初二数学暑假课程-第08讲-立方根与估算-教案

第08讲立方根与估算温故知新一、上节课重点回顾1.有理数：整数和分数统称为有理数；无理数：无限不循环小数称为无理数。不能写成分数形式。2、算术平方根的概念一般地，如果一个正数的平方根等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记做，读作“根号”。3、平方根的概念（1）一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）。（2）一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。（3）开平方的概念：求一个数的平方根的运算，叫做开平方，其中叫做被开方数。知识要点一 知识要点一立方根的概念立方根的概念及性质11、立方根的概念一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）。注意：每一个数有且只有一个立方根，记为，读作“三次根号”。2、立方根的性质（1）正数的立方根是正数；（2）0的立方根是0；（3）负数的立方根是负数。注意：任何数都只有一个立方根，不可以与平方根的性质混淆。3、开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中叫做被开方数。注意：（1）开立方与立方是互逆运算，在开立方时，往往通过立方运算去完成；（2）开平方时，被开方数是非负数；开立方时，被开方数可以是正数、负数，也可以是0；（3），。 典例分析例1、﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．﹣【解析】B．例2、﹣64的立方根是（）A．8B．4 C．﹣4 D．﹣8【解析】C．例3、若是一个正整数，满足条件的最小正整数n=3．【解析】∵，∴满足条件的最小正整数n=3，故答案为：3．例4、计算的结果是﹣．【解析】==，故答案为：﹣．例5、已知m+2的算术平方根是4，2m+n+1的立方根是3，求m﹣n的平方根．【解析】由题意得，，解得：故可得m﹣n=16，m﹣n的平方根是±4．举一反三1．解方程①（x﹣4）2=4，②．【解析】解：①∵（x﹣4）2=4∴x﹣4=2或x﹣4=﹣2，解得x═6或x=2．②∵，∴（x+3）3=27，∴x+3=3，解得x=0．2．已知+|2y﹣x|=0，求x2+4y的立方根．【解析】解：∵+|2y﹣x|=0，∴x﹣2=0，2y﹣x=0，∴x=2，y=1，∴x2+4y=8，∴x2+4y的立方根是2．3．已知2a﹣1的平方根是±3，3a﹣b+2的算术平方根是4，求a+3b的立方根．【解析】解：∵2a﹣1的平方根是±3∴2a﹣1=9，解得，a=5，∵3a﹣b+2的算术平方根是4，a=5，∴3a﹣b+2=16，∴15﹣b+2=16，解得，b=1，∴a+3b=8，∴a+3b的立方根是2．知识要点二 知识要点二估算与比较大小估算与比较大小1.1.用估算法确定无理数的大小对于带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”逐级夹逼，首先确定其正数部分，再确定十分位、百分位等小数部分。2.用估算的方法比较数的大小用估算法比较两个数的大小时，一般至少有一个是无理数。在比较大小时，通常先通过分析，估算出无理数的大致范围，在进行具体的比较。注意：（1）；（2） 典例分析例1、下列四个数中，最大的一个数是（）A．2 B． C．0 D．﹣2【解析】A．例2、下面实数比较大小正确的是（）A．3＞7 B． C．0＜﹣2 D．22＜3【解析】B．例3、估计的值在（）A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间【解析】B．例4、判断2﹣1之值介于下列哪两个整数之间？（）A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7【解析】C．举一反三1、比较大小：﹣3＜．2、先比较大小，再计算．（1）比较大小：与3，1.5与；（2）依据上述结论，比较大小：2与；（3）根据（2）的结论，计算：|﹣|﹣|﹣2|．【解析】（1）∵7＜9，∴＜3，∵1.52=2.25＜3，∴1.5＜；（2）∵＞1.5，∴2＞3，又3＞，∴2＞；（3）原式=﹣﹣2+=2﹣3．3、若a、b分别是、的整数部分，则a+b的平方根是±3．【解析】∵5＜＜6，∴的整数部分a=5，∵4＜＜5，∴的整数部分b=4，∴a+b=5+4=9，∴9的平方根是±3，故答案为：±3．学霸说学霸说比较比较两数的大小时，数的范围确定不精确而出错；比较两个无理数的大小时，不能只确定无理数取值范围的左端点或者右端点的取值，而应该把两个端点的取值都确定出来 课堂闯关初出茅庐1．下列叙述中，不正确的是（）A．绝对值最小的实数是零 B．算术平方根最小的实数是零C．平方最小的实数是零 D．立方根最小的实数是零【解析】D．2．的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2【解析】A．3．在实数，﹣2，0，3中，大小在﹣1和2之间的数是（）A． B．﹣2 C．0 D．3【解析】C．4．下列实数中，﹣（﹣π），|﹣3|，3中，最大的是（）A． B．﹣（﹣π） C．|﹣3| D．3【解析】B．5．已知a、b为两个连续整数，且a＜﹣＜b，则a+b=（）A．4 B．5 C．6 D．8【解析】B．6．把表示成幂的形式是．【解析】把表示成幂的形式是．故答案为：．7．的立方根是﹣．【解析】∵（﹣）3=﹣，∴的立方根是﹣．故答案为：﹣．8．比较大小：＜1（填“＜”或“＞”或“=”）．9．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是4．【解析】∵a=﹣|﹣2|=﹣2，b=﹣（﹣1）=1，c==﹣3，∴则a、b、c中最大实数是b，最小实数是c，∴a、b、c中最大实数与最小实数的差是b﹣c=1﹣（﹣3）=4；故答案为：4．10．若n＜＜n+1，且n是正整数，则n=3．【解析】∵9＜13＜16，∴3＜＜4．∵n是正整数，∴n=3．故答案为：3．11．已知：2x+3y﹣2的平方根为±3，3x﹣y+3的立方根为﹣2，求的平方根．【解析】∵2x+3y﹣2的平方根为±3，3x﹣y+3的立方根为﹣2，∴，解得：．∴3x+4y+2=﹣6+20+2=16，∴=4．∴4的平方根是±2．12．已知实数x、y满足，求2x﹣的立方根．【解析】由非负数的性质可知：2x﹣16=0，x﹣2y+4=0，解得：x=8，y=6．∴2x﹣y=2×8﹣×6=8．∴2x﹣的立方根是2．13．设A=+，B=+，试比较A，B的大小．【解析】∵A=+＞0，B=+＞0，∴A2=（+）2=8+2，B2=（+）2=8+2，∵12＜15，∴2＜2，∴A2＜B2，∴A＜B．优学学霸1．已知a、b分别是6﹣的整数部分和小数部分．（1）分别写出a、b的值；（2）求3a﹣b2的值．【解答】解：（1）∵2＜＜3，∴﹣3＜﹣＜﹣2，∴3＜6﹣＜4，∴a=3，b=6﹣﹣3=3﹣；（2）3a﹣b2=3×3﹣（3﹣）2=9﹣9+6﹣5=6﹣5．2．设1996x3=1997y3=1998z3，xyz＞0，且，求的值．【解答】解：设1996x3=1997y3=1998z3=k，则=，++=++，∴=++，∴=++，∵xyz＞0，∴++=1．3．设a，b都是正实数，且．（1）证明必在和之间．（2）试说明这两个数中，哪一个更接近？【解答】（1）证明：（﹣）（﹣）=＜0，所以结论成立．（2）解：用赋值法a=b=1，代入得，所以更接近．4．设S=1+++…++，求S的整数部分[S]．【解答】解：∵＜=，＞=，∴S＜1+2（﹣1）≈88.73，S＞1+2（﹣）≈87.93，∴S的整数部分是[S]=88．考场直播1.【2012秋•蛇口期中】已知：x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根． 解：∵x-2的平方根是±2，

∴x-2=4，

∴x=6，

∵2x+y+7的立方根是3

∴2x+y+7=27

把x的值代入解得：

y=8，

∴x2+y2的算术平方根为10．2.【2013秋•深圳校级期中】（1）比较大小：与9；（2）化简：．【解答】解：（1）∵9=，＜，∴＜9；（2）原式==2．自我挑战1.下列说法正确的是（）A．9的倒数是﹣ B．9的相反数是﹣9C．9的立方根是3 D．9的平方根是3【解析】B．2.设a是小于1的正数，且，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定【解析】B．3.给出四个数0，，π，﹣1，其中最小的是（）A．0 B． C．π D．﹣1【解析】D．4.﹣2的值在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【解析】B．5.若a2=64，则=±2．6.已知x+2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，则x2+y的立方根为．【解析】∵x+2的平方根是±2，∴x+2=22=4，解得x=2；∵2x+y+7的立方根是3，∴2x+y+7=33=27，∴2×2+y+7=27，解得y=16；∴x2+y=22+16=4+16=20∴x2+y的立方根为．故答案为：．7.比较大小：4﹣＞1（填“＞”、“=”或“＜”）【解析】∵2＜＜3，∴﹣3＜﹣＜﹣2，∴4﹣3＜4﹣＜4﹣2，∴1＜4﹣＜2，