高二数学：集合与常用逻辑用语教学课件

高二数学·第一章集合与常用逻辑用语授课教师：数学组本章导览01集合基础集合概念、表示方法与基本关系02集合运算交集、并集、补集与数轴图示03常用逻辑用语命题、量词与逻辑联结词04充要条件充分条件、必要条件与高考链接集合基础万物皆可归类万物皆可归类从具体到抽象，认识集合的语言与表示01集合的概念引入从生活实例认识集合集合概念生活实例：从具体到抽象全班同学一个班级中的每一位成员，构成一个整体图书馆所有藏书馆内全部书籍，汇成一个可考察的总体自然数全体1、2、3……所有自然数，组成一个无限整体核核心概念集合把一些确定的对象看成一个整体元素构成集合的每个对象属于元素与集合的关系——记作∈不属于元素与集合的关系——记作∉确定性集合中元素必须是确定的研究对象集合是数学的基本语言，贯穿高中数学始终元素的三大特性三大特性中，互异性常在参数求解中设陷阱确定性任一对象要么属于这个集合，要么不属于，二者必居其一“大于3的实数”构成集合“较高的人”不能构成集合互异性集合中的元素不能重复出现示例集合

{1,2,2,3}

应写为

{1,2,3}无序性集合中元素无先后顺序示例{a,b}

与

{b,a}

是同一个集合集合的表示方法两种表示方法，掌握适用场景是关键💡描述法表示集合时，代表元素要写清楚列举法定义把集合元素一一列举，用花括号括起适用适用于元素个数较少的有限集示例不大于5的正整数集合为{1,2,3,4,5}描述法定义用集合中元素的共同特征来表示集合适用适用于元素较多或无限集格式{代表元素|元素满足的条件}示例大于3的实数集合为{x|x大于3}常用数集及其记法区分N与N*

的差异：0

是关键区别书写时符号要用规范大写，不可混淆数集名称符号说明自然数集N含

0

和非负整数正整数集N*不含

0整数集Z含正整数、0、负整数有理数集Q可化为分数的数实数集R数轴上的点子集与真子集包含关系关注的是元素间的从属传递01子集定义若集合A的任意元素都是集合B的元素，则A是B的子集，记作

A⊆B自反性：任何一个集合都是它自身的子集02真子集定义与性质若A是B的子集，且B中存在元素不属于A，则A是B的真子集，记作

A⊂B空集性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集集合相等与空集“忽视空集是高一学生最常见失分点”集合相等若

A包含于B

且

B包含于A，则A与B相等两个集合的元素完全相同即相等示例：{1,2,3}

与

{3,1,2}

相等空集不含任何元素的集合叫做空集，记作

∅空集是含有

0个元素

的集合注意：∅与{0}不同，{0}是含有一个元素0的集合求解含参集合问题时，务必讨论

空集

情形集合相等看元素，空集讨论莫遗漏集合基础·例题精讲第1步互异性由集合元素的互异性可得a≠1，a²≠1，a≠a²第2步化简化简不等式即a≠1，a≠-1，a≠0第3步结论综上a的取值范围为全体实数中排除

1、-1、0集合基础·课堂练习“做完基础题再挑战提升题，逐步建立信心基础巩固概念，提升检验理解，循序渐进壹基础题用列举法表示：小于6的自然数组成的集合判断

{0}

与

∅

是否为同一集合，说明理由写出集合

{a,b,c}

的所有子集贰提升题已知集合A={2,4,a²-2a+3}，若

3

是A的元素，求实数

a

的值集合{x|x²-3x+2=0}用列举法表示集合运算数形结合巧解题集合之间也能运算交、并、补三大运算，数形结合巧解题02交集的概念与运算从公共元素视角引入交集，借助韦恩图直观理解交集强调"公共"二字，找共同元素即可找共同元素即可交集定义与符号由所有既属于

A

又属于

B

的元素组成的集合，记作

A交B。符号表示：A交B={x|x属于A且x属于B}。韦恩图中交集是两圆

重叠部分。示例A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}；A交B={3,4}。若A与B无公共元素，则A交B=∅并集的概念与运算从合并视角引入并集，强调元素不可重复并集求的是"合并"，但别忘了互异性约束—集合运算基础并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作A并B符号表示A并B={x|x属于A或x属于B}韦恩图并集是两圆全部覆盖的部分示例A={1,2,3}，B={3,4,5}A并B={1,2,3,4,5}注意重复元素只写一次（互异性）补集的概念与运算补集是相对于全集定义的，离开全集谈补集无意义。全集

U

与补集中的核心概念与记号补集必须明确全集，离开全集谈补集无意义。全集UNIVERSALSET研究某个集合时，含有所要研究的所有元素的集合，记作

U。补集COMPLEMENT由全集中所有不属于A的元素组成的集合，记作

U中A的补集。符号表示NOTATIONA的补集={x|x属于U且x不属于A}韦恩图VENNDIAGRAM补集是圆外部的阴影部分。示例EXAMPLEU={1,2,3,4,5}，A={1,2}，则A的补集={3,4,5}集合运算的基本性质熟悉性质能大幅简化解题过程交集与并集4项A∩A=AA∪A=A（幂等律）A∩∅=∅A∪∅=A（同一律）A∩B⊆AA⊆A∪B（包含关系）交换律A∩B=B∩A；A∪B=B∪A补集运算3项A∩(∁ᵤA)=∅交集为空集A∪(∁ᵤA)=U并集为全集∁ᵤ(∁ᵤA)=A补集之补集为原集合（双重否定律）数轴法解集合运算用数轴直观求解连续型集合运算，掌握数形结合适用范围适用于元素为

实数范围

的集合运算端点判断含等号为

实心点，不含等号为

空心点示例A={x|x>1}，B={x|x<4}A∩B={x|1<x<4}第1步表示集合将每个集合表示在数轴上在数轴上标出各集合的覆盖范围，作为后续判断的基础。第2步交集交集取

公共覆盖

部分各集合数轴覆盖范围相互重叠的区域，即为交集。第3步并集并集取

全部覆盖

部分各集合数轴覆盖范围的全部总和，即为并集。第4步补集补集取数轴上

剩余

部分在全集中去掉该集合覆盖的范围后所余下的部分。韦恩图的应用韦恩图用圆表示集合，圆的位置关系反映集合关系借助韦恩图直观呈现集合关系，解决计数问题“韦恩图把抽象关系可视化，一目了然”三种基本位置关系相离两集合无公共元素相交两集合有部分公共元素包含一个集合完全在另一个内部集合运算·例题精讲通过综合例题训练运算能力与数形结合意识已知

U=R，A={x|x≥1}，B={x|x<3}，求A∩B、A∪B、∁UAA∩B交集A∩B={x|1≤x<3}A∪B并集A∪B=R，数轴上两部分覆盖全部实数∁UA补集∁UA={x|x<1}规范解答方法步骤①A∩B={x|1≤x<3}②A∪B=R，两部分覆盖全部实数③∁₍U₎A={x|x<1}方法提醒注意事项先在数轴上标出各集合区间端点

1

处等号只在A中出现，交集保留等号集合运算·课堂练习分层练习覆盖三大运算，强化数轴与韦恩图运用分层练习，循序渐进画图辅助思考，数形结合不丢分基础题交集与并集

已知A={1,2,3,4}，B={3,4,5}，求A交B、A并B补集运算

全集U={1,2,3,4,5}，A={2,4}，求A的补集数轴表示

用数轴表示{x|x大于1且x小于等于5}提升题数轴求交集

已知A={x|负2小于x小于3}，B={x|x大于0}，求A交B韦恩图应用

某班35人中，会打篮球20人，会踢足球18人，两项都会6人，求两项都不会的人数常用逻辑用语数学的语言是逻辑命题、量词与联结词，让表达更严谨03命题的概念与分类能够判断真假的陈述句即是命题命题：能够判断真假的陈述句“判断是否为命题，先看句式再看真假特征特征一：必须是陈述句，疑问句、祈使句不是命题特征二：必须能判断真假，无法判断的不算命题分类真真命题—判断为真假假命题—判断为假辨析示例"3大于2"→是命题（真命题）"请把窗户打开"→不是命题（祈使句）"x大于1"→不是命题（x未定时无法判断）命题的真假判断真命题判断为正确，假命题判断为错误真命题与假命题的判断判断一个命题为假，只须举出一个反例真命题判断为正确的语句假命题判断为错误的语句判断要点先明确命题陈述的事实或关系依据数学定义、定理进行判断典型示例“两个无理数的和一定是无理数”是假命题反例：√2

与

负√2的和为

0，是有理数命题

“0是自然数”

是真命题全称量词与全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”示例一任意实数x，都有x²大于等于0是全称命题示例二所有正方形都是矩形是全称命题全称命题概括全部，无一例外全称量词3项含义表示所有、任意、每一个等含义常见词所有、一切、任意、全部、每一个符号全称量词符号

∀所有任意每一个全称命题2项结构对M中任意一个x，有p(x)成立符号任意的x属于M，p(x)存在量词与特称命题含义表示存在一个、至少有一个等常见词存在、至少有一个、有些符号符号：∃

存在量词符号特称命题结构存在M中一个x，使p(x)成立符号表示∃x∈M，p(x)示例“存在整数n，使n²=4”是特称命题（真）示例“有些三角形是直角三角形”是特称命题特称命题判断特称命题只要找到一个满足条件即可为真判定要点：存在性含一个量词命题的否定核心法则：全称与存在互换，结论否定命题的否定：量词互换，结论取反，两步缺一不可全称命题→特称命题换量词原命题任意x，p(x)否定存在x，非p(x)示例一"任意实数x，x大于0"的否定："存在实数x，使x小于等于0"特称命题→全称命题换量词原命题存在x，p(x)否定任意x，非p(x)示例二"存在x，使x²=2"的否定："任意x，x²不等于2"否定时先换量词，再否定结论，两步缺一不可VS逻辑联结词"且或非"数学中的"或"允许两者同时成立交且（交）定义"p且q"当且仅当

p、q都为真时为真示例"2是偶数且2是质数"为真并或（并）定义"p或q"只要

p、q有一个为真即为真说明数学中的"或"是兼容的，与日常"二选一"有区别示例"2大于1或2大于3"为真否非（否定）定义"非p"与p的真假相反示例p："3大于2"为真，则"非p"为假逻辑用语·例题精讲判断真假找特例，书写否定按规则两道例题对照研读，先学会找反例判断真假，再按量词规则书写否定。判断真假找特例，书写否定按规则例题一·判断真假命题任意x∈R，都有

x²>0结论假命题反例当x=0时，x²=0，并不大于0例题二·写出否定命题存在x∈R，使

x²+2x+2≤0否定任意x∈R，都有

x²+2x+2>0步骤先换量词（存在换任意），再否定结论逻辑用语·课堂练习1.命题判断“5大于3”——是命题，真“漂亮的花朵”——不是命题“大于20的数”——不是命题2.写出否定任意实数x，x≥0→存在实数x，使x小于0存在整数a，a²小于0→任意整数a，a²大于等于03判断真假基础题任意x属于R，x²加1大于0——是真命题4写出否定提升题“存在x，使x加1大于0”→否定为

任意x，x加1小于等于05符号表达提升题“所有整数都是有理数”→任意a属于Z，则a属于Q易错提示：先判断真假，再按“换量词、否结论”写否定充要条件条件关系定乾坤条件关系定乾坤充分与必要，高考必考的逻辑核心04充分条件与必要条件符号记法设p与q是两个命题，p推出q（用推出符号表示）谁推出谁：被推出的一方是"必要条件"定义若p则q为真充分条件：p是q的充分条件必要条件：q是p的必要条件示例：p：x大于1；q：x大于0由x大于1能推出x大于0p是q的充分条件，q是p的必要条件充要条件的定义本质：充要条件要求

双向均成立。充要条件要求"既充分又必要"，缺一不可定义若既有

p推出q，又有

q推出p，则称p是q的

充分必要条件，简称充要条件。也称p与q互为充要条件，记作

p等价于q。示例：p：b=0；q：一次函数y=kx+b过原点b=0

时函数过原点；函数过原点则

b=0。p与q互为充要条件。充要条件的判定方法判定四步法归类结果对照充分性（若p则q）必要性（若q则p）条件关系成立不成立p是q的

充分不必要

条件不成立成立p是q的

必要不充分

条件成立成立p是q的

充要

条件不成立不成立p是q的

既不充分也不必要

条件记牢四步流程，条件关系不再混淆1明确命题明确

p与q的具体内容2判断充分性若

p则q

是否为真3判断必要性若

q则p

是否为真4归类条件关系对照下表的结果

确定关系从集合视角理解充要条件集合关系条件关系示例：p：x大于2；q：x大于1判定A真包含于Bp是q的充分不必要条件集合{x|x大于2}真包含于{x|x大于1}p⇒qB真包含于Ap是q的必要不充分条件集合{x|x大于1}真包含于{x|x大于2}q⇒pA等于Bp是q的充要条件集合{x|x大于2}与{x|x大于1}不相等p⇔qA与B互不包含p是q的既不充分也不必要条件两集合互不包含，x的值域无重叠p且q均不可推集合思想是理解充要条件的桥梁高考考点聚焦链接高考考查形式，明确复习重点与答题策略集合与充要条件在高考中通常以选择填空题考查复习要点聚焦4项高频考点集合的交、并、补运算（常与不等式结合）；充分条件、必要条件的判断；含参集合运算中的讨论常见易错点忽视空集情形；端点等号取舍得错；"充分"与"必要"方向判断颠倒答题策略画数轴或韦恩图辅助，先明确方向分值判断本部分分值稳定，基础夯实即可拿分充要条件·例题精讲判定时正反两个方向都要检验01例题一p：x=2；q：x²=4。判断p与q的条件关系充分性：由x=2能推出x²=4，成立必要性：由x²=4得x=2或x=−2，不能推出x=2结论：p是q的

充分不必要

条件02例题二p：两个三角形全等；q：两个三角形面积相等全等能推出面积相等；面积相等不能推出全等结论：p是q的

充分不必要

条件充要条件·课堂练习每题都按四步法走一遍，形成条件反射01基础题基础题1p：x大于3