高考数学一轮复习 第29讲　等比数列及其前n项和 学用

第29讲等比数列及其前n项和知识整合体系重构激活思维1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝()A．14 B．12C．6 D．32．(2021·全国甲卷)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn．设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则()A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分又不必要条件3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2λ＋(λ－3)·2n(λ为常数)，则λ＝()A．－2 B．－1C．1 D．24．(2025·新高考Ⅰ卷)若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为____________．聚焦知识1．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式为an＝____________，其推导方法是累乘法．2．等比数列的前n项和公式设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝________________；当q≠1时，Sn＝______________，其推导方法是错位相减法．3．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，t，r，k∈N*)．(1)若m＋n＝p＋t＝2r，则am·an＝ap·at＝aeq\o\al(2,r)．(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1，或q＝－1且m为奇数)．(4)若{bn}(与{an}项数相同)也是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列．(5)若an＞0，则{logaan}(a＞0且a≠1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列．(6)∀m，p∈N*，Sm＋p＝Sm＋qmSp．(7)若{an}共有2n项，则eq\f(S偶,S奇)＝q，其中S偶，S奇分别是数列{an}的偶数项和与奇数项和．(8)等比数列的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．4．常用结论(1)等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，其中c≠0，q≠0．(2)等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A，其中A≠0，q≠1,0．题型突破思维拓展举题说法等比数列的基本量运算例1(1)(2026·肇庆一模)设Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a5＋3a6＝8，a8＋3a9＝64，则S3＝()A．eq\f(1,14) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．2(2)(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝()A．eq\f(15,8) B．eq\f(65,8)C．15 D．40等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(2)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．变式1(2026·江门调研)(多选)已知等比数列{an}的首项为4，公比为q，前n项和为Sn．若eq\f(S10,S5)＝eq\f(33,32)，则()A．q＝－eq\f(1,2) B．S3＝7C．an＋Sn＝8 D．log2an＝n－3等比数列的判定与证明例2(2025·三明5月质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,2nan＋1＋eq\f(5,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n＝2n＋1an．(1)若a1≠eq\f(1,3)，证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(1,3n)))为等比数列；(2)若a1＝eq\f(7,3)，求使不等式Sn＞2025成立的n的最小值．等比数列的两种常用判定方法(1)定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．变式2(2025·八省联考)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq\f(3an,an＋2)．(1)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,an)))为等比数列；(2)求{an}的通项公式；(3)令bn＝eq\f(an＋1,an)，证明：bn＜bn＋1＜1．等比数列的性质及其应用视角1项的性质例3－1(1)(2026·三门峡期中)在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝()A．－4 B．－3C．3 D．4(2)(2025·苏州期初)(多选)已知数列{an}是等比数列，则()A．数列{aeq\o\al(2,n)}是等比数列B．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列C．数列{an＋an＋1}是等比数列D．数列{lgaeq\o\al(2,n)}是等比数列视角2和的性质例3－2(2025·苏锡常镇二模)已知等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn，则对于∀n∈N*，下列结论一定正确的是()A．Sn＋S3n＝2S2n B．3Sn＋S3n＝2S2nC．Seq\o\al(2,2n)＝SnS3n D．S2n(S2n－Sn)＝Sn(S3n－Sn)变式3(2025·赣州二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S20＝21，S30＝49，则S10＝()A．－7 B．7C．63 D．7或63随堂内化1．(2025·南昌一模)已知{an}为等比数列，若a2＋4a4＝4a3，则{an}的公比q＝()A．－2 B．2C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)2．(2025·苏锡常镇一模)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＝4a3－4a2，则eq\f(S4,a1＋a2)＝()A．5 B．9C．－9 D．－53．(2026·无锡期中)在数列{an}中，a1＝1，若数列{an·an＋1}是公比为2的等比数列，则a1＋a3＋a5＋…＋a19＝()A．2048 B．2047C．1024 D．10234．(2026·保定期中)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}是等比数列，乙：{Sn＋2－Sn}是等比数列，则()A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分又不必要条件配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．(2025·青岛二测)记等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＋a3＝6，a1a4＝8，则S4＝()A．15 B．14C．13 D．122．(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝()A．120 B．85C．－85 D．－1203．(2025·南京盐城一模)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3．若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是()A．4 B．5C．6 D．74．(2026·武汉期初)已知正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点A1，B1，C1，D1作第二个正方形A1B1C1D1，然后再取正方形A1B1C1D1各边中点A2，B2，C2，D2作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为()A．2－eq\f(1,212) B．2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,210)))C．2－eq\f(1,211) D．2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,211)))二、多项选择题5．(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，且q＞0．若S3＝7，a3＝1，则()A．q＝eq\f(1,2) B．a5＝eq\f(1,9)C．S5＝8 D．an＋Sn＝86．(2026·宁波一模)已知等比数列{an}满足a1a2＝1，则下列说法正确的是()A．若a1＞1，则数列{an}是递减数列B．若0＜a1＜1，则数列{an}是递减数列C．若－1＜a1＜0，则数列{an}是递增数列D．若a1＜－1，则数列{an}是递增数列7．(2025·泉州二检)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，{an}的前n项积为Tn．若a10＝1，S10－S7＝7，则()A．数列{log2an}为等差数列 B．a1＝1024C．Sn＜1024 D．Tn的最大值为245三、填空题8．(2025·青岛期末)递增等比数列{an}的各项均为正数，且10a2＝3(a1＋a3)，则eq\f(a10＋a4,a8＋a2)＝______________．9．(2024·邵阳一模)已知数列{an}的首项为1，anan＋1＝3n(n∈N*)，则a8＝____________．10．(2026·徐州期中)在各项均为正数的等比数列{an}中，a4a6＝a7，则a5＋16a2的最小值为_____________．四、解答题11．(2025·厦门二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋an＝n＋3．(1)求证：数列{an－1}是等比数列；(2)记数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,an－1)))的前n项和为Tn，求满足Tn＞2026的最小正整数n的值．12．(2025·清远二模)已知数列{an}的首项为a1＝4，且满足an＋1＋an＝6×5n(n∈N*)．(1)求证：{an－5n}是等比数列；(2)求数列{an