61　第七章　第56课时　向量法求空间角(一)

第七章立体几何与空间向量第56课时向量法求空间角(一)[考试要求]

能用向量法解决与异面直线所成的角、直线与平面所成的角有关的问题，体会向量法在研究空间角问题中的作用．理法先行·题练固本

√

√

考点深研·题型突破

√

√(1)A

(2)D

[(1)设圆台经过点A'的母线为A'B，∵O'A'⊥OA，∴OA⊥OB，以O为原点，OA，OB，OO'所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

通性通法：向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点1．两种方法(1)基向量法：利用线性运算．(2)坐标法：利用坐标运算．2．一个注意点注意异面直线所成的角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．

√

√

√A

[作AO⊥平面BCD，垂足为O，因为四面体ABCD为正四面体，所以O为△BCD的中心，连接OC，则OC⊥BD，则以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

[解]

(1)证明：连接AC1，交A1C于点P，连接DP，因为点D，P分别是AB，AC1的中点，所以DP∥BC1，因为DP⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．

通性通法：线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin

θ＝|cos〈a，n〉|．【教用·通性通法】空间向量求直线与平面所成角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角．[多维变迁](2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1．(1)证明：A1C＝AC；(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．[解]

(1)证明：过A1作A1D⊥CC1，垂足为D，∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1．由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1，又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，∴A1C＝AC．

【教用·备选题】如图，四棱锥P-ACDB中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝4，C，D是平面ABC内以AB为直径的半圆弧的三等分点．(1)证明：平面PAC⊥平面PBC；(2)求PD与平面PBC所成角的正弦值．[解]

(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为C是平面ABC内以AB为直径的半圆弧的三等分点，所以AC⊥BC，因为PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．(2)以A为坐标原点，垂直于AB的直线为x轴，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

√

√

√

4．(链接考点二)(人教A版选择性必修第一册P43习题1.4T10改编)设M，N分别是正方体ABCD-A'B'C'D'的棱BB'和B'C'的中点，则直线MN与平面A'BCD'所成角的正弦值为______________．

题/p>

√课时作业(五十六)向量法求空间角(一)题/p>

题/p>

√题/p>

题

[以过点A作平面ACC1A1的垂线为x轴，以AC，AA1所在直线分别为y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，题/p>

题/p>

√题/p>

√题/p>

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√题/p>

√√题/p>

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题号135246879106．(人教A版必修第二册P152例4改编)如图，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱CD上的两点，且AB＝2，EF＝1，则下列说法中不正确的有(

)A．异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45°B．异面直线B1D1与EF所成的角的大小为30°C．直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为45°D．直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为60°√√√题/p>

题/p>

题/p>

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题号135246879108．(人教B版选择性必修第一册P48练习B

T3改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线AD1与平面BDE所成角的正弦值为______________．

题/p>

题/p>

题/p>

题解]

(1)证明：设AB1∩A1B＝O，因为平面AA1B1B⊥平面ABCD，且平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，且AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面AA1B1B，又A1B⊂平面AA1B1B，则AD⊥A1B，因为四边形AA1B1B是菱形，则AB1⊥A1B，因为AB1∩AD＝A，AB1，AD⊂平面AB1D，故A1B⊥平面AB1D，因为B1D⊂平面AB1D，所以A1B⊥B1D．题2)设CD1∩C1D＝H，连接OH，分别以OB，OB1，OH所在直线为x，y，z轴，