专题03 函数及其性质 2022-2026年高考数学真题分类汇编（解析版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题03函数及其性质考点分类五年考情（2022-2026）命题规律考点01函数的概念及其表示（求值、定义域、值域、图像与解析式）2026上海卷、2025北京卷2024年新高考卷Ⅰ、2024上海卷2023北京卷、2023上海卷2022北京卷、2022浙江卷以基本初等函数为载体，考查函数的定义域与值域等内容考点02幂指对函数的运算与应用2026北京卷、2026天津卷、2026上海卷2025年全国一卷、2025北京卷、2025上海卷2024年全国甲卷（理）、2024北京卷、2024天津卷、2024上海卷、2023年新高考卷Ⅰ、2023年全国甲卷、2023北京卷、2023天津卷、2023上海卷2022年全国甲卷、2022北京卷、2022天津卷、2022上海卷、2022浙江卷考查指数和对数函数的单调性（比较大小等）、根据分段函数的单调性求参数、指对数的运算性质等考点03函数的性质及其应用（单调性、奇偶性、周期性、对称性）2026新课标全国Ⅰ卷、2026新课标全国Ⅱ卷2026北京卷、2026天津卷、2026上海卷2025年全国一卷、2025北京卷2025天津卷、2025上海卷2024年新高考卷Ⅰ、2024年全国甲卷2024天津卷、2024上海卷、2023年新高考卷Ⅰ、2023年新高考卷Ⅱ、2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023北京卷、2023天津卷、2023上海卷2022年新高考卷Ⅰ、2022年新高考卷Ⅱ、2022年全国甲卷、2022年全国乙卷2022北京卷、2022天津卷、2022上海卷、2022浙江卷以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性考点04函数的零点与方程的根2026新课标全国Ⅱ卷2025天津卷、2025上海卷、2024年新高考卷Ⅱ、2024年全国甲卷（理）、2024天津卷、2024上海卷2023年新高考卷Ⅰ、2023天津卷、2023上海卷2022北京卷、2022天津卷、2022上海卷一般会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义和数形结合思路考点01函数的概念及其表示（求值、定义域、值域、图像与解析式）1．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于x轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在x轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先作出两函数在区间上的图象，根据平移对称法，分别算出和时，两函数的函数值，求得对应线段的中点的纵坐标，从而得出需要将两函数图象上下平移的长度，根据平移后对应点的坐标结合各选项逐一判断即得；也可以通过计算两函数的函数值差值等分量，根据该函数的类型结合选项确定答案.【详解】方法一：依题意，作出函数与在上的图象.按照平移对称法，当时，，线段中点纵坐标为，则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故排除B项；当时，，线段中点纵坐标为14，则应将此时的线段沿方向向下平移14，的图象上的对应点纵坐标应分别为1和-1，故可排除C，D两项，A项符合题意.方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数和函数在上的函数值差值等分在x轴上下两侧，等分量为，故在上线性变化，结合选项知，只有选项A符合题意.故选：A.

2．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，取，则，充分性成立；取，，则对任意，一定存在，使得，取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.故选：A.3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当时，所以，又因为，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.4．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论：①存在在上单调递增的函数使得恒成立；②存在在上单调递减的函数使得恒成立；③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．其中正确结论的序号是________．【答案】②③【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足，则，即，故时，，故，故即，矛盾，故①错误；对于②，取，该函数为上的减函数且，故该函数符合，故②正确；对于③，取，此时，由可得有无穷多个，故③正确；对于④，若存在，使得，令，则，但，矛盾，故满足的函数不存在，故④错误.故答案为：②③5．（2024·上海·高考真题）已知，求的x的取值范围_______.【答案】【分析】分与两段求解二次不等式可得.【详解】根据题意知.当时，,即，解得，则有；当时，,即，，即时，不等式都成立.综上所述，的x的取值范围为.故答案为：.6．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.【答案】【分析】由对数函数性质即可得.【详解】由题意可得，即的定义域为.故答案为：.7．（2024·上海·高考真题）已知则______．【答案】3【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因为故，故答案为：3.8．（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________．【答案】1【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数，所以.故答案为：19．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是______；【答案】【分析】分段讨论的范围即可.【详解】当时,根据指数函数的图象与性质知，当时,.综上:的值域为.故答案为：.10．（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．【答案】/【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.【详解】由已知，，所以，当时，由可得，所以，当x>1时，由可得，所以，等价于，所以，所以的最大值为.故答案为：，.11．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．【答案】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：考点02幂指对函数的运算与应用1．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】由，则.2．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可.【详解】由题意可得，因为函数在上单调递增，所以，又因函数在上单调递增，则，所以，因，且在上单调递增，所以，即.故.3．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（

）A．2h B．4h C．20h D．40h【答案】B【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,由题意，，，，因为，所以，所以，所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.故选：B.4．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】D【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.【详解】∵，∴，当时，定义域上严格单调递减，此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.故选：D5．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出；法二：根据数形结合解出.【详解】法一：设，所以令，则，此时，A有可能；令，则，此时，C有可能；令，则，此时，D有可能；故选：B．法二：设，所以，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：易知，随着的变化可能出现：，，，，故选：B．6．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（

）．A． B． C．13 D．3【答案】B【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A.【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误；对于A，若，则，当时，，所以幂函数过点，故A错误；对于B，若，则，当时，，所以幂函数过点，故B正确.故选：B.7．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误，故选：B.8．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意分析可得，消去S即可求解.【详解】由题意得，则，即，所以.故选：D.9．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以，故选：D10．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.11．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.12．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D13．（2022·上海·高考真题）下列函数定义域为的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．【解答】，定义域为，，定义域为，，定义域为，，定义域为．故选：C．14．（2022·天津·高考真题）化简（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式，故选：C15．（2022·天津·高考真题）设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，故.故选：D.16．（2022·浙江·高考真题）已知，则（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为，，即，所以．故选：C.17．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．18．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（

）A．当，时，二氧化碳处于液态B．当，时，二氧化碳处于气态C．当，时，二氧化碳处于超临界状态D．当，时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【分析】根据T与的关系图可得正确的选项.【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.当，时，因,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D19．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．20．（多选题）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知：，对于选项A：可得，因为，则，即，所以且，可得，故A正确；对于选项B：可得，因为，则，即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为，即，可得，即，故C正确；对于选项D：由选项A可知：，且，则，即，可得，且，所以，故D正确；故选：ACD.21．（2026·北京·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________．【答案】【详解】由题意，则，解得，所以f的取值范围为.22．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______.【答案】【分析】由对数函数性质即可得.【详解】由题意可得，即的定义域为.故答案为：.23．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______．【答案】64【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.【详解】由题，整理得，或，又，所以，故故答案为：64.24．（2023·北京·高考真题）已知函数，则____________．【答案】1【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数，所以.故答案为：125．（2023·上海·高考真题）已知函数，且，则方程的解为______________．【答案】【分析】分类讨论和，解方程的解，即可得出答案.【详解】当时，，解得：，当时，，解得：（舍去），所以方程的解为.故答案为：.26．（2022·上海·高考真题）已知函数的反函数为，则________【答案】3【分析】求出函数的反函数的解析式，进而可求得结果.【详解】由可得，故，因此，.故答案为：3.27．（2024·上海·高考真题）已知函数．(1)若函数的图象经过点，求解不等式；(2)若存在x，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集；（2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可.【详解】（1），则，，，，，定义域为，要解不等式，则，．又在定义域内是严格增函数，由，则，解得．综上所述，不等式的解集为．（2）的定义域为，存在x，使得、、依次成等差数列，则在方程中，应满足，由，解得，问题转化为时，方程有实数解．又，则，即．为严格单调函数，，，两边同除以得，．令，由，则，在有解．又在上是严格增函数，，即，又，则.28．（2022·上海·高考真题）(1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值.(2)若且，求解不等式.【答案】(1)(2)答案见解析.【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案；（2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可.【详解】（1）解：函数的定义域满足，即，所以，要使函数的定义域非空，则，即.若将函数图像向下移后得到的解析式为：，.所以在函数的图像上，即，解得：，所以，（2）解：由题知，,,因为函数在上单调递增，所以等价于，展开整理得：，所以，不等式的解集为的解，所以，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.考点03函数的性质及其应用（单调性、奇偶性、周期性、对称性）1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误；B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误；方法一：C，在中，，则，，函数单调递减，故错误；D，在中，，解得，，则为奇函数，，即函数在定义域上单调递增，故正确.法二：C，在中，，则，为奇函数，∵和是减函数，∴函数单调递减，故错误；D，在中，，解得，，为奇函数，∵和是增函数，则为增函数，∴函数单调递增，故正确.2．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据推出周期性，分析可得，得到a，再由可得b.【详解】，则，，即的周期为，结合奇偶性，周期性，故，在上满足，说明的对称轴为，则，解得，又根据知，而，则，于是，即，解得3．（2026·天津·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.【详解】由题意，由题意及图得，函数为奇函数，且当时，，对A选项，当时，，与图象不符，故A错误；对B选项，当时，，与图象不符，故B错误；对D选项，当时，，与图象不符，故D错误；对C选项，在中，，即该函数为奇函数，，与图象相符，故C正确.4．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集M，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（

）A．若和都有最小值，则有最低点；B．若有最低点，则和都有最小值；C．若或有最小值，则有最低点；D．若有最低点，则或有最小值.【答案】D【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可.【详解】对于A项，取，，取，，则，；而无最低点，故A错误；对于B项，取，，取，，则无最小值，；而有最低点，故B错误；对于C项，取，，取，，则无最小值，；因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误；对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且，所以或，若，则且对任意的，总有，即；若，同理可知；所以若有最低点，则或有最小值，故D正确.故选：D.5．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（

）A．横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2C．纵坐标变为原来的13倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3【答案】A【分析】由，根据平移法则即可解出．【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的12倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，故选：A.6．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；又当时，此时，由图可知当时，，故C不符合，D符合.故选：D7．（2025·上海·高考真题）已知，C在上，则△ABC的面积（

）A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值【答案】A【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于b的函数,分析其单调性，从而求解.【详解】设曲线上一点为，则，则，，AB方程为：，即，根据点到直线的距离公式，到AB的距离为：，设，由于，显然关于b单调递减，，无最小值，即△ABC中，AB又AB一定，故面积有最大值，无最小值.故选：A8．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．12【答案】A【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.【详解】由题知对一切成立，于是.故选：A9．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值【答案】B【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合M与已知条件矛盾；D选项由集合M的定义找到矛盾.【详解】对于A选项：时，，当时，，任意的，恒成立，若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误；对于B选项：若函数图像如下：当时，，时，，当，，∴存在在处取最大值，故B选项正确；对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合M的取值不会是，而是全体定义域，故C选项错误；对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合M定义矛盾，故D选项错误.故选：B10．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【详解】，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又，故可排除D.故选：B.11．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，，，则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，且不恒为0，则不是偶函数，故D错误.故选：B.12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（

）A． B． C．12 D．1【答案】C【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时；当时，可知，此时；可知若，符合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；综上所述：，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为12；解法二：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；则当时，，故，所以；时，，故，所以；故，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.13．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.14．（2023·上海·高考真题）下列函数是偶函数的是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】直接运用常见函数的奇偶性判断即可.【详解】根据所学知识，知道为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数.故选：B.15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（

）A．-2 B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为为偶函数，则，又因为x不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.16．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以a的取值范围是.故选：D18．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C．12 D．1【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.【详解】因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.19．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.20．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，且，函数为奇函数，CD选项错误；又当时，，B选项错误.故选：A.21．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A．-3 B．-2 C．0 D【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为6，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为6．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.22．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.23．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.24．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.【详解】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.25．（多选题）（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．26．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________．【答案】【分析】根据偶函数的性质求解.【详解】因为函数是偶函数，当时，，所以，解得.27．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______【答案】-【分析】先设，根据不等式的形式，为了消a可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.【详解】设，原题转化为求t的最小值，原不等式可化为对任意的，，不妨代入，得，得，当时，原不等式可化为，即，观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，此时，，说明时，均可取到，满足题意，故的最小值为-4.故答案为：-28．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______.【答案】0【分析】根据奇函数的定义求解．【详解】是奇函数，则恒成立，所以，解得故答案为：0．29．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，则；④设．若存在最小值，则a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】②③【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.【详解】依题意，，当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当时，，易知其图像是，圆心为，半径为a的圆在x轴上方的图像（即半圆）；当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；对于②，当时，当时，；当时，显然取得最大值a；当时，，综上：取得最大值a，故②正确；对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，此时，，当时，且接近于处，的距离最小，此时；故③正确；对于④，取，则的图像如下，

因为，结合图像可知，要使取得最小值，则点P在上，点Q在，同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径a，此时，因为的斜率为1，则，故直线的方程为，联立，解得，则，显然在上，满足取得最小值，即也满足存在最小值，故a的取值范围不仅仅是，故④错误.故答案为：②③.30．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________．【答案】2【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.【详解】因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.31．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．【答案】0（答案不唯一）1【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，

解得.【详解】解：若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：0（答案不唯一），132．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．【答案】1【分析】根据奇函数的定义可求参数的值.【详解】当时，，当时，，故，而，故即，故答案为：1.33．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则_____，______．【答案】；．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，∵函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，故答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参∵函数为奇函数[方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．34．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质P：若对任意，当时，，则称函数具有“性质P”.(1)判断函数是否具有“性质P”；(2)若分段函数具有“性质P”，求所有满足条件的实数a和b的解；(3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质P”.【答案】(1)没有，理由见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可；（2）根据一次函数的单调性，结合“性质P”的特性进行求解即可；（3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质P”的特性进行运算证明即可.【详解】（1）函数不具有“性质P”，理由如下：例如当时，显然成立，，根据指数函数的单调性可知，所以有，这与“性质P”矛盾，故函数不具有“性质P”；（2）因为函数具有“性质P”，所以取，有，于是有，当时，由，当时，由，若，若，则有，取，此时，但是，不符合“性质P”，所以不符合题意，故，此时，若时，则，由，若时，则，由，因此，综上所述：当且仅当时，满足条件；（3）充分性：若具有“性质P”，则是偶函数.若存在，，不妨设，记，即，因为函数的值域为，所以，若，则有，若，则有，故对任意，，这与的值域为矛盾，所以不成立，则有，因此函数是偶函数；必要性：若是偶函数，则具有“性质P”.当时，因为在上是严格增函数，所以，又因为函数是偶函数，所以由，因此具有“性质P”.所以是偶函数的充要条件是：具有“性质P”.35．（2026·上海·高考真题）已知是1，2，3的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个I排列，则关于，，的I排列总数记为．(1)已知，，，，判断是否为I排列；(2)对，，，满足条件的，求的取值范围；(3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，．【答案】(1)是I排列；(2)；(3)首先证明第1个结论，观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立，那么排列都将是I排列，此时至少为4．当时，即，因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数，则恒成立，又因为函数在上单调递增，则在区间上，，.若恒成立，则，则只需，即，因为对任意的，，则，则，则解得，当时，即，因为严格递减，所以且，，只要，就有，则可取即可满足题意．即存在，使得.再证明第2个结论.假设对于任意的，都有，因为（2）中①排列始终满足条件，则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是I排列．首先，我们证明不可能恒成立：假设对于某个，在上恒有．即，即，取．由于严格递增，令，则，于是对任意正整数：，当时，，这与矛盾！因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是I排列．接下来只剩②排列，其需满足，⑤排列，其需满足，⑥排列，其需满足，下面证明：对于任意在I上恒成立＂与＂在I上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真．（i）若对任意，都有，即都有，对于任意和，则，当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到，所以恒成立，则对所有的恒成立.则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立，则，与假设矛盾！（ii）并非对于所有都有，即，则必定存在，使得，设，因为是严格单调递增的连续函数，则对于已知的，总可以找到，使得，即，即，同时，因为严格递增且，必有．即，即，即，则可取充分小的a使得，即存在，使得，所以＂恒成立＂这个命题是假的．既然为假，那么＂恒成立＂必须为真．即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足，则对于，在时都有：，即，取，则对于任意：，因为严格递增，则．则又因为，则即，对任意都成立．取，因为，则，则对于内的任意t，都满足，因为，故有，但是，之前我们得到，即，则，则有：，这与我们的假设相矛盾．综上，原命题成立，必然存在，使得．【分析】（1）根据I排列的定义判断即可；（2）分析得1，2，3的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可；（3）第一个结论分和讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明.【详解】（1）由题意得，则当，，则恒成立，，则恒成立，故是为I排列.（2）若，则1，2，3的全排列均满足题意，①，则有：，此时两个不等式显然成立．②，则有：，即.③，则有：，即.④，则有：，即.⑤，则有：．⑥，则有：，即.则上述不等式均要成立，取它们的交集有，即，即对恒成立，分离参数得，因为当时，，所以.（3）略.36．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合．(1)若当时，，求；(2)若是奇函数，，且，证明：；(3)设满足：①若，则；②当时，．（i）证明：；（ii）证明：在区间单调递增．【答案】(1)(2)由题意证明如下：在中，是奇函数，当时，．∴，当时，，∴在集合中，当时，，当时，，当时，，∴，∵，∴且，即，，∵，∴①当时，解得，，，此时，②当时，解得，，，此时，③当时，解得，，，此时，综上，.(3)（i）由题意证明如下，法一：若，则存在，使得，条件①：若，则，∴，则，取，则，此时，∵，则，即，但，相矛盾，∴法二：假设，则存在，使得，从而，这导致，但，∵根据条件又有，矛盾，∴假设不成立，.（ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下，在集合中，要证在上单调递增，即需证，，都有，即需证，，都有，①先证明：当时，，假设，使得，∵当时，，∴，使得，∴，而当时，，否则，使得，，与矛盾，∴，∴，∴，由（3）（i）得，，则，由条件②：当时，，则，否则时，与矛盾，∴若，使得，则，，（*）∴，使得，则，令，，此时，则，则，∴，∵，∴易取，满足，使得，根据（*）可得，此时，与矛盾，∴当时，，②证明：对，，都有，∵，，都有，∴，对任意给定的，取，则，∴对，，都有，∴在上单调递增.【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出；（2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论；（3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论；法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论；（ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增.【详解】（1）由题意，在中，，，在中，，∴，当时，，，解得，当时，，解得，∴，∴.（2）略（3）（i）略（ii）略37．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是D．对于，定义集合．(1)，求；(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若D是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．【答案】(1)(2)证明见详解(3)【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解；（2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；（3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解.【详解】（1）由定义得，.（2）证明：必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，，对任意，若，即，则，所以，所以对任意，是对称集.充分性：若对任意，是对称集，因为对任意，，所以，即①，又，所以，即②.由①②得，对任意，，所以函数是偶函数.综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证.（3）因为对于任意，都有，所以若，则，即若，则，所以，所以在上单调不减，所以对任意，恒成立.当时，显然成立，；当时，恒成立，令，，所以在单调递减，单调递增，所以；当时，恒成立，此时因为在上单调递减，当时，，时，，所以；综上，.【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立.38．（2023·全国甲卷·高考真题）设，函数．(1)求不等式的解集；(2)若曲线与x轴所围成的图形的面积为2，求a．【答案】(1)(2)2【分析】（1）分和讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【详解】（1）若,则,即,解得,即,若,则,解得,即,综上,不等式的解集为.（2）.画出的草图,则与x轴围成△ABC,△ABC的高为,所以,所以,解得.考点04函数的零点与方程的根1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，所以在定义域上单调递减，显然，所以根据零点存在性定理可知的零点位于.故选：B2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A．-1 B． C．1 D．2【答案】D【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.【详解】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：.解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.3．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________．【答案】【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题.方法二：把函数有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题.【详解】令，得，即，方法一：令，则，即，,则一元二次方程有两个正根，那么，所以，的取值范围是.方法二：设，那么设，则，由于在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，且，根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是.4．（2025·上海·高考真题）关于x的方程的解集为__________．【答案】【分析】根据x的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可.【详解】.当时，令得；当时，恒成立；当时，令得.综上所述，方程的解集为.故答案为：.5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______．【答案】【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令，即，令则，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，因为曲线与在上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点，所以.故答案为：6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______．【答案】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在y轴左侧有一交点，则只需找到当时，在y轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得.【详解】令，即，由题可得，当时，，有，则，不符合要求，舍去；当时，则，即函数与函数有唯一交点，由，可得或，当时，则，则，即，整理得，当时，即，即，当，或（正值舍去），当时，或，有两解，舍去，即当时，在时有唯一解，则当时，在时需无解，当，且时，由函数关于对称，令，可得或，且函数在上单调递减，在上单调递增，令，即，故时，图象为双曲线右支的x轴上方部分向右平移所得，由的渐近线方程为，即部分的渐近线方程为，其斜率为，又，即在时的斜率，令，可得或（舍去），且函数在上单调递增，故有，解得，故符合要求；当时，则，即函数与函数有唯一交点，由，可得或，当时，则，则，即，整理得，当时，即，即，当，（负值舍去）或，