2025年上海市高考数学试卷（含解析）

2025年上海市高考数学试卷一、填空题（共12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分。考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。）1．已知全集，，集合，，则．2．不等式的解集为．3．已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为．4．在二项式的展开式中，的系数为．5．函数在，上的值域为．6．已知随机变量的分布为，则期望．7．如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的体积为．8．设，，，则的最小值为．9．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有种．10．已知复数满足，，则的最小值是．11．小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光；其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角．（结果用角度制表示，精确到12．已知函数，、、是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是．二、选择题（共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分。每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。）13．已知事件、相互独立，事件发生的概率为（A），事件发生的概率为（B），则事件发生的概率为（）A． B． C． D．014．设，．下列各项中，能推出的一项是（）A．，且 B．，且 C．，且 D．，且15．已知，，在上，则△的面积（）A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值16．设，，数列，数列．设．若对任意，，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（）A．1个 B．3个 C．4个 D．无穷三、解答题（共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分。解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。）17．2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93（1）求这组数据的极差与中位数；（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；（3）若比赛成绩关于年份的回归方程为，年份的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．18．如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，且．（1）若直线与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；（2）已知是母线的中点，点、在底面圆周上，且弧的长为，．设点在线段上，证明：直线平面．19．已知，．（1）若（1），求不等式的解集；（2）若函数满足在上存在极大值，求的取值范围．20．（18分）已知椭圆，，，是的右顶点．（1）若的焦点是，求离心率；（2）若，且上存在一点，满足，求；（3）若中垂线的斜率为2，与交于、两点，为钝角，求的取值范围．21．（18分）已知函数的定义域为．对于正实数，定义集合．（1）若，判断是否是中的元素，并说明理由；（2）若，，求的取值范围；（3）设是偶函数，当，时，，且对任意，均有．写出，的解析式，并证明：对任意实数，函数在，上至多有9个零点．

参考答案一、填空题（共12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分）1．已知全集，，集合，，则．解：因为全集，，集合，，所以．故答案为：．2．不等式的解集为．解：不等式的等价于，解得，所以不等式的解集是故答案为3．已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为12．解：因为等差数列的首项，公差，所以．故答案为：12．4．在二项式的展开式中，的系数为80．解：二项式的展开式的通项为，令，求得，所以的展开式中项的系数是．故答案为：80．5．函数在，上的值域为，．解：因为函数在单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值1，因为，，所以的最小值为0，所以函数在，上的值域为，．故答案为：，．6．已知随机变量的分布为，则期望6.3．解：由已知，期望．故答案为：6.3．7．如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的体积为112．解：由题知，底面为正方形，所以，所以，因为四棱柱为正四棱柱，所以底面，因为底面，所以，所以，所以，所以该正四棱柱的体积为．故答案为：112．8．设，，，则的最小值为4．解：由已知，，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4．故答案为：4．9．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有288种．解：先选2个家长排在队列的头和尾的排法数为：，剩下的家长和儿童全排的排法种数为：，由分步乘法计算原理可得，不同的排列个数有种．故答案为：288．10．已知复数满足，，则的最小值是．解：设，则，，因为，所以，即，又，所以在复平面内对应的点的轨迹为或，表示点到点的距离，由点的轨迹可知，当，时，有最小值，最小值为．故答案为：．11．小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光；其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角．（结果用角度制表示，精确到解：由题可得接触点为的旗杆影子在水平面上，接触点为的旗杆影子完全在斜面上，不妨设影子完全在斜面上是旗杆为，影子为，过作平行于水平面的直线交的延长线于，所以，，所以，，因为阳光可视为平行光，所以，所以△△，所以，即，所以，①因为，②联立①②解得．故答案为：．12．已知函数，、、是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是．解：由题意可知，三者全为0或一个为1，一个为，一个为0，当全为0时，可知两两垂直，不符合题意；所以必为一个为1，一个为，一个为0，不妨设，，由函数，可知，不妨设，，，，，所以，，所以，所以，因为，所以，所以，所以．故答案为：．二、选择题（共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分。每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。）13．已知事件、相互独立，事件发生的概率为（A），事件发生的概率为（B），则事件发生的概率为（）A． B． C． D．0解：因为事件、相互独立，（A），（B），所以（A）（B）．故选：．14．设，．下列各项中，能推出的一项是（）A．，且 B．，且 C．，且 D．，且解：对于，取，，则，故错误；对于，取，，则，故错误；对于，取，，则，故错误；对于，当时，是减函数，时，，故正确．故选：．15．已知，，在上，则△的面积（）A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值解：因为过点，的直线的方程为，曲线的渐近线为，所以与渐近线平行，故当点无限逼近渐近线时，△在上的高无限逼近渐近线与的距离，故△的面积无最小值，当点位于时，使得△在边上的高最大，此时△的面积有最大值．故选：．16．设，，数列，数列．设．若对任意，，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（）A．1个 B．3个 C．4个 D．无穷解：长为，，的线段均能构成三角形，，当时，有，即，又，，，即恒成立；当时，有，即，，，解得，3，4，5，，当时，有，即，，，即解得，4，5，6，7，综上，，5，，满足条件的有3个．故选：．三、解答题（共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分。解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。）17．2024年巴黎奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93（1）求这组数据的极差与中位数；（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；（3）若比赛成绩关于年份的回归方程为，年份的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．解：（1）数据从小到大排列为：206.78，207.46，207.95，209.34，209.35，210.68，213.73，214.84，216.93，216.93，所以这10个数据的极差为，中位数为．（2）由题意知，10个数据中在211以上有4个，从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率．（3）由题意知，，则，所以，令，得．故预测2028年冠军队的成绩为204.56．18．如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，且．（1）若直线与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；（2）已知是母线的中点，点、在底面圆周上，且弧的长为，．设点在线段上，证明：直线平面．解：（1）如图，连接，依题意及圆锥的性质得，，，所以，所以圆锥的侧面积．（2）证明：连接，，，因为是母线的中点，是底面圆的直径，所以，又平面，平面，所以平面，因为，所以，因为，所以，则△为等边三角形，，所以，所以△为等边三角形，，所以，所以四边形是平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，而，，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．19．已知，．（1）若（1），求不等式的解集；（2）若函数满足在上存在极大值，求的取值范围．解：（1）由题意，（1），解得，所以，因为，所以，设，，因为与均为增函数，所以为增函数，因为（1），所以由，得，所以不等式的解集为，；（2）由题意，，当时，，故在单调递减，在单调递增，故无极大值，不成立；当时，当时，恒成立，在单调递增，故无极大值，不成立；当时，，在和单调递增，在单调递减，故在处取得极大值；当时，或，在和单调递增，在单调递减，故在处取得极大值；综上，的取值范围为，，．20．（18分）已知椭圆，，，是的右顶点．（1）若的焦点是，求离心率；（2）若，且上存在一点，满足，求；（3）若中垂线的斜率为2，与交于、两点，为钝角，求的取值范围．解：（1）由题意，，故，故；（2）由题意，，不妨设，，故，，由，得，即，故，由在椭圆上，故，解得（负根舍）；（3）由题意，斜率为，故，，所以可设中点为，则方程为，设，，，，由，得，△，所以，因为，，因为为钝角，且、、不共线，故，即，解得，所以，又，所以．21．（18分）已知函数的定义域为．对于正实数，定义集合．（1）若，判断是否是中的元素，并说明理由；（2）若，，求的取值范围；（3）设是偶函数，当，时，，且对任意，均有．写出，的解析式，并证明：对任意实数，函数在，上至多有9个零