云南昭通市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次检测数学试卷（含答案）

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第I卷(选择题，共58分)2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，A.0°B.30°C.60°2.点(3,-3)到直线3x-4y-6=0的距离是A.3D3.若过点(1,2)的直线l与直线x+4y-8=0垂直，则直线l的方程为4.已知点A(2,3),B(4,9),若以线段AB为直径作圆，则该圆的标准方程为5.过点(0,-2)与圆x²+y²-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα=6.如图1,在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁线BA₁与D₁E所成角的余弦值为中，底面ABCD为正方形，为B₁C₁的中点，则异面直BD7.在△ABC中，AC=2,BC=4,∠C=60°,点P为△ABC所在平面内的一个动点，且PCA.3+2√5B.3+2√7C.7+2√58.已知半径为1的球与正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三个侧面和两个底面均相切，则点C₁到平面A₁BC的距离为二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列说法正确的是A.已知空间向量m=(3,1,3),n=(-1,λ,-1),且m//n,则实数B.直线x+2y-4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是C.已知直线l过点(2,1),且与x轴，y轴的正半轴分别交于点A、B两点，则△AOB面积的最小值为4D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为10.在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长均为1,D为BC的中点，则B.BC1平面ACC₁A₁C.A₁B//平面ADC₁D11.下列结论正确的是弦所在直线的方程是B.若圆x²+y²=r²上有且仅有2个点到直线l:x-y+√2=0的距离等于1,则0<r<2C.曲线C₁:x²+y²+2x=0与曲线C₂:x²+y²-4x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=4D.已知圆C:x²+y²=2,P为直线x+y+2√3=0上一动点，过点P向圆C引一条切线PA,其中A为切点，则PA的最小值为4第Ⅱ卷(非选择题，共92分)第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.l₁:x-y+3=0与直线l₂:2x+my-2=0平行，则直线l₁与l₂的距离为13.若圆C:(x-1)²+(y-2)²=4与直线l:x-y+m=0相交于A,B,且∠ACB=120°,则实数m的值为14.已知圆C:x²+(y-2)²=1和圆D:x²+y²-6x-10y+30=0,M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)已知圆C₁过点(0,0),(1,1),(8,0),圆C₂:x²+(y+2)²=4.(2)判断圆C₁和圆C₂的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长.16.(本小题满分15分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为乙每次投篮投中的概率为且各自投篮互不影响.(1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率；(2)求甲获胜的概率.17.(本小题满分15分)如图2,在三棱锥A-BCD中，平面ABDI平面BCD,AB=AD,0为BD的中点.(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.18.(本小题满分17分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知19.(本小题满分17分)已知线段AB的端点A(1,√3),端点B在圆(x-3)²+(y+√3)²=16上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆C.(3)若斜率为k的直线l与圆C相交于E,F两点(不与原点0重合),直线OE,OF的斜率分别为k₁,k₂,且k₁k₂=3,证明：直线l过定点.数学参考答案第I卷(选择题，共58分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一题号12345678答案CABDBADD【解析】1.由题设知直线y=√3x-1的斜率为√3,设该直线的倾斜角为α,则tana=√3.又因为0≤α<180°,故α=60°,故选C.3.设所求直线方程为4x-y+C=0,代入(1,2),得4-2+C=0,解得C=-2,所以所求直线方程为4x-y-2=0,故选B.4.线段AB的中点为C(3,6),故圆心为C(3,6).又AB²=(4-2)²+(9-3)²=40,所以5.方法一：因为x²+y²-4x-1=0,圆心C(2,0),半径r=√5,如图1,过点P(O,-2)作圆CPA=√PCP²-r²=√3,,即高二数学ZT参考答案·第1页(共12页)∠APB为钝角，所以,故选B.且α为锐角，所,故选B.程为x=0,则圆心到切点的距离d=2<r,不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为且△=64-4=60>0,,且α∈(0,π),则sina>0,解得,故选B.6.设AB=1,则AD=1,AA=2.以{AB,AD,AA}为基底，由题意得AB·AD=0,为θ,则即异面直线BA₁与D₁E所成角的余弦值为,故选A.角坐标系，C(2,0),B(O,2√3),A(0,0).因为点P为△ABC所在平面内的一个动点，且PC=1,所以P点的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，取AB的中点M,则MA=-MB,(PA·PB)m=(√7+1)²-3=5+2√7,故选D.8.如图3,球与正三棱柱上下底面相切，因此AA₁=2,球与三个侧面均A,B=√AB²+AA²=√(2√3²+2²=4,同理A₁C=4,故△A,BC为等腰三角形，取BC的其中d为C₁到面ABC的距离.又因为,解得二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)题号9答案【解析】9.A选项，由于m//n,所以,所以A选项正确；B选项，直线C选项，由题，直线1斜率存在且不为0,设l:y=k(x-2)+1,令x=0→y=1-2k,.因直线与x,y轴正半轴交于点A、B两点，则直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则y=k(x+3)+b+2=kx+3k+b+2=kx+b,所以3k+b+2=b,解得10.对于A,如图4,因为AC//A₁C₁,所以∠DAC即为直线A₁C₁与AD所成垂直平面ACC₁A₁所有直线，故B错；对于C,连接A₁C交AC₁于E,,故D连接ED,则E为A₁C的中点.在正三棱柱ABC-A₁B₁C即为圆C₁与圆C₂的公共弦所在直线的方程，故A正确；对于B,依题意，需使圆心(0,0)到直线x-y+√2=0的距离满足r-1<d<r+1,解得0<r<2,故B正确；对于C,圆C₁与圆C₂有三条公切线，等价于两圆外切，由x²+y²+2x=0可得C₁:(x+1)²+y²=1,知圆心为C₁(-1,0),半径为1,由x²+y²-4x-8y+m=0可得意，√20-m+1=5,解得m=4,故C正确；对于D,如图5,由切线长定理，可得第Ⅱ卷(非选择题，共92分)三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)题号答案【解析】13.因为圆C:(x-1²+(y-2)²=4的圆心为C(1,2),半径为r=2,又∠ACB=120°,则,所以圆心到直线I的距离,则整理得到|m-1=√2,解得m=1+√2或m=1-√2.14.如图6,C:x²+(y-2)²=1的圆心为C(0,2),半径为1,D:x²+y²-6x-10y+30=0→(x-3)²+(y-5)²=4,圆心为D(3,5),半径为2,结合C关于x轴的对称点C'(0,-2),连接C'D,与x轴交于点P,此点即为所求，此时四、解答题(共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)解：(1)设圆C₁的一般方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0,…………………(1分)……………………(5分)(一个方程给1分，结果给1分)所以圆C₁的方程为：x²+y²-8x+6y=0.………(6分)(2)C₁和圆C₂相交，理由如下：由(1)得圆C₁的标准方程为：(x-4)²+(y+3)²=25,∵5-2<√17<5+2,所以圆C₁和圆C₂相交，……(10分)所以C₂到直线AB的距离………………(12分)所以16.(本小题满分15分)解：(1)设事件Ak=“甲在第k次投篮投中”,事件B=“乙在第k次投篮投中”,则…………………(1分) (2)记“甲获胜”为事件D,则D=A₁UA₁B₁A₂UAB₁A₂B₂A₃,所以甲获胜的概率为.……………(15分)(每算对一个概率给2分，求和得出最终结果得1分)17.(本小题满分15分)因为OAC平面ABD,平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以OA⊥平面BCD.(4分)(2)[方法一]:通性通法—坐标法设n=(x,y,z)为平面EBC的法向量，则由可求得平面EBC的一个法向量又点C到平面ABD的距离为所以三棱锥A-BCD的体积为.………………(15分)解：如图8所示，作EG⊥BD,垂足为点G.作GF⊥BC,垂足为点F,连接EF,则OA//EG.因为OA⊥平面BCD,所以EG⊥平面BCD,因为……(12分)解：考虑三面角B-EDC,记∠EBD为α,∠EBC为β,∠DBC=30°,化简可得①………(8分)如图9,可知,即有………(12分)结合α的正切值，可得,OA=1……………(14分)