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2026年线性代数期末试卷及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设A为n阶方阵，且|A|=A.(B.(C.2D.−答案：A解析：|−2.设A为3×4矩阵，R(A.1B.2C.3D.4答案：B解析：基础解系所含向量个数等于未知量个数减去系数矩阵的秩，即n−3.设向量组α1A.αB.αC.αD.α答案：C解析：因为(α4.设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，则|A.|B.|C.|D.|答案：B解析：由AA*=|A|I5.下列矩阵中，能与对角矩阵相似的是（）。A.1B.1C.1D.0答案：C解析：矩阵C的特征值为0和2，有两个线性无关的特征向量，故可对角化。A、B是2阶Jordan块，只有一个线性无关的特征向量；D的特征值为0（二重），也只有一个线性无关的特征向量，均不可对角化。二、填空题（每题3分，共15分）1.设A=12答案：−2.若n阶行列式Dn中每一行的元素之和均为0，则D答案：0解析：将各列加到第一列，第一列元素全为0，故行列式值为0。3.已知向量组α1答案：3解析：以这三个向量为列构成矩阵，其行列式非零，故秩为3。4.设λ=2是矩阵A的一个特征值，则矩阵答案：0解析：若A有特征值λ，则多项式f(A)=A2−5.二次型f(答案：1解析：二次型矩阵为对称矩阵，对角线元素为平方项系数，交叉项2aij三、计算题（每题10分，共50分）1.计算行列式D=答案：−解析：将第2,3,D再将第1行的−2,−D继续按第一列展开并化简可得D=2.求矩阵A=答案：A解析：先计算|A|=3.求非齐次线性方程组x1答案：x解析：对增广矩阵作初等行变换：1故方程组有唯一解x14.求矩阵A=答案：特征值λ1=4•λ=4对应k(•λ=1对应k1(1解析：矩阵A=I+J，其中J为全1矩阵。J的特征值为3,0,5.用配方法化二次型f(答案：标准形为f=y解析：配方过程：f再对x2配方：xf令上述变换即得标准形。四、证明题（每题10分，共20分）1.设A为n阶对称矩阵，证明：A的特征值全为实数。答案：证明：设λ为A的特征值，x为对应特征向量，即Ax=λx，x≠x另一方面，x因此λxTx=λxT解析：本题利用对称矩阵的性质和复数共轭，通过比较两种方式计算xT2.设向量组α1,α答案：证明：设存在数k1k整理得

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