64　第七章　规范答题四　空间向量与立体几何

第七章立体几何与空间向量规范答题四空间向量与立体几何[典例]

(15分)(2025·全国二卷T17)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD．将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'，使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°．(1)证明：A'B∥平面CD'F；(2)求平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的正弦值．明条件，顺思路①读图形、题干：AB∥CD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'→联想到：翻折前后折线同侧平行关系不变→A'E∥FD'，BE∥CF．②读所证：A'B∥平面CD'F→想方法：(ⅰ)线面平行的判定定理；(ⅱ)面面平行的性质定理→③读题干：∠DAB＝90°，EF∥AD→联想到：翻折前后垂直关系不变，EF⊥A'E，EF⊥EB．④读题干：面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°→想问题：明条件，顺思路明条件，顺思路规范答，抢得分(填一填)

[解]

(1)法一：第1步：利用线线平行得两组线面平行∵EB∥FC，EB⊄平面CD'F，FC⊂平面CD'F，∴EB∥平面CD'F，…………………(2分)∵A'E∥D'F，A'E⊄平面CD'F，D'F⊂平面CD'F，∴A'E∥平面CD'F．………………………………(4分)第2步：利用两组线面平行得面面平行∵EB⊂平面BA'E，A'E⊂平面BA'E，EB∩A'E＝E，∴平面BA'E∥平面CD'F．…………………………(5分)规范答，抢得分(填一填)第3步：利用面面平行得线面平行∵A'B⊂平面BA'E，∴A'B∥平面CD'F．………………………………(6分)法二：第1步：利用面面平行的判定定理得面面平行∵EB∥FC，A'E∥D'F，………………………………(1分)EB⊂平面BA'E，A'E⊂平面BA'E，FC⊂平面CD'F，D'F⊂平面CD'F，……………………(3分)EB∩A'E＝E，FC∩D'F＝F，∴平面BA'E∥平面CD'F．……………(5分)第2步：利用面面平行得线面平行∵A'B⊂平面BA'E，∴A'B∥平面CD'F．………………(6分)规范答，抢得分(填一填)规范答，抢得分(填一填)规范答，抢得分(填一填)

规范答，抢得分(填一填)规范答，抢得分(填一填)规范答，抢得分(填一填)点关键，防陷阱①解答折叠问题的关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化．②高考立体几何解答题第(1)问几何关系的证明，一般用几何法．③面面平行的判定定理中需强调两条直线相交．点关键，防陷阱④易错：使用向量法求空间角，建系前应证明相交于一点的三条直线两两垂直．对于本题中这种不规则几何体，则需要利用线面、面面垂直关系，找到“墙角”建系．⑤正确掌握点的坐标的求法是使用向量法的前提与关键(本题可借助线段的长度关系，通过向量运算求点的坐标)．⑥垂直于平面的直线的方向向量，称为平面的法向量；一个平面的法向量有无数个，它们互相平行．⑦易错：求出两平面夹角的余弦值，需转化为二面角的正弦值．题号135246879101112√

阶段检测(十二)第55～58课时题号135246879101112

√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112C

[根据题意可知，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，题号135246879101112以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112A

[由题意，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，E，F分别为AB1，BC1的中点，点G为上底面A1B1C1D1的中心，则可以建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112对于C，由空间直角坐标系易知(1，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由(1，0，0)，(0，1，0)∈Ω能推出(0，0，1)∉Ω，故C正确；对于D，由空间直角坐标系易知(1，0，0)，(0，0，1)，(0，0，－1)三个向量共面，则由(0，0，－1)，(1，0，0)∈Ω无法推出(0，0，1)∉Ω，故D错误．故选C．]题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√BD

[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，题号135246879101112以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

题号135246879101112

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题号135246879101112

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题号135246879101112四、解答题11．(人教A版选择性必修第一册P38练习T4)如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°．求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值．题号135246879101112[解]

在平面ABC内过点B作z轴垂直于BC，在平面BCD内过点B作x轴垂直于BC，∵平面ABC⊥平面DBC，∴∠xBz＝90°，如图，建立空间直角坐标系．题号135246879101112

题号135246879101112

题/p>