55　第七章　第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

第七章立体几何与空间向量第七章立体几何与空间向量第50课时基本立体图形、简单几何体的表面积与体积[考试要求]

1．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．3．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．理法先行·题练固本知识点1

空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形名称棱柱棱锥棱台底面互相____且____多边形互相____且____侧棱__________相交于____但不一定相等延长线交于____侧面形状____________________平行全等平行相似平行且相等一点一点平行四边形三角形梯形(2)特殊的棱柱①侧棱垂直于底面的棱柱叫做______．②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做______．③底面是正多边形的直棱柱叫做______．④底面是平行四边形的四棱柱叫做__________．直棱柱斜棱柱正棱柱平行六面体(3)正棱锥底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．(4)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，____于底面相交于____延长线交于____

轴截面__________________________侧面展开图____________

垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆面矩形扇形扇环知识点2

立体图形的直观图(1)画法：常用__________．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°)，z'轴与x'轴和y'轴所在平面____．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍________________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度____，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的____．斜二测画法垂直分别平行于坐标轴不变

一半知识点3

圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝____S圆锥侧＝___S圆台侧＝____________2πrlπrlπ(r1＋r2)l知识点4

柱、锥、台、球的表面积和体积名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝___锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝____台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下球S＝____V＝_____Sh

4πR2

1．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图，长方体ABCD-A'B'C'D'

被截去一部分，其中EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是(

)A．棱台

B．四棱柱C．五棱柱

D．六棱柱√C

[由于平面ABFEA'∥平面DCGHD'，且AD，BC，FG，EH，A'D'相互平行且相等，所以剩下的几何体是五棱柱．故选C．]2．(苏教版必修第二册P161练习T4改编)下列说法正确的是(

)A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行√D

[由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形．故选D．]

√B

[设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．]4．(人教A版必修第二册P119练习T2)当一个球的半径为__________时，其体积和表面积的数值相等．

3

√

考点深研·题型突破考点一

基本立体图形考向1

结构特征[典例1]

(多选)下列说法中正确的是(

)A．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥C．经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大D．棱台的各侧棱延长后必交于一点√√AD

[由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A正确；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故B错误；对于C，如图，在圆锥SO中，经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是等腰三角形，设截面为△SAC，设AB为底面圆O的一条直径，若∠ASB为钝角，则当SA⊥SC时，截面三角形的面积最大，C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确．]通性通法：辨别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义进行判定．(2)反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可．

√D

[根据斜二测画法还原图形，可得如图：则AO＝A'O'，CO＝C'O'，BO＝2B'O'，BO⊥AC，易知△ABC为等腰直角三角形，故A、C错误；由题意，过B'作B'D'⊥A'C'，垂足为D'，如图，

通性通法：在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．

√√

√D

[第1步

确定展开方式：找路径两端点所在平面的公共棱、端点所在棱或所在的母线，确定展开方式．将平面ABC、平面AA1C1C沿AC翻折至同一平面，如图所示．

思维建模：最短路径模型第1步

确定展开方式：找路径两端点所在平面的公共棱、端点所在棱或所在的母线，确定展开方式．第2步

确定最小值：分别计算不同展开方式中两端点的连线长度，其最小值为最短路径的长．

√

【教用·通性通法】在解决空间曲线或折线(段)最短问题时一般要考虑几何体的侧面展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．

√

√

通性通法：空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔接部分的处理．

√

考向2

体积[典例5]

(1)(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的体积与球O的体积的比值是________，圆锥的表面积与球O的表面积的比值是_______．

1

√

通性通法：求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积．微点突破9

等体积法与割补法求体积[典例6]

如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝1，AB＝AC＝2，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P-ABC的体积．[解]

法一(直接法)：如图1，取BC的中点D，连接AD，PD，过点P作PO⊥AD于点O，由题意可得BC⊥AD，BC⊥PD．因为AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，所以BC⊥平面PAD．又BC⊂平面ABC，所以平面PAD⊥平面ABC．因为平面PAD∩平面ABC＝AD，PO⊥AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABC，即PO为三棱锥P-ABC的高．

法二(等积转换法)：在△PAB中，由余弦定理，得PB2＝PA2＋AB2－2PA·AB·cos∠PAB＝12＋22－2×1×2cos

60°＝3．所以AB2＝PA2＋PB2，所以PA⊥PB．同理可得PA⊥PC，故PA⊥平面PBC．因为AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，所以△ABC为正三角形，BC＝2．

通性通法：规则几何体一般直接利用公式求体积；不规则几何体的体积常用“割补法”分割成几个规则几何体或补成规则几何体求体积；求三棱锥的体积通常还需选择合适的底面，利用“等体积法”求体积．

√

2．(链接考点一考向2)(多选)(2025·安康期末)下列命题中为真命题的是(

)A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．棱台的侧面一定不会是平行四边形C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱D．球体是旋转体的一种类型√√√ABD

[选项A：圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确；选项B：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故B正确．选项C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体不一定是棱柱，如图所示，故C错误；选项D：球体是旋转体的一种类型，D正确．故选ABD．]

√

4．(链接考点二考向1)(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是(

)A．圆柱的侧面积为2πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2√√

题号135246879101112√一、单项选择题1．(2025·惠州校级期中)下列说法正确的是(

)A．过球面上两点与球心有且只有一个平面B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台课时作业(五十)基本立体图形、简单几何体的表面积与体积题号135246879101112C

[对于A：当球面上两点与球心在一条直线上时，这样的平面有无数多个，故A错误；对于B：若平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台，如图所示，故B错误；对于C：由正棱锥的定义与性质知，正棱锥的所有侧棱均相等，底面是正多边形，所以侧面是全等的等腰三角形，故C正确；对于D：棱台要求侧棱的延长线交于一点，故D错误．故选C．]√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√BD

[如图所示，在直观图△A'B'C'中，过C'作C'D'⊥A'B'于D'，题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号13524