37　第五章　第37课时　平面向量的数量积及其应用

第37课时平面向量的数量积及其应用第五章平面向量、复数[考试要求]1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．1．(多选)(北师大版必修第二册P113习题2－5A组T1改编)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是(

)A．0·a＝0B．(a·b)·c＝a·(b·c)C．a·b＝0⇒a⊥bD．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2以题引理·激活思维√√CD

[对于A，0·a＝0，故A错误；对于B，因为(a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，但a与c不一定共线，故B错误；对于C，因为a·b＝0，所以a⊥b，故C正确；对于D，由数量积的运算知(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，故D正确．故选CD．]2．(苏教版必修第二册P49本章测试T9改编)已知向量a，b为单位向量，且a⊥b，则b·(4a－3b)＝(

)A．－3 B．3C．－5 D．5√A

[由题意可得，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝0，则b·(4a－3b)＝4a·b－3b2＝－3b2＝－3，故选A．]

√4．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为_____________．

5．(人教B版必修第三册P83例2(1)改编)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____________．

2

[0，π]

θ＝0θ＝π2．平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．规定：0·a＝__．|a||b|cosθ0

投影向量|a|cosθ

e

4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

x1x2＋y1y2＝0

x1x2＋y1y2

1．计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．(3)利用基向量法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．3．向量夹角与数量积的关系(1)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线．(2)两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．(3)两个非零向量a，b的夹角为直角⇔a·b＝0．

精研考点·提升素养

11

名师点评：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解数量积，灵活应用数量积的几何意义解题，可以避免烦琐的代数运算．

√

[4，6]

√

√

3．(2025·北京昌平二模)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则a·b＝__________，(2a＋b)·c＝_____________．0－50－5

[如图，建立平面直角坐标系，则a＝(1，－1)，b＝(1，1)，c＝(－1，2)，所以a·b＝1－1＝0，2a＋b＝(2，－2)＋(1，1)＝(3，－1)，(2a＋b)·c＝－3－2＝－5．]

√

√

【教用·备选题】若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是______________________．

考向3

向量的垂直问题[典例4]

(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝_____________．

√

√

√√

题号135246879101112131415课后作业(三十七)平面向量的数量积及其应用√16题号2134568791011121314152．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(

)A．2 B．4C．6 D．12√C

[因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|·cos

60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，|a|2－2|a|－24＝0，解得|a|＝6(负根舍去)．故选C．]16

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√

16

题号213456879101112131415√

16

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√√

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516三、填空题12．(2026·江西新余模拟)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(x，3)的夹角为锐角，则实数x的取值范围是________________________．题号21345687910111213141516

13．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝_____________．题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号2134