70　第九章　第70课时　二项分布、超几何分布与正态分布

第70课时二项分布、超几何分布与正态分布第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[考试要求]1．理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题．2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．

以题引理·激活思维

√

2．(人教A版选择性必修第三册P78探究改编)设50个产品中有10个次品，任取产品20个，取到的次品可能有X个，则E(X)＝(

)A．4 B．3C．2 D．1√

3．(苏教版选择性必修第二册P146T10改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(

)A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977√C

[∵μ＝0，∴P(ξ>2)＝P(ξ<－2)＝0.023，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954．]4．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝_____________．

5．(人教B版选择性必修第二册P89练习BT1)已知随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X~B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p的值为_____________．

1．n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含____________结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为____________________．两个可能n重伯努利试验(2)二项分布在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________________，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从____________，记作X~B(n，p)．(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝___________．②若X~B(n，p)，则E(X)＝____，D(X)＝______________．

二项分布p(1－p)npnp(1－p)2．超几何分布(1)定义在含有M件次品的N件产品中，随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布．(2)超几何分布的均值若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝___．

X~N(μ，σ2)01

x＝μx＝μ(4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈______________；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈______________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈______________．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．0.68270.95450.9973(5)正态分布的均值与方差若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝__，D(X)＝____．μσ2

精研考点·提升素养(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？

X0123P

名师点评：(1)在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．(2)在根据伯努利试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率．

所以X的分布列为X01234P

√

考点二

超几何分布[典例3]

(2025·辽宁沈阳期末)现有一堆颜色不同，形状相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色小球，2个白色小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球．(1)先从甲、乙两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出的是红球的概率；(2)将甲、乙两袋合为一袋，然后在袋中一次任取3球，设所取3个球中红球的个数为X，求X的分布列及期望．

X0123P名师点评：(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．(2)超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．

X012P

√√(2)(2026·浙江杭州模拟)已知某场考试考生人数为10000人，考试的成绩服从正态分布N(300，2500)，若录取分数线为350分，则录取人数约为_____________．(结果四舍五入取整数)(参考数据：若ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827)1587

名师点评：解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ；

(2)标准差σ；

(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率；μ决定正态曲线位置，σ的大小决定正态曲线的稳定与波动大小，即高矮与胖瘦；注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0．

√

√√

【教用·备选题】1．设随机变量X~N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c的值为_____________，P(－4≤X≤8)＝_____________．(若X~N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545)20.95452

0.9545

[由X~N(2，9)可知，正态分布的图象关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2．∴P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)≈0.954

5．]

√√√

3．已知X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标ξ(单位：mm)服从正态分布N(5.40，0.052)，现从中随机抽取M个，这M个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间[5.35，5.55]．若K＝45，试以使得P(K＝45)最大的M值作为M的估计值，则M为(

)A．45 B．53C．54 D．90√

题号135246879101112课后作业(七十)二项分布、超几何分布与正态分布√题号2134568791011122．(2026·安徽阜阳开学考试)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X≥3)＝0.3，则P(1<X≤2)＝(

)A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4√B

[因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，所以P(X≤2)＝0.5，又P(X≥3)＝0.3，所以P(X≤1)＝P(X≥3)＝0.3，则P(1<X≤2)＝P(X≤2)－P(X≤1)＝0.5－0.3＝0.2．故选B．]

题号213456879101112√

题号213456879101112

题号213456879101112√

题号213456879101112

题号213456879101112√

题号213456879101112

题号213456879101112√

题号213456879101112

题号213456879101112√√√

题号213456879101112

题号213456879101112√√√

题号213456879101112

题号213456879101112

题号213456879101112三、填空题9．设随机变量ξ服从正态分布N(2，1)，若P(ξ>a＋1)＝P(ξ<a)，则a＝_____________．题号213456879101112

10．(2025·天津卷)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6．若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为_________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为X，则期望E(X)＝_____________．题号2134568791011120.63.20.6

3.2

[由题意可知，小桐一周跑10圈或11圈或12圈，小桐一周跑10圈的概率为0.5×0.4＝0.2，小桐一周跑11圈的概率为0.5×0.6＋0.5×0.6＝0.6，小桐一周跑12圈的概率为0.5×0.4＝0.2，一周至少跑11圈的概率为0.6＋0.2＝0.8，则X~B(4，0.8)，所以E(X)＝4×0.8＝3.2．]题号213456879101112四、解答题11．(2026·江苏南京开学考试)袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球．(1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为X，求P(X≥1)；(2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为Y，求Y的分布列和数学期望．题号213456879101112

题号213456879101112

题号213456879101112Y012P

题号213456879101112(1)求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．2025课标新变化：具有运用随机思想进行数据分析的意识．题号213456879101112

题号213456879101112X0123P

题号213456879101112

题号135246879101112131415阶段评估(十三)

(第65课时~第70课时)√16题号213456879101112131415

√16X235Pab2b－a

题号213456879101112131415163．在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为(

)A．32 B．24C．18 D．12题号213456879101112131415√16

题号213456879101112131415164．(2026·广东阳江模拟)医学部门对某地区的一种地方性疾病进行医学研究，已知该地区有良好卫生习惯的居民占0.6，没有良好卫生习惯的居民占0.4，该地区所有居民患这种地方性疾病的概率为0.014．若有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.01，则没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为(

)A．0.03 B．0.024C．0.02 D．0.018题号213456879101112131415√16C

[设事件A＝“居民患有这种地方性疾病”，事件B1＝“居民有良好卫生习惯”，事件B2＝“居民没有良好卫生习惯”．由题意，P(B1)＝0.6，P(B2)＝0.4，P(A)＝0.014，P(A|B1)＝0.01，由全概率公式，可得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)，即0.014＝0.6×0.01＋0.4×P(A|B2)，解得P(A|B2)＝0.02，即没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.02．故选C．]题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√√

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√√

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415

16310．某校召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是_____________；若用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则E(X)＝_____________．题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516X0123P

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516X123P

题号21345687910111213141516Y0123P

题号2134568791011121314151613．(2025·重庆二模)某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计如下：题号21345687910111213141516零件直径(单位：厘米)[1.0，1.2)[1.2，1.4)[1.4，1.6)[1.6，1.8)[1.8，2.0]零件个数1025302510(1)经统计，零件的直径ξ服从正态分布N(1.5，0.2282)，据此估计这批零件直径在区间[1.044，1.5]内的概率；(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间[1.2，1.4)内的零件个数为η，求η的分布列和数学期望；题号21345687910111213141516(3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的2倍，且甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率．参考数据：若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973．题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516η01234P

题号2134568791011121314151614．(2026·湖北十一校模拟)某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球．模型一为若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中．题号21345687910111213141516(1)分别计算在两种模型下，取两次球，第二次取到的球是红球的概率；(2)在模型二的前提下：①求在第n(n≥2)次取球时，取到的球恰好是第二个红球的概率(结果用n表示)．②现规定当两个红球都被取出来时停止取球，且最多取球10次，第10次取球结束后无论盒中是否还有红球均停止取球，记取球的次数为X，求X的数学期望．题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516