初三上册数学-第11讲-平行线分线段成比例（提高）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第11讲----平行线分线段成比例授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标掌握比例的性质及其简单应用；结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段；探索并掌握基本事实“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论；进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建知识框架知识概念（一）线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m：n，或写成EQ\F(AB,CD)=EQ\F(m,n)，其中AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项。1.确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一2.两条线段的比值是长度比，所以结果是正数，没有单位3.图上距离与实际长度的比值通常称为比例尺（二）成比例线段四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．1.四条线段a，b，c，d成比例，只能记作eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)或a：b=c：d，不能写成其他形式。四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序写出。2.判断给定的四条线段是否成比例的方法（1）排：先将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；（2）算：分别求出前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比；（3）判：若这两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是。（三）比例的性质1.基本性质：如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么ad＝bc；如果eq\f(a,b)＝EQ\F(b,c)，那么b2=ac，b叫做a、c的比例中项2.合分比性质：如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么eq\f(a±b,b)＝eq\f(c±d,d)3.等比性质：如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝…＝eq\f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq\f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq\f(a,b).（四）平行线分线段成比例定理1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有：EQ\F(AB,BC)=eq\f(DE,EF)，EQ\F(AB,AC)=\F(DE,DF)，\F(AB,DE)=\F(AC,DF)，等等。3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示：（五）平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有EQ\F(ＡＤ,ＡＢ)＝\F(ＡＥ,ＡＣ)，\F(ＡＤ,ＤＢ)＝\F(ＡＥ,ＥＣ)，\F(ＤＢ,ＡＢ)＝\F(ＥＣ,ＡＣ)典例分析典例分析考点一：线段的比例1、已知a＝0.2，b＝1.6，c＝4，d＝eq\f(1,2)，则下列各式中正确的是()A．a∶b＝c∶dB．a∶c＝d∶bC．a∶b＝d∶cD．b∶a＝d∶c【解析】C例2、2013版《中华人民共和国全图》在左下角特别配有一幅放大的钓鱼岛插图，比例尺为1∶1500000，已知钓鱼岛东西方长约3.5公里，则在地图上的东西方长约为()A．0.0023cmB．0.23cmC．4.29cmD．0.0429cm【解析】B考点二：成比例线段例1、已知点P是线段AB上的点，且AP∶PB＝1∶2，则AP∶AB＝____．【解析】1∶3例2、已知a，b，c，d四条线段依次成比例，其中a＝3cm，b＝(x－1)cm，c＝5cm，d＝(x＋1)cm.求x的值．【解析】依题意，得eq\f(3,x－1)＝eq\f(5,x＋1)，解得x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，∴x＝4例3、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为____米．【解析】9.6考点三：比例的性质例1、将式子ab＝cd(a，b，c，d都不等于0)写成比例式，错误的是()eq\f(a,c)＝eq\f(d,b)B.eq\f(c,b)＝eq\f(a,d)C.eq\f(d,a)＝eq\f(b,c)D.eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)【解析】D例2、若a∶b＝2∶3，则下列式子一定成立的是()A．2a＝3bB．b－a＝1C.eq\f(a＋2,b＋2)＝eq\f(2,3)D.eq\f(a＋b,b)＝eq\f(5,3)【解析】D例3、已知eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(e,f)＝eq\f(2,3)(b＋d＋f≠0)，则eq\f(a＋c＋e,b＋d＋f)＝____．【解析】eq\f(2,3)考点四：平行线分线段成比例定理及其推论例1、如图，l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是()A.eq\f(AC,CE)＝eq\f(BD,DF)B.eq\f(AC,AE)＝eq\f(BD,BF)C.eq\f(CE,AE)＝eq\f(DF,BF)D.eq\f(AE,BF)＝eq\f(BD,AC)【解析】D例2、如图，直线l1∥l2∥l3，已知AG＝0.6cm，BG＝1.2cm，CD＝1.5cm，则CH＝____cm.【解析】0.5例3、如图，已知AB∥CD，下列结论不成立的是()A.eq\f(AO,OD)＝eq\f(BO,OC)B.eq\f(AO,AD)＝eq\f(OB,BC)C.eq\f(OA,OB)＝eq\f(OD,OC)D.eq\f(OA,OB)＝eq\f(BC,AD)（第3题图)（第4题图)【解析】D例4、如图，在三角形ABC中，点E，F分别是AB，AC边上的点，且有EF∥BC，如果eq\f(EB,AB)＝eq\f(4,5)，则eq\f(AC,FC)＝()eq\f(9,4)B.eq\f(5,9)C.eq\f(5,4)D.eq\f(9,5)【解析】C例5、如图，D为△ABC的BC边的中点，E为AC边上的一点，AC=3CE，BE和AD交于G点，则AG：GD=（）A．2B．3C．3或4D．4【解析】过点D作DF∥AC，交BE于F，由D为△ABC的BC边的中点，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由AC=3CE，即可得=4．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意对应线段的对应关系．P(Practice-Oriented)——实战演练第3题第3题实战演练课堂狙击1、已知eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，则下列式子中正确的是()A．a∶b＝c2∶d2B．a∶b＝d∶cC．a∶b＝(a＋c)∶(b＋d)D．a∶b＝(a－d)∶(b－d)【解析】C2、两条直角边为6和8的直角三角形斜边与斜边上的高之比为()A．3∶4B．4∶3C．25∶12D．12∶25【解析】C3、如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于()A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2第5题第4第5题第4题【解析】A4、如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF分别与l1，l2，l3相交于点A，B，C和点D，E，F，如果AB＝1，EF＝3，那么下列各式中，正确的是()A．BC∶DE＝3B．BC∶DE＝1∶3C．BC·DE＝3D．BC·DE＝eq\f(1,3)【解析】C5、如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC.小红同学由此得出了以下四个结论：①eq\f(AN,CN)＝eq\f(AM,AB)；②eq\f(AD,DM)＝eq\f(AM,MB)；③eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,NC)；④eq\f(AD,AM)＝eq\f(AN,AC).其中正确结论的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】C6、已知三条线段的长分别为1cm，2cm，eq\r(2)cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长．【解析】设另一条线段长为xcm，有三种情况：①1×2＝eq\r(2)x，解得x＝eq\r(2)；②2×eq\r(2)＝1·x，解得x＝2eq\r(2)；③1×eq\r(2)＝2x，解得x＝eq\f(\r(2),2).综上所述，另外一条线段的长是2eq\r(2)cm或eq\r(2)cm或eq\f(\r(2),2)cm7、若eq\f(a＋2,3)＝eq\f(b,4)＝eq\f(c＋5,6)，且2a－b＋3c＝21.试求a∶b∶c.【解析】令eq\f(a＋2,3)＝eq\f(b,4)＝eq\f(c＋5,6)＝m，则a＋2＝3m，b＝4m，c＋5＝6m，∴a＝3m－2，b＝4m，c＝6m－5.∵2a－b＋3c＝21，∴2(3m－2)－4m＋3(6m－5)＝21，即20m＝40，解得m＝2，∴a＝3m－2＝4，b＝4m＝8，c＝6m－5＝7.∴a∶b∶c＝4∶8∶78、如图，l1∥l2∥l3，eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3)，DF＝15，则DE＝____，EF＝____．【解析】6，99、如图，△ABC中有菱形AMPN，如果eq\f(AM,BM)＝eq\f(1,2)，那么eq\f(BP,BC)＝____．【解析】eq\f(2,3)10、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE⊥BC于点E.AD＝5，DB＝10，CE＝4.求DE，AC的长度．【解析】∵∠C＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC.∴eq\f(BD,AD)＝eq\f(BE,EC)，即eq\f(10,5)＝eq\f(BE,4).∴BE＝8.由勾股定理可得DE＝6.BC＝BE＋CE＝8＋4＝12，AB＝BD＋AD＝10＋5＝15，由勾股定理可得AC＝9课后反击1、若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则eq\f(a＋b,c－2b)的值是()A．2B．－2C．3D．－3【解析】B2、已知线段a，b，c，求作线段x使ax＝bc，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是()【解析】A3、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解析】C4、已知线段a，b，c，且eq\f(a,2)＝eq\f(b,3)＝eq\f(c,4).(1)求eq\f(a＋b,b)的值；(2)若线段a，b，c满足a＋b＋c＝27，求a，b，c的值．【解析】(1)∵eq\f(a,2)＝eq\f(b,3)，∴eq\f(a,b)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(a＋b,b)＝eq\f(5,3)(2)设eq\f(a,2)＝eq\f(b,3)＝eq\f(c,4)＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a＋b＋c＝27，∴2k＋3k＋4k＝27，∴k＝3，∴a＝6，b＝9，c＝125、如图所示，若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB＝10，eq\f(AP,BP)＝eq\f(AQ,BQ)＝eq\f(3,2)，求线段PQ的长．【解析】设AP＝3x，BP＝2x.∵AB＝10，∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即5x＝10.∴x＝1.∴AP＝6，BP＝4.∵eq\f(AQ,BQ)＝eq\f(3,2)，∴可设BQ＝y，则AQ＝AB＋BQ＝10＋y.∴eq\f(10＋y,y)＝eq\f(3,2).解得y＝20.∴PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝246、如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F，如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长．【解析】设DE为x，则EF＝21－x，∵AD∥BE∥CF，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)，即eq\f(6,8)＝eq\f(x,21－x).解得x＝9，经检验，x＝9是原分式方程的解，∴DE＝97、如图，点E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，DE交BC于点F，eq\f(BE,AB)＝eq\f(1,3)，EF＝2，BF＝1.5.求DF，BC的长．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴eq\f(BE,AB)＝eq\f(EF,DF)，∴eq\f(1,3)＝eq\f(2,DF)，∴DF＝又∵CD∥BE，∴eq\f(BF,CF)＝eq\f(EF,DF)，∴eq\f(1.5,FC)＝eq\f(2,6)，∴CF＝4.5，∴BC＝FC＋BF＝68、如图，点E为AC的中点，点F在AB上，且AF∶AB＝2∶5，FE与BC的延长线交于点D，求EF∶ED的值．【解析】作EG∥BC交AB于点G，∵点E为AC的中点，EG∥BC，∴AG＝BG，又∵AF∶AB＝2∶5，即AF∶FB＝2∶3，∴FG∶BG＝0.5∶2.5＝1∶5，又∵EG∥BC，∴eq\f(FG,BG)＝eq\f(EF,ED)，即EF∶ED＝1∶5直击中考直击中考1、【2014•牡丹江】若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）﹣5 B．﹣ C． D．5【解析】A2、【2013•山西】若互不相等的四条线段的长a、b、c、d满足，m是任意实数，则下列各式中，一定成立的是（）A． B．C． D．【解析】D3、【2015•成都】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】B4、【2015•嘉兴】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）第4题第5题A