第三十章 直线与圆的位置关系 单元检测（含解析）人教版（2024）数学九年级上册

人教版（2024）九年级上册第三十章直线与圆的位置关系单元检测一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，下列结论错误的是（）A．AB＝CDB．AB＝2BCC．AD＝DCD．BD＝BC2．如图，AB，BC，CD，DA是☉O的切线，且AB＝10，CD＝12，☉O的半径r＝5，则四边形ABCD的面积为

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A．44B．88C．100D．1103．如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（）A．36°B．63°C．126°D．46°4．如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8cm，当l与⊙O相切时，l需沿OC所在直线向下平移()A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm5．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是（  ）A．B．C．D．6．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是平面内一动点，且∠APB＝90°，取BC的中点E，连接PE，则线段PE的最大值为（）A．B．C．D．7．如图，点P1~P8是☉O的八等分点.若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是

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A．a<bB．a＝bC．a>bD．a，b大小无法比较8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC经过圆心O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E，AD∥BC．若∠B＝60°，则∠E的大小等于（）A．30°B．35°C．40°D．50°9．如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC长为半径画圆，分别与AB边相切于点B，AO边相交于点D，连接BD，则∠CBD的度数为（）A．135°B．120°C．112.5°D．105.5°10．如图，△ADF是⊙O的内接正三角形，四边形ACEG是⊙O的内接正方形，六边形ABDEFH是⊙O的内接正六边形，设上述正三角形周长为C1、正方形周长为C2、正六边形周长为C3，则C1：C2：C3为（  ）A．B．C．D．11．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形内切圆()A．B．C．15D．12．如图，在矩形ABCD铁片上，截下一个正六边形EFGHMN，其中点E、F在边AD上，点G在矩形ABCD的内部，点H、M在边BC上，点N在AB边上，若，则AD的长可以是（）A．9cmB．10cmC．11cmD．13cm二、填空题13．如图，正九边形ABCDEFGHI，点M是EF的中点，连接AM，CG相交于点O.则∠AOG＝__________

.14．如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是__________．15．如图，已知☉O是以数轴上原点O为圆心，2为半径的圆，∠AOB＝30°，点P在正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与☉O有公共点，设点P对应的数为x，则x的取值范围是__________

.16．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝__________秒时，⊙P与坐标轴相切．17．如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边AD、CD相切，现有一条过点A的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为__________.​三、解答题18．如图，⊙I是OABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°．求∠A的大小．19．如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为中心.(下列各题结果精确到0.1m，tan36°≈0.73)(1)求地基的中心到边缘的距离；(2)已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？20．如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF＝3，求直径AB的长．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D，连接DB、DC．（1）求证：DB＝DC＝DI；（2）若⊙O的半径为10cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面积．22．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC＝∠ABC．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若D为AB的中点，CD＝6，AB＝16①求⊙O的半径；②求△ABC的内心到点O的距离．人教版（2024）九年级上册第三十章直线与圆的位置关系单元检测（参考答案）一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，下列结论错误的是（）A．AB＝CDB．AB＝2BCC．AD＝DCD．BD＝BC【答案】A【解析】如图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝30°，∴AB＝2BD，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OD，∴∠ODC＝90°，又∵∠A＝30°，∴∠ABD＝60°，又∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠DOB＝∠ABD＝60°，AB＝2OB＝2OD＝2BD．∴∠C＝30°，∴∠BDC＝∠OBD﹣∠C＝30°，∠C＝∠A，∴∠BDC＝∠C，AD＝CD，故C不符合题意；∴BD＝BC，故D不符合题意；∴AB＝2BC，故B不符合题意；∴OC＝AB，∵OC≠CD，∴AB≠CD，故A符合题意；故选A．2．如图，AB，BC，CD，DA是☉O的切线，且AB＝10，CD＝12，☉O的半径r＝5，则四边形ABCD的面积为

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A．44B．88C．100D．110【答案】D【解析】∵AB，BC，CD，DA是☉O的切线，∴AD＋BC＝AB＋CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD＋BC＋AB＋CD＝44.∵☉O的半径r＝5，∴四边形ABCD的面积＝12×四边形ABCD的周长×r＝13．如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（）A．36°B．63°C．126°D．46°【答案】B【解析】如图，连接OA，OB，OE，∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∴∠AOC＝∠EOC，同理∠BOD＝∠DOE，∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝∠AOB，∵∠APB＝54°，∴∠AOB＝126°，∴∠COD＝63°．故选：B．4．如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8cm，当l与⊙O相切时，l需沿OC所在直线向下平移()A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm【答案】B【解析】连接OA，如图，∵OH⊥AB，∴AH＝4cm，OA＝OC＝5cm，∴OH＝3cm，∵当点H平移到点C时，直线与圆相切，∴CH＝OC－OH＝2(cm)，即直线在原有位置向下平移2cm后与圆相切.5．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是（  ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，故选：D．6．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是平面内一动点，且∠APB＝90°，取BC的中点E，连接PE，则线段PE的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：取AB的中点O，以O为圆心，AB为直径作圆，连接EO，EO的延长线与⊙O交于点P'，如图，此时EP'就是EP的最大值为，∴EP'=OE+OP'=OB故选：B．7．如图，点P1~P8是☉O的八等分点.若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是

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A．a<bB．a＝bC．a>bD．a，b大小无法比较【答案】A【解析】如图，连接P4P5，P5P6.∵点P1~P8是☉O的八等分点，∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6.∴b－a＝P3P4＋P7P6－P1P3.∵P5P4＋P5P6>P4P6，∴P3P4＋P7P6>P1P3.∴b－a>0，a<b.8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC经过圆心O，过点D作⊙O的切线DE，交BC的延长线于点E，AD∥BC．若∠B＝60°，则∠E的大小等于（）A．30°B．35°C．40°D．50°【答案】A【解析】连接OA，OD，如图，∵∠B＝60°，OA＝OB，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝∠BAO＝60°，又∵AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∴∠DAO＝120°﹣60°＝60°，又∵OA＝OD，∴△ADO为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴∠DOC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，又∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°．故选：A．9．如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC长为半径画圆，分别与AB边相切于点B，AO边相交于点D，连接BD，则∠CBD的度数为（）A．135°B．120°C．112.5°D．105.5°【答案】C【解析】解：连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥BA，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∠A＝∠OCB，∴OB⊥OC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠A＝45°，∴∠AOB＝45°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠AOB）＝67.5°，∴∠CBD＝45°+67.5°＝112.5°，故选：C．10．如图，△ADF是⊙O的内接正三角形，四边形ACEG是⊙O的内接正方形，六边形ABDEFH是⊙O的内接正六边形，设上述正三角形周长为C1、正方形周长为C2、正六边形周长为C3，则C1：C2：C3为（  ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：设⊙O的半径为r，如图1所示，在正三角形ADF中，连接OD，过O作OM⊥DF于M，则∠ODF＝30°，DM＝OD•cos30°＝r，故DF＝2DM＝r；∴正三角形周长C1为3r；如图2所示，在正方形ACEG中，连接OE、OC，过O作ON⊥CE于N，则△OCE是等腰直角三角形，2CN2＝OC2，即CN＝r，故CE＝r；∴正方形周长C2为4r；如图3所示，在六边形ABDEFH中，连接OA、OB，过O作OP⊥AB于P，则△OAB是等边三角形，故AP＝r，∴AB＝2AP＝r，∴正六边形周长C3为6r，∴C1：C2：C3为3r：4r：6r＝3：4：6．故选：D．11．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形内切圆()A．B．C．15D．【答案】A【解析】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE=OD=3=，∴AC+BC-AB=6，∴AC+BC=AB+6，∴（AC+BC）2=（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC=AB2+12AB+36，而BC2+AC2=AB2，∴2BC×AC=12AB+36①，∵小正方形内切圆半径为，∴小正方形的边长为7，∴小正方形的面积为49，∴（BC-AC）2=49，∴BC2+AC2-2BC×AC=49②，把①代入②中得AB2-12AB-85=0，∴（AB-17）（AB+5）=0，∴AB=17（负值舍去），∴大正方形内切圆半径为．故选：A．12．如图，在矩形ABCD铁片上，截下一个正六边形EFGHMN，其中点E、F在边AD上，点G在矩形ABCD的内部，点H、M在边BC上，点N在AB边上，若，则AD的长可以是（）A．9cmB．10cmC．11cmD．13cm【答案】D【解析】解：∵六边形EFGHMN是正六边形，∴∠FEN＝∠ENM＝∠NMH＝120°，EF＝EN＝NM，∴∠AEN＝∠BMN＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴△ANE≌△BNM，∴，由勾股定理，得NE=NM=6cm如图，连接EM，FH，NG，分别相交于点K，L，则四边形ANKE与四边形EFLK是矩形，∴KL＝EF＝6cm，∵∠MNE＝120°，MN＝NE，∴∠ENK＝60°，∠NEK＝30°，∴，同理可得，GL＝3cm，∴NG＝NK+KL+LG＝3+6+3＝12cm∵点G在矩形ABCD的内部，∴AD＞NG，故选：D．二、填空题13．如图，正九边形ABCDEFGHI，点M是EF的中点，连接AM，CG相交于点O.则∠AOG＝__________

.【答案】110°【解析】如图，设这个正九边形的外接圆为☉O'，连接AC，由正多边形的中心角的计算方法可得，这个九边形的中心角为360∘由圆周角定理可得∠ACG＝12∠CAM＝12∴∠AOG＝∠CAM＋∠ACG＝110°.14．如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是__________．【答案】π【解析】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示，∵AB＝6，△ABC是等边三角形，∴BD＝3，∠OBD＝30°，∵∠ADB＝90°，∴OB＝2OD，OB2＝OD2+BD2，∴OD＝，∴圆中的黑色部分的面积是：π×（）2＝π．15．如图，已知☉O是以数轴上原点O为圆心，2为半径的圆，∠AOB＝30°，点P在正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与☉O有公共点，设点P对应的数为x，则x的取值范围是__________

.【答案】0【解析】当P'C与☉O相切于点C时，如图，连接OC，则OC⊥P'C，∵P'C∥OA，∴∠OP'C＝∠AOB＝30°，∴OP'＝2OC＝4，∴x的取值范围为0<x≤4.16．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t＝__________秒时，⊙P与坐标轴相切．【答案】1或3或5【解析】解：设⊙P与坐标轴的切点为D，∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m），∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2，∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），∴AB＝2，AC＝4，OB＝OC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①当⊙P与x轴相切时，∵点D是切点，⊙P的半径是1，∴PD⊥x轴，PD＝1，∴△BDP是等腰直角三角形，∴BD＝PD＝1，PB＝，∴AP＝AB﹣PB＝，∵点P的速度为每秒个单位长度，∴t＝1；②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，∵PB＝，∴AP＝AB+PB＝3，∵⊙P的速度为每秒个单位长度，∴t＝3；③当⊙P只与y轴相切时，∵PC＝，∴AP＝AC+PC＝5，∵⊙P的速度为每秒个单位长度，∴t＝5．综上所述，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切，故答案为：1或3或5．17．如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边AD、CD相切，现有一条过点A的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为__________.​【答案】6-3【解析】解：如图，过点E作EG⊥AB于点G，连接OE，过点E作EN⊥AD于点N，过点O作OF⊥EN于点F，∵△ABE是正三角形，EG⊥AB，∴∠EAB=60°，AG=BG=AB==EN，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，又∵EN⊥AD，∴EN∥AB，∴∠EAB=∠AEN=60°，∵AE与⊙O相切于点E，∴∠AEO=90°，∴∠OEF=90°-60°=30°，设半径为r,即OE=OM=NF=r,在Rt△EOF中，∠OEF=30°，OE=r，EF=-r,OF=OE=r.由勾股定理，得OE2=OF2+EF2∴r2=(r)2+(-r)2解得r=6-3．故答案为：6-3．三、解答题18．如图，⊙I是OABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝50°．求∠A的大小．【答案】解：连接ID、IF，如图，∵∠DEF＝50°，∵∠DIF＝2∠DEF＝100°，∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB、CA分别相切于点D、F，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠ADI＝∠AFI＝90°，∴∠A+∠DIF＝180°，∴∠A＝180°﹣100°＝80°．答：∠A的大小为80°．19．如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为中心.(下列各题结果精确到0.1m，tan36°≈0.73)(1)求地基的中心到边缘的距离；(2)已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？【答案】解(1)如图，作OM⊥AB于点M，连接OA，OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角.由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°，∴∠AOM＝36°.∵AB＝15×26＝5.2(m)，∴AM在Rt△AMO中，边心距OM＝AM∴地基的中心到边缘的距离约为3.6m.(2)3.6－1－1.6＝1.0(m).∴塑像底座的半径最大为1.0m.20．如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF＝3，求直径AB的长．【答案】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，∴四边形OFDE是矩形，∴OD＝EF＝3，∴AB＝6．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D，连接DB、DC．（1）求证：DB＝DC＝DI；（2）若⊙O的半径为10cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面积．【答案】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴BD＝DC，∵B