41　第六章　第41课时　等差数列

第41课时等差数列第六章数列[考试要求]1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的情境问题中识别等差数列模型，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．以题引理·激活思维1．(人教A版选择性必修第二册P15例2改编)等差数列－5，－9，－13，…的第100项是(

)A．－393 B．－397 C．－401 D．－405√C

[由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5－4(n－1)＝－4n－1，所以a100＝－4×100－1＝－401．]2．(北师大版选择性必修第二册P17练习T3(2)改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝(

)A．31 B．32C．33 D．34

√3．(苏教版选择性必修第一册P151练习T6改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S5＝7，S10＝21，则S15＝(

)A．35 B．42C．49 D．63√

4．(多选)(湘教版选择性必修第一册P21习题1.2T6改编)下列说法中正确的是(

)A．若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列B．数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+，都有2an+1＝an＋an+2C．在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋qD．若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值√√5．(人教B版选择性必修第三册P28习题5－2AT3改编)在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则这个等差数列的公差是_____________．

3.51．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列．数学语言表达式：an+1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(1)当d>0时，{an}是递增数列；(2)当d<0时，{an}是递减数列；(3)当d＝0时，{an}是常数列．同一个常数2．等差中项若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有____________．3．等差数列的通项公式设等差数列{an}的公差为d，则其通项公式为：an＝____________，其推导方法是累加法．当d≠0时，an＝dn＋(a1－d)是关于n的一次函数．通项公式可推广为：an＝am＋(n－m)d．2A＝a＋ba1＋(n－1)d

考点一

等差数列基本量的运算[典例1]

(1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(

)A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2(2)为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从10月1日到10月的最后一天，小明运动的总时长为_____________分钟．精研考点·提升素养√√√1085

名师点评：解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过列方程(组)达到“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．[巩固迁移]1．(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(

)A．－20 B．－15C．－10 D．－5√B

[根据S3＝3a2＝6得a2＝2，根据S5＝5a3＝－5得a3＝－1，所以{an}的公差d＝a3－a2＝－3，所以a6＝a3＋3d＝－10，所以S6＝S5＋a6＝－5－10＝－15．]

2n2【教用·备选题】1．(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(

)A．25

B．22

C．20

D．15√

2．若冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.8尺，最后三个节气日影长之和为4.5尺，则春分时节的日影长为(

)A．5.1尺 B．4.5尺C．4.1尺 D．3.5尺√

名师点评：判定数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an+1－an是同一个常数．(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an+1＋an-1．(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)．(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

√A

[因为2a＝3，2b＝6，2c＝12，所以a＝log23，b＝log26，c＝log212，则2b＝a＋c，故a，b，c成等差数列．故选A．]

考点三

等差数列性质的应用考向1

等差数列项的性质[典例3]

(2025·山东威海三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a6＝15－a10，则S11＝(

)A．40 B．45C．50 D．55√

√

[巩固迁移]4．已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为(

)A．1666 B．1654C．1472 D．1460√

√

2026考点四

等差数列的前n项和及其最值[典例5]在等差数列{an}中，已知a1＝20，其前n项和为Sn，且S10＝S15．求当n取何值时，Sn取得最大值？并求出它的最大值．

√√√

8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0，则S1，S2，…，S12中，_____________最大．S6

[∵S12>0，S13<0，a3＝12>0，∴a1>0，d<0，∴a1＋a12>0，a1＋a13<0．由等差数列的性质可得，a6＋a7>0，2a7<0，即a6>0，a7<0，|a6|>|a7|，故当n＝6时，S6最大．]S6一、单项选择题1．(2025·江西萍乡三模)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的公差为d，S4＝7S1，则a8＝(

)A．7d B．8dC．9d D．10dC

[由S4＝7S1⇒4a1＋6d＝7a1⇒a1＝2d，所以an＝d(n＋1)，故a8＝9d．故选C．]题号1352468791011121314课后作业(四十一)等差数列√题号21345687910111213142．(2026·广东深圳开学考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＝a5＋a7，S4＝34，则a5＝(

)A．8 B．9C．10 D．11√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

4．(2024·九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝(

)A．120

B．140

C．160

D．180题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314√

6．(2026·湖南长沙模拟)某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为(

)A．18 B．19C．20 D．21题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√

题号21345687910111213148．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(

)A．3699块

B．3474块C．3402块

D．3339块题号2134568791011121314√

题号2134568791011121314二、多项选择题9．(2025·广东茂名二模)等差数列{an}中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2．记数列{an}的前n项和为Sn，下列选项正确的是(

)A．数列{an}的公差为2B．Sn取最小值时，n＝6C．S4＝S7D．数列{|an|}的前10项和为50题号2134568791011121314√√

题号2134568791011121314

题号2134568791011121314√√√

题号2134568791011121314

题号21345687910111213142

题号2134568791011121314

10

题号21345