九年级数学动态几何例析

九年级数学动态几何例析

图形的运动变化问题。

【典型例题】

例1：如图，正方形ABCD内一点P,ZPAD=ZPDA=15°,连结PB、PC,请问：APBC

是等边三角形吗？为什么？

研析：本题关键是说明/PCD=NPBA=3(T,利用条件

可以设想将AAPD绕点D逆时针方向旋转90°,而使A与C

重:合，此时问题得到解决.

解：将AAPD绕点D逆时针旋转90°,得ADP'C,再作八DP'C关于DC的轴对称图形

ADQC.得ACDQ与AADP经过对折后能够重合.

这里,PD=QD,ZPDQ=90°15°15。=60°,

则△】〉凶为等边三角形，故NPQD=60°.

又NDQC=NAPD=180°15°15°=150°,

则NPQC=360。60°150°=150°=ZDQC,,

XPQ-QD-CQ,

所以ZPCD.ZDCP.15*.

从而4CD・30°,ZPBA-30°,故ZPCB・ZPBC・60°,

例2(2008湖南｝.APBC为等边三角形.在平面直角坐标系中,一动点PG，y)从M(L

0)出发，沿由A(1,1),B(I,I),C(1,1),D(I,1)四点组成的正方形边线(如图

①)按一定方向运动。图②是P点运动的路程s(个单位)与运动时间/(秒)之间的函数

图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部

(1)S与f之间的函数关系式是：:

(2)与图③相对应的P点的运动路径是：；P点出

发秒首次到达点B；

(3)写出当3WsW8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数

解.(I)S=(t>0)(2)M->D->A->N,

10

(3)当3Ws<5,即P从A到B时，y=4s；

当5WsV7,即P从B到C时,y=l；

当7WsW8,即P从C到M时,y=s8.

补全图象略.(1

例3.如图，AB是OO的直径，00过AE的中点D,DCJ_BC,垂足为C。

(1)由这些条件，你能推出哪些正确结论？(要求：不再标注其他字母，找结论的过

程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可)

(2)若NABC为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？

并画出图形。(要求：写出6个结论即可，其它要求同(1))

分析：(1)AB=BE

DC=CE

ZA=ZE

DC为。O切线

（2）若NABC为直角

则NA=NE=45°,DC=BC

DC//AB,DC=CE,BE为。O的切线

DC=-AB=-BE

22

例4.在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB,顶点C在半

圆上，现要建造一个内接于AABC的矩形水池DEFN,其中DE在AB上，如图的设计方案

是AC=8,BC=6o

(I)求4ABC中AB边上的高h：

(2)设DN=x,当xl仅何值时，水池DEFN的面积最大？

c

ADE

分析：(1)TAB为半圆直径

DME

.*.ZACB=90q

VAC=8,BC=6

.*.AB=10

.'.△ABC'I3AB边上高h=

(2)设DN=x,CM=h=

则MP-x

NFCP

NF_4.8-x

10-4.8

25

NF=1U——x

12

S=ND•NF

=A(10--A)

=--x2+\0x

=-^(X2-yX)

当5时，水池面积最大。

例5.正方形ABCD的边长为6cm,M、N分别为AD、BC中点，将C折至MN上，落

在P处，折痕BQ交MN于E,则BE=_____cm.

则BM=3,0M=3

又・・・AC与CB为入射光线与反射光线

ZAOC=ZBCM

.'.△AOC^ABMC

AO=PC

1二OC

.・.3=3-OC

3

OC=-

4

AC=-

4

=15--

同理：BC4

AC+8C=型=5

・•・4

例7在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,BE

_LMN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△ADC0也£15：②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

<3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关

系？请写出这个等量关系,并加以证明.

图1

分析：(I)AD1MN

BE±MN

，NADC=NCEB=90°

，NDAC+NDCA=90°

又,.,/ACB=90°

，NDCA+NECB=90°

.*.ZDAC=ZECB

VAC=BC

.,.△ADC^ACEB

.,.DC=BE

AD-CE

:.DE=DC+CE

=BE+AD

(2)与(1)同理

△ADC^ACEB

.,.CD=BE

AD=CE

VDE=CE-CD

=AD-BE

(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时

与(I)(2)同理可知

CE=AD,BE=CD

VDE=CD-CE

=BE-AD

例8.把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图

①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕

O点顺时针旋转（旋转角a满足条件：0°VaV90"）,四边形CHGK是旋转过程中两三

角板的重叠部分（如图②）。

(I)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变

化？证明你发现的结论：

(2)连接HK,在上述旋转过程中，设BH=x,AGICH的面积为)'，求'与x之间

的函数关系式，并写出自变量”的取值范围；

(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于aABC面积的

16?若存在，求出此时X的值：若不存在，说明理由。

分析：(1)在上述旋转过程中，BH=CK,四边形CHGK的面积不变.

证明：连结CG

•••△ABC为等腰直角三角形，O(G)为其斜边中点

.•.CG=BG,CG±AB

.*.ZACG=ZB=45O

VZBGH与NCGK均为旋转角，

.*.ZBGH=ZCGK

/.△BGH^ACGK

=

***BH=CK.SIBGHSACGK

s四功彬CHGK=SACHG+SiCGK

=2x2x4X4=4

即：S四边形CHGK的面积为4,是一个定值，在旋转过程中没有变化

(2)VAC=BC=4,BH=X,

F

，CH=4T,CK=x

由S'.GHK=S内边形CHGK—S,'.CHK，

4-1X(4-X)

得),=2

y=-x2-2x+4

/.2

V0°<a<90°,

.•・0VXV4

(3)存在。

—x2—2x—4=—X8

根据题意，得216

解这个方程，得再=Lx2=3

5

即：当X=1或X=3时，Z^GHK的面积均等于AABC的面积的16。

例9.经过OO内或OO外一点P作两条直线交。O于A」_和C、D四点（在图⑤、⑥中，

有重合的点），得到了如图①〜⑥所表示的六种不同情况。

（I）在六种不同情况下，PA、PB、PC、PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以

用同一个式子表示出来，首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般

情况，给出它的证明：

（2）已知。0的半径为一定值，若点P是不在。0上的一个定点，请你过点P任作

一直线交。O于不重合的两点C、D,PC-PD的值是否为定值？为什么？由此你发现了什

么结论？请你把这一结论用文字叙述出来。

分析:(1)PA•PB=PC«PD

证明：连接AC、BD

RijAACP^ADBP

APCP

：.~DP~~BP

AAP•BP=CP•DP

（2）PC•PD的值为定值

（当P在圆外时）

借助图⑤，过P作（DO切线PA

则PA2=PC・PD

（连接PO交。。于E.并延长交于F时）

又有PA2=PE・PF=（OP+r）（OP-r）=OP2-r2

.PC•PD=PE•PF=OP2-r2

♦*

（当p在圆内时）借助图②，

连接OP并延长分别交。。于E,F时

PC・PD=PE・PF=r-OP1

例10.如图所不，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动

（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO,过点Q作0O的切线交

BA的延长线于点C。

（1）当NQPA=60°时，请你对AQCP的形状做出猜想，并给予证明。

（2）当QPJ_AB时，那么AQCP的形状是_______三角形。

（3）由（I）、（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时,

AQCP一定是___三角形。

分析：（1）4QCP是等边三角形

证明：连接OQ,则TCQ为OO切线

ACQ1OQ,/.ZCQO=90°

VPQ=PO,ZQPC=60°

r.ZPOQ=ZPQO=30°

/.ZC=900-30°=60*

:.ZCQP=ZC=ZQPC=60°

/.△QPC是等边三角形

（2）等腰直角三角形

（3）等腰三角形

例11.两个全等的直角三角形八8c和。石厂重叠在一起，其中N4=60°,AO1.固定△

A8C不动，将尸进行如下操作：

(1)如图11(1),AOE尸沿线段A8向右平移(即。点在线段A3内移动)，连结。C、CF、

FB,四边形CO3F的形状在不断的变化，但它的面枳不变化，请求出其面枳.

(2)如图11(2),当。点移到A3的中点时!请你猜想四边形占)3,的形状，并说明理由.

(3)如图11(3),ADEF的。点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转4。？凡

使。尸落在A3边上，此时尸点恰好与B点重合，连结AE,请你求出si〃a的值.

.解：(1)过C点作CG_L/18于G,

(2)菱形

*：CD//BF,/。〃BO,・•.四边形CO8/是平行四边形,：DF//AC,/

ACD=90c,J.CBVDF二・四边形COB尸是菱形(判断四边形CQ8产是平行四边形，并证

明正确，(3)解法一：过。点作O”_LAE于从则SAg尸、AD•怎='xlxV5=4l又

SIAC八口后/)〃=且=£(或叵)在心△DHE'中，

S△ADEF—,AE•DH=——

.DH百/萧亚、

sma==―或)

DE2百14

解法二：•.•△人0Hs△八8七

.DH_AD

''~BE~~AE

.・.而斫生=卓（或叵）

DE27714

【模拟试题】

一、填空题：

1.方程*-2f=I的根是0

2.已知a,b是方程2/-64一1=°的两根，则代数式（。与"”的值是。

3.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的负半轴相交。请你写出一个满足条件的二

次函数的解析式：。

4.抛物线）1与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为0

5已知，AR是◎。的弦.P是AR上的一点，AR=IOem,PA=4cm,OP=5cm,则GO

的半径=o

6.如图，直线TB与AABC的外接圆相切于点B,AD〃BC,/BAD=70°,NACB=40°,

则NTBC=o

D

7.如图，AB为半圆O的直径，C、D是A3上的三等分点，若。O的半径为I,E为线

段AB上任意一点，则图中阴影部分的面积为

8.已知口、。分别是。Ch、的半径，两圆有且只有一条公切线QQ2=3,n=5,

则r2=o

9.一圆锥的母线长为6cm,它的侧面展开图的圆心角为120°,则这个圆锥的底面半径r

为cm«

10.某校九年级三班在体育毕业考试中，全班所有学生得分的情况如下表所示:

分数段18分以下18—20分21—23分24—26分27—29分30分

人数2312201810

那么该班共有人，随机地抽取1人，恰好是获得30分的学生的概率是.

二、选择题：

11.已知关于x的一元二次方程/+2"+上=（）有实数根，则k的取值范围是（）

A.kWlB.k>lC.k<lD.k>l

2

22x+4_2a

12.使关于x的分式方程“一工73一二产生增根的a的值是（）

A.2B.-2C.±2D.与a无关

13.为适应国民经济持续协调的发展，自2004年4月18日起，全国铁路第五次提速，提

速后火乍由天津到上海的时间缩短了小时，若天津到上海的路程为1326千米，提速前火车

的平均速度为x千米/时，提速后火车的平均速度为y千米/时，则x、y应满足的关系式是

（）

13261326

A.X—y=7.42B.y-x=7.42

照.处=742但-但=742

c.x>D.

14.把抛物线）=炉+法+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象

的解析式是）'=/-+5,则有（）

A.b=3,c=7B.b=-9,c=-!5

C.b=3,c=3D.b=-9,c=2l

15.二次函数y=办2+法+c的图象如图所示，则下列关于a、b、C间的关系判断正确

的为（）

A.ab<0B.bc<0

C.a+b+c>0D.a-b+c<0

16.已知点（一I,yi）,（—3,yz）,（一,y3）在函数y=3%+6"+12的图象上，则y1，y2,

中的大小关系是（）

A.必>)‘2>%B.%>H>乃c.)'2>%>yD,必>y>%

17.下列语句中正确的有（）

A.相等的圆心角所对的弧相等：

B.平分弦的直径垂直于弦：

C.长度相等的两条弧是等弧；

D.经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。

18.已知。。的半径为2cm,弦AB长为26cm,则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的

距离为（）

D.6cm

A.1cmB.2cmC.收cm

19.如图,OO中,,则NBCO等于（）

A.20°D.50°

20.如图,PT是00的切线,T为切点,PBA是割线，交。OI-A.B两点,与直径CT交

于点D,已知CD=2,AD=3,BD=4,那么PB等于（）

T。

B\D\z

A.6B.6而C.20D.7

三、解答题:

21.解方程

(I)().8/+x=0.3

x+\--—=2

(2)x+1

22.如图，AB是OO的直径,CD切。O于E,ACJ_CD于C,BD_LCD于D,交。O于

F,连结AE,EF。

(I)试说明：AE是NBAC的平分线:

(2)若NABD=60°。问：AB与EF是否平行？请说明理由。

23.如图，已知。O的半径为2,弦AB的长为26,点c与点D分别是劣弧AA与优弧

上的任一点(点C、D均不与A、B重合)。

(1)求/ACB：

(2)求4ABD的最大面积。

.两个全等的直角三角形48c和。口•、重叠在一起，其中N4=60°,AC=1.固定△A8C不

动，将△。片厂进行如下操作：

(1)如图11(1),△OEF沿线段八8向右平移(即。点在线段48内移动)，连结。C、CF、

FB,四边形CD8尸的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.

⑵如图11(2),当。点移到A8的中点时，请你猜想四边形CDB产的形状，并说明理由.

(3)如图11(3),△£)£：£的。点固定在A8的中点，然后绕。点按顺时针方向旋转

使。”落在A8边上，此时"点恰好与8点重合，连结AE,请你求出的值.