山东滨州市部分学校2027届高三上学期开学全域学情综合诊断数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东滨州市部分学校2027届高三上学期开学全域学情综合诊断数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∣lnx≤1，B=−1,0,1，则A.1 B.0,1 C.−1,0,1 D.−1,0,1,22.设复数z满足z1+i=2，则z=A.22 B.1 C.23.已知向量m=x−1,1,n=A.−1 B.0 C.32 D.4.已知正项等比数列{an}的公比为q，则“q>0”是“{aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线C:y2a2−x2bA.32 B.52 C.6.一名教师和四名同学站成一排照相，已知学生甲与老师相邻，则学生乙与老师不相邻的概率为(

)A.110 B.14 C.3107.已知实数x满足2≤2−x2+3xA.5 B.6 C.9 D.198.已知正三棱锥P−ABC，且PA=3,AB=6，以P为球心，2A.π2 B.π C.3π2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆C：x−12+y+22=9A.直线l上存在点P，使得PC=2

B.直线l被圆C截得的弦长为4

C.圆C上的点到直线l的最大距离为3+5

D.过圆心作直线10.箱子中有大小、材质都相同的10个小球，其中有4个红球，现从中不放回地随机摸两次，每次摸出1个小球。设事件Ai表示“第i次摸球，摸到红球”，摸到红球个数记为ξ，则下列结论正确的是(

)A.A1和A2互斥 B.P(A1∣A11.已知函数f(x)和它的导函数f′(x)的定义域均为R，满足f(x+y)=f(x)f(y)+f′(x)f′(y)，且f′(x)是奇函数，f(1)≠0，则下列说法一定正确的是(

)A.f(0)=0 B.f(1)≥1 C.f(x)>f′(x) D.f(2x)≥f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若一个等差数列的前4项的和等于4，前8项的和等于72，则这个数列的公差等于

．13.已知函数fx=sin2x+φ−cos2x+φφ<14.平面四边形ABCD的对角线AC,BD的中点分别为M,N，12AD=BC=AD⋅BC=1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某科技公司致力于具身机器人的研发工作，并设立了研发奖励基金．该公司近几年奖励基金设立情况如下表所示：年份20212022202320242025年份代号x12345基金金额y(亿元)0.400.701.101.501.80(1)计算y与x的相关系数r(保留三位小数)；(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2026年设立的研发奖励基金金额．参考公式：r=i=1nx16.(本小题15分)▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其面积为S,cosA=1(1)求B；(2)若AD=2DB且CD=717.(本小题15分)如图，在三棱锥D−ABC中，侧面DAC⊥底面ABC，侧面DAC是边长为2的等边三角形，E是AC中点，F是棱BD上的一点，已知AB=(1)证明：AC⊥BD；(2)求直线AF与平面BCD所成角的正弦的最大值．18.(本小题17分)已知椭圆C：x2a2+(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，▵AOB的面积为2(i)求弦长AB的最小值；(ii)已知直线l过点0,m，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求m．19.(本小题17分)(1)证明：当x∈−π2(2)若x∈0,π2，sin(3)若对于任意的x1,x2，且x1≠x1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】BCD

10.【答案】BC

11.【答案】BCD

12.【答案】4

13.【答案】π4

/14.【答案】32

15.【答案】解：(1)由题意x=1+2+3+4+55则5i=1则r=i=1故y与x的相关系数为r=0.998．(2)由(1)b则a=故y关于x的线性回归方程为y=0.36x+0.02令x=6，则y=0.36×6+0.02=2.18故该公司2026年设立的研发奖励基金金额为2.18亿元．

16.【答案】解：(1)由cosA=12，且A∈三角形面积公式：S=12ab联立2S=3ab由三角形内角和C=π−A−B=2π3−B展开整理得12sinB=由B∈0,π，得B=(2)由A=B=π3，得C=π3，由AD=2DB，知D在AB边上，且在▵ACD中，由余弦定理得CD即7=a2+4a29

17.【答案】解：(1)▵DAC是等边三角形，E是AC中点，则DE⊥AC，又因为平面DAC⊥平面ABC，平面DAC∩平面ABC=AC，DE⊂平面DAC，所以DE⊥平面ABC，而BE⊂平面ABC，所以DE⊥BE，因为AC=2，▵DAC是等边三角形，所以DE=3，又DB=2而AE=1,AB=10，所以AE2+B因为DE∩BE=E，DE,BE⊂平面DBE，所以AC⊥平面DBE，又因为BD⊂平面DBE，所以AC⊥BD；(2)分别以EA,EB,ED为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0),B(0,3,0),C(−1,0,0),D(0,0,DB=(0,3,−设平面BDC的一个法向量是n=(x,y,z)则DB⋅n=3y−3设DF=kDB=(0,3k,−记直线AF与平面BCD所成角为θ，则sinθ=cosAF所以直线AF与平面BCD所成角的正弦值的最大值为1213

18.【答案】解：(1)由题意e=ca=a又椭圆过点22,−3所以椭圆方程为x2(2)(i)直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=kx+m，显然m≠0，设A(x由x22+Δ=16k2mx1+xAB=原点O到直线AB的距离为d=所以S▵AOB=12AB所以AB=2k2+1≥1，则0<所以2直线AB斜率不存在时，设直线AB方程为x=t，显然t≠0，由t22+y2S▵AOB=1所以AB=2综上2≤AB≤2，所以(ii)以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，则x1由(i)知x1+xx=(1+k2又由(i)知m2=k所以3m2−2=2

19.【答案】解：(1)因为y=sinx和y=x都是奇函数，所以∣sin因此只需证明x∈[0,π2)令gx=x−sin因为x∈[0,π2)，所以cos所以g(x)在[0,π因为g(0)=0，所以x>0时，g(x)>0，即x>sin结合偶函数性质，对任意x∈(−π2,π2(2)由题意，对任意x∈(0,π2)令hx=sinxx+1对h(x)求导h′x令ux=3xcos由(1)知，当x>0时，x>sinx，所以因此u(x)在(0,π2)上单调递增，且u(0)=0即h′(x)>0在(0,π2)由此h(x)的下确界为x→0时hx要使不等式恒成立，必须有k≤1，所以k的最大值为1．(3)对于任意不相等的实数x1由和差化积公式∣sin因为∣cosθ∣≤1恒成立，所以由∣sinx∣≤∣x∣，得若要等号成立，需同时满足∣cosx1当∣cosx1+x此时∣sin由于x1≠x2，所以由(1)，当x≠0时，有∣sin所以2∣