，则一定是这个方程的实数根．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共12题，每题2分，满分24分）7．的立方根为．8．在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为．9．．10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．11．如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为．12．如图，在△中，，是边上的中线，且，则的长为．13．若关于的方程是一元二次方程，则．14．如图：在中，，，，则．15．已知△为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么的值是．16．如图，已知在中，，是的中垂线，，，则．17．点、、是数轴上的三个点，点、所对应的数分别为，点到点的距离是它到点距离的2倍，则点表示的数是．18．已知关于一元二次方程中，下列结论：①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，，，那么方程一定无解．其中正确的是．三、简答题（共7题，第19题8分，第20题16分，第21～23题每题6分，第24题7分，第25题9分，满分58分）19．（1）计算：；（2）化简：．20．（16分）选择适当的方法解方程．（1）；（2）；（3）；（4）．21．先化简，再求值：，其中．22．某商场出售一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商品要保证每天盈利6000元，如果你是商场老板，那么每千克应涨价多少？23．如图，在中，高、交于点，若，求的度数．24．如图，在中，于点，于点，是的中点，连接、、．（1）求证：；（2）若是等边三角形，则应满足什么条件？25．如图，在△中，，，点是边上一动点，连接，将△沿翻折得到△．（1）直接写出与的位置关系：；（2）如图①，当时，求证：△△；（3）在点运动过程中，直线与直线相交于点，连接，当时，求线段长度．四、填空题（共3题，第26-27题每题5分，第28题10分）26．如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是．27．我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．例如计算：．根据上述材料，将化为，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）．28．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是．（1）当时，；（2）根据小普的结论，求、；（结果用含的代数式表示）（3）如果是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数．

参考答案一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）1．将一元二次方程化成、为常数）的形式，则、的值分别是（）A．，21 B．，11 C．4，21 D．4，11解：原方程移项可得：，，可得，，故选：．2．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）A．与 B．与（其中 C．与 D．与（其中，解：、与被开方数不同，不是同类二次根式；、与被开方数不同，不是同类二次根式；、，被开方数项同，是同类二次根式；、，被开方数不同，不是同类二次根式，故选：．3．下列命题正确的是A．在△中，，，则 B．在△中，，则 C．在△中，，，则 D．在△中，，，则解：、在△中，，若，则，故本选项命题错误，不符合题意；、在△中，，，则，故本选项命题错误，不符合题意；、在△中，，，则，命题正确，符合题意；、在△中，，，则，故本选项命题错误，不符合题意；故选：．4．等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（）A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定解：设等腰三角形的腰长为厘米，腰上的中线长为厘米，由题意得：，即，或，解得或，当时，该三角形的三边长分别为8厘米，8厘米，6厘米，，此时能构成三角形；当时，该三角形的三边长分别为4厘米，4厘米，6厘米，，此时能构成三角形；综上所述，等腰三角形的腰长为4厘米或8厘米，故选：．5．下列命题中，正确的个数是（）①两条边分别相等的两个直角三角形全等；②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；③斜边相等的两个等腰直角三角形全等．A．3 B．2 C．1 D．0解：根据三角形全等的判定条件，等边对等角相关知识点逐项分析判断如下：①两条边分别相等的两个直角三角形，若两条边均为直角边，则由可证全等；若一条边为直角边，一条边为斜边，若直角边是对应边，则可用证全等，若直角边不是对应边，则不能证明全等，故命题①错误，不符合题意；②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形，符合，故命题②正确，符合题意；③斜边相等的两个等腰直角三角形，由于等腰直角三角形的两个锐角的度数都为，则由可证全等，故命题③正确，符合题意；故选：．6．关于的方程，下列说法中正确的有个．①右，则该方程没有实数根；②若，则该方程的两个根互为相反数；③若，则该方程一定有两个实数根；④若，则一定是这个方程的实数根．A．1 B．2 C．3 D．4解：根据一元二次方程的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义逐项分析判断如下：①若，则该方程没有实数根，原说法正确，符合题意；②当时，则△，若，则方程无实数根，原说法错误，不符合题意；③当时，方程变为，即，解得或，原说法正确，符合题意；④当时，把代入原方程，方程左边，此时方程左右两边相等，故是原方程的解，原说法正确，符合题意；故选：．二、填空题（共12题，每题2分，满分24分）7．的立方根为．解：的立方根为．故答案为：．8．在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为．解：．故答案为：．9．．解：．故答案为：．10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是且．解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：且．故答案为：且．11．如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为．解：四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．12．如图，在△中，，是边上的中线，且，则的长为12．解：，是斜边边上的中线，，，．故答案为：12．13．若关于的方程是一元二次方程，则．解：由条件可知且，，，因此，故答案为：．14．如图：在中，，，，则．解：设，，，在中，，解得．．故答案为：．15．已知△为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么的值是3或4．解：设方程的两个根为和，则，．分情况讨论如下：①若3为底边，三边分别为2、2、3，满足三角形三边关系（两短边之和大于第三边）．②若3为腰，设，则，此时，三边分别为3、3、1，满足三角形三边关系．故的值为3或4，故答案为：3或4．16．如图，已知在中，，是的中垂线，，，则5．解：在中，，，，是的中垂线，，，，，故答案为：5．17．点、、是数轴上的三个点，点、所对应的数分别为，点到点的距离是它到点距离的2倍，则点表示的数是或．解：点到点的距离是它到点距离的2倍，点不可能在点左侧，当点在点，点之间时，设表示的数为，，，，解得，当点在点右侧时，设表示的数为，，，，解得，点表示的数是或，故答案为：或．18．已知关于一元二次方程中，下列结论：①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，，，那么方程一定无解．其中正确的是①②③④．解：由已知得△，①由得，，，方程有两个不相等的实数根；故①正确，符合题意；②若，则，故②正确，符合题意；③若方程两根为和，则，，，，；故③正确，符合题意；④若，，，则，，△，方程一定无解．故④正确，符合题意；故答案为：①②③④．三、简答题（共7题，第19题8分，第20题16分，第21～23题每题6分，第24题7分，第25题9分，满分58分）19．（1）计算：；（2）化简：．解：（1）原式；（2）原式．20．（16分）选择适当的方法解方程．（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）原方程变形可得：，，解得，；（2）原方程分解因式可得：，或，解得；（3）原方程变形可得：，，或，解得；（4）原方程移项可得：，，，，解得．21．先化简，再求值：，其中．解：，当时，原式．22．某商场出售一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商品要保证每天盈利6000元，如果你是商场老板，那么每千克应涨价多少？解：设每千克应涨价元，由题意得：，解得：，，如果我是商场老板，要顾客得到实惠，，答：每千克应涨价5元．23．如图，在中，高、交于点，若，求的度数．解：、是的高，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，．24．如图，在中，于点，于点，是的中点，连接、、．（1）求证：；（2）若是等边三角形，则应满足什么条件？【解答】（1）证明：于，，，，又是的中点，，，；（2）是等边三角形，，，，，同理，，，，，则是等边三角形时，的．25．如图，在△中，，，点是边上一动点，连接，将△沿翻折得到△．（1）直接写出与的位置关系：；（2）如图①，当时，求证：△△；（3）在点运动过程中，直线与直线相交于点，连接，当时，求线段长度．【解答】（1）解：与的位置关系：；理由如下：如图①，连接，将△沿翻折得到△，，，点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，是线段的垂直平分线，，故答案为：；（2）证明：将△沿翻折得到△．，，，，，，，，，在△和△中，，△△；（3）解：当直线与射线相交于点时，如图②，由折叠的性质得，，，△是等边三角形，，，，，；当直线与线段相交于点时，如图③，同理△是等边三角形，，，，，、、在同一直线上，由（1）得，，，，垂直平分，，，，，，综上所述，线段的长度为10或．四、填空题（共3题，第26-27题每题5分，第28题10分）26．如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是．解：方程两根为和，由题意得，设，则，或，解得或，代数式，当时，，故；当时，，故．综上，代数式的值为．故答案为：．27．我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．例如计算：．根据上述材料，将化为，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）．解：由题意得：，即将化为，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）为：，故答案为：．28．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个