专题1.4 充分、必要的条件（知识解读）(含解析)（人教A版2019必修一）-【考点精练】2022-2023学年高一数学同步考点解读+专题训练

专题1.4充分、必要的条件（知识解读）【学习目标】（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．【知识点梳理】考点1充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件【注意】（1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后；（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”．考点2充分必要条件与集合的关系若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；【解题思路】【典例分析】【考点1充分条件、必要条件的判断】【典例1-1】已知p：x＞1，q：x2+x﹣2＞0，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例1-2】已知集合A＝{x|x2﹣8x+7＜0}，B＝{x|1＜x＜4}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-1】已知a∈R，则“a＞0”是“a2＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】设x∈R，则“x＜1”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-3】已知命题p：x2＜2x+3和命题q：|x﹣1|≤2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言．此名言中的“积跬步”是“至千里”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-1】（2021·江苏南通市）1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（）条件．A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要【变式2-2】（2021·兰州市第二十七中学）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-3】（2021·浙江）2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热､干咳､浑身乏力”的（）已知该患者不是无症状感染者A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点2利用充分条件、必要条件求参数范围】【典例3】若不等式|x﹣2|＜a成立的一个充分条件为0＜x＜1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（2，+∞） D．[2，+∞）【变式3-1】已知集合A＝{x|m﹣3＜x＜m+2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0），若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则m的取值范围是（）A．（1，2） B．（﹣1，0） C．[1，2] D．[﹣1，0]【变式3-2】（2021·福建福州市·高一期末）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（）A． B． C． D．【考点3充分行性和必要性的证明】【典例4】已知集合A＝{x|x2+x﹣2≤0}，B＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．（1）若A∪B＝B，求m的取值范围；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围．【变式4-1】设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2﹣a≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．【变式4-2】已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，集合B＝{x|m﹣3＜x＜3m}．（1）当m＝2时，求（∁RA）∩B；（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求m的取值范围．【变式4-3】已知非空集合A＝{x|2a﹣3＜x＜a}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．（1）当a＝0时，求A∪B，A∩（∁RB）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．专题1.4充分、必要的条件（知识解读）【学习目标】（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．【知识点梳理】考点1充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件【注意】（1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后；（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”．考点2充分必要条件与集合的关系若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；【解题思路】【典例分析】【考点1充分条件、必要条件的判断】【典例1-1】已知p：x＞1，q：x2+x﹣2＞0，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：∵q：x2+x﹣2＞0⇔x＜﹣2或x＞1，∴p成立可得q成立，但q成立p不成立，∴故p是q的充分不必要条件，∴选项A正确，其他选项错误；故选：A．【典例1-2】已知集合A＝{x|x2﹣8x+7＜0}，B＝{x|1＜x＜4}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解答】解：由题意可知，A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|1＜x＜4}，所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．故选：B．【变式1-1】已知a∈R，则“a＞0”是“a2＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：①当a＝时，满足a＞0，但a2＜1，∴充分性不成立，②当a＝﹣2时，满足a2＞1，但a＜0，∴必要性不成立，∴a＞0是a2＞1的既不充分也不必要条件，故选：D．【变式1-2】设x∈R，则“x＜1”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解答】解：∵⇔﹣1＝＞0⇔x（x﹣1）＜0，∴0＜x＜1，∵（0，1）⫋（﹣∞，1），∴x＜1是的必要不充分条件，故选：B．【变式1-3】已知命题p：x2＜2x+3和命题q：|x﹣1|≤2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：∵命题p：x∈（﹣1，3），命题q：x∈[﹣1，3]，∴p是q的充分不必要条件，故选：A．【典例2】荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言．此名言中的“积跬步”是“至千里”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解答】解：由已知设“积跬步”为命题P，“至千里”为命题q，“故不积跬步，无以至千里”，即“若¬P，则¬q”，其逆否命题为“若q则P”，反之不成立，所以命题P是命题q的必要不充分条件，故选：C．【变式2-1】（2021·江苏南通市）1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（）条件．A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要【答案】A【解答】记条件p:“没有共产党”，条件q：“没有新中国”，由歌词知，p可推出q，故“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件.故选：A.【变式2-2】（2021·兰州市第二十七中学）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，即“攻破楼兰”“返回家乡”；若“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，即“返回家乡”“攻破楼兰”；“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：A.【变式2-3】（2021·浙江）2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热､干咳､浑身乏力”的（）已知该患者不是无症状感染者A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征，充分的同，但有发热､干咳､浑身乏力等外部表征的不一定是新冠肺炎患者，不必要，即为充分不必要条件．故选：A．【考点2利用充分条件、必要条件求参数范围】【典例3】若不等式|x﹣2|＜a成立的一个充分条件为0＜x＜1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（2，+∞） D．[2，+∞）【答案】D【解答】解：|x﹣2|＜a成立时，a＞0，∵|x﹣2|＜a，解得2﹣a＜x＜2+a，∵不等式|x﹣2|＜a成立的一个充分条件为0＜x＜1，∴（0，1）⊆（2﹣a，2+a），∴，解得a≥2，∴实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：D．【变式3-1】已知集合A＝{x|m﹣3＜x＜m+2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0），若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则m的取值范围是（）A．（1，2） B．（﹣1，0） C．[1，2] D．[﹣1，0]【答案】C【解答】解：由题意可得集合A＝{x|m﹣3＜x＜m+2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0）＝（﹣1，3），∵x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B⫋A．∴m﹣3＜2+m，且，解得：1≤m≤2．∴实数m的取值范围是[1，2]．故选：C．【变式3-2】（2021·福建福州市·高一期末）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由关于的不等式的解集为，可得，解得，所以的取值范围是.根据必要不充分条件的概念可知B项正确.故选：B【考点3充分行和必要性的证明】【典例4】已知集合A＝{x|x2+x﹣2≤0}，B＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．（1）若A∪B＝B，求m的取值范围；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围．【解答】解：（1）x2+x﹣2≤0，解得：﹣2≤x≤1，故A＝{x|﹣2≤x≤1}，因为A∪B＝B，所以A⊆B，故，解得：m≥3，所以m的取值范围是[3，+∞），（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B＝{x|1﹣m≤x≤1+m}是A＝{x|﹣2≤x≤1}的真子集，当B＝∅时，1﹣m＞1+m，解得：m＜0，当B≠∅时，需要满足：或，解得：m＝0综上：m的取值范围是（﹣∞，0]．【变式4-1】设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2﹣a≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；（2）若“x∈A”是“x∈