高中数学导学案 第二节　常用逻辑用语

第二节常用逻辑用语新课标要求真题分布1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．3．理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．2025年北京卷T72024年新高考Ⅱ卷T22023年新高考Ⅰ卷T7必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.充分条件、必要条件与充要条件p是q的________________条件p⇒q且qD⇒/pp是q的________________条件pD⇒/q且q⇒pp是q的________________条件p⇔qp是q的________________条件pD⇒/q且qD⇒/p剖析若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的必要条件，则B⊆A；③若p是q的充分不必要条件，则AB；④若p是q的必要不充分条件，则BA；⑤若p是q的充要条件，则A＝B.2．全称量词与存在量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做________，用符号“________”表示．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，用符号“________”表示．3．全称量词命题与存在量词命题及其否定名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记________________∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)________________注：M为变量X的取值范围自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．()(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．()(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．()(4)命题“∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12”是真命题．2．(人教A版必修一P31习题T1，2改编)下列命题为假命题的是()A．有些实数是无限不循环小数B．每一个末位是0的整数都是5的倍数C．至少有一个整数n，使n2＋1是4的倍数D．对任意负数x，x2的平方是正数3．(多选)(人教A版必修一P18例1改编)下列命题中，p是q的充分条件的是()A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直B．若x2＝1，则x＝1C．若a＝b，则ac＝bcD．若x，y为无理数，则xy为无理数4．(人教A版必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是________________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一充分条件与必要条件考向1充分条件、必要条件的判定例1(1)(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin2x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[听课笔记]学霸笔记：充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p两种情况是否成立进行判断，此时应明确以下三点：一要分清条件与结论分别是什么；二要从充分性、必要性两个方面进行判断；三直接判断有困难时，可举反例判断．(2)集合法：如果条件p和结论q都以集合的形式出现，即A={x|x满足条件p}B={x|x满足条件q}，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．跟踪训练(1)(2026·六安毛坦厂中学模拟)“a>b”是“lga>lgb”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2026·泉州模拟)设A＝{x|1≤2x≤4}，B＝{x|x2≤4x}，则x∈A是x∈B的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考向2充分条件、必要条件的探求与应用例2(1)已知a，b∈R，则以下选项中为“a>b”的充分条件的是()A．3a>4bB．a2>b2C．a>|b| D．2a>3b(2)(2026·包头模拟)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－a|<1”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为()A．[1，4] B．(－∞，1]C．[4，＋∞) D．(1，4)[听课笔记]学霸笔记：(1)充分不必要条件的探求是选择推出结论的条件(选择题中是由选项推出结论)；必要不充分条件的探求是判断由结论能够得到什么条件(选择题中是由结论推出选项)．(2)在利用集合关系列不等式时，不等式是否能够取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解．跟踪训练(1)“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有实数根”的充要条件是________；(2)“一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件可以是________；(3)“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根”的充要条件是________．命题点二全称量词与存在量词考向1含量词命题的否定及真假判断例3(1)(2026·哈尔滨二模)命题“∀x>0，ex＋1≤3x”的否定是()A．∃x≤0，ex＋1>3xB．∃x>0，ex＋1≤3xC．∃x>0，ex＋1>3xD．∀x>0，ex＋1>3x(2)(链接·2024年新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1，命题q：∃x>0，x3＝x，则()A．p和q都是真命题B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题D．¬p和¬q都是真命题真题探源(源自人教A版必修一P35T7改编)下列命题的否定为真命题的是()A．∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根B．每个正方形都是平行四边形C．∃m∈N,m2+1D．存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°[听课笔记]学霸笔记：(1)含量词命题的否定，一是要改变量词，二是要否定结论．(2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x证明p(x)成立；判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x使p(x)成立即可．考向2由含量词命题的真假求参数例4(2026·南阳模拟)已知a∈R，若“∃x∈R，a＝2x＋1”为假命题，则a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)[听课笔记]学霸笔记：由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与¬p的关系，转化成由¬p的真假求参数的范围．跟踪训练若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．{a|－1≤a≤3}B．{a|－1<a<3}C．{a|a≤－1，或a≥3}D．{a|a<－1，或a>3}提示：请完成课时作业2第二节常用逻辑用语必备知识·助学教材知识清单1．充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2．(1)全称量词∀(2)存在量词∃3．∀x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)自主诊断1．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．解析：对于A，实数包含有理数和无理数，其中无理数包含无限不循环小数，故A为真命题；B为真命题；对于C，假设有一个整数n，使n2＋1是4的倍数，则n2＋1能被4整除，故n2＋1为偶数，所以n2为奇数，即n为奇数，设n＝2k＋1，k∈N，则n2＋1＝4k2＋4k＋2，故n2＋1除以4的余数为2，与题设矛盾，因此不存在整数n，使n2＋1是4的倍数，故该命题为假命题；D为真命题.故选C.答案：C3．解析：A中p⇒q，所以p是q的充分条件；B中由于(－1)2＝1，但－1≠1，所以pDq，所以p不是q的充分条件；C中由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件；D中2为无理数，但2×2＝2为有理数，pDq，所以p不是q的充分条件．答案：AC4．答案：任意一个偶数都不是素数考教衔接·活用教材例1解析：(1)由x＝0⇒sin2x＝sin0＝0，则“x＝0”是“sin2x＝0”的充分条件；又当x＝π时，sin2x＝sin2π＝0，可知sin2x＝0Dx＝0，故“x＝0”不是“sin2x＝0”的必要条件，综上可知，“x＝0”是“sin2x＝0”的充分不必要条件．故选A.解析：(2)若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，充分性成立；取f(x)＝2x，D＝R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1，取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立，所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件．故选A.答案：(1)A答案：(2)A跟踪训练解析：(1)由y＝lgx在(0，＋∞)上单调递增，所以lga>lgb⇒a>b>0，当0>a>b时，lga，lgb没有意义，所以a>b不能推出lga>lgb，所以“a>b”是“lga>lgb”的必要不充分条件．故选B.解析：(2)由A＝{x|1≤2x≤4}＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2≤4x}＝{x|0≤x≤4}，所以AB，即x∈A是x∈B的充分不必要条件．故选A.答案：(1)B答案：(2)A例2解析：(1)若a＝－4，b＝－3.5，满足3a>4b，不满足a>b，故A不符合题意；当a＝－2，b＝1满足a2>b2，不满足a>b，∴B不符合题意；若a>|b|，又∵|b|≥b，∴a>b，∴C符合题意；a＝－3，b＝－2，满足2a>3b，不满足a>b，故D不符合题意．故选C.(2)∵x2－5x<0，∴0<x<5，∵|x-a|<1，∴a-1<x<a+1，∴0<x<5是a-1<x<a+1的必要不充分条件，则a-1≥0，a+1<5或a-1>0，a+1≤5答案：(1)C答案：(2)A跟踪训练解析：(1)一元二次方程x2＋ax＋1＝0有实数根，应满足Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2，∴实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0的两个根为a，a＋1，∵有一个正实数根和一个负实数根，∴a<0，a+1>0，∴∵-12，0(－∴“一元二次方程（x-a）(x-a-1)=0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是a-12<a<0((3)一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根，则Δ＝a2－4>0，∴a>2或a<－2，又两个根的和－a>0，∴a<0，∴a<－2，∴“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根”的充要条件是{a|a<－2}．答案：(1)(－∞，－2]∪[2，＋∞)(2){a-12<a<0}(不(3){a|a<－2}例3解析：(1)命题“∀x>0，ex＋1≤3x”为全称量词命题，其否定为∃x>0，ex＋1>3x.故选C.解析：(2)对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B.答案：(1)C答案：(2)B真题探源解析：对于A，因为Δ＝(－a)2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0恒成立，故此方程对于任意的实数a都有实根，故命题的否定为假命题；对于B，因为所有的正方形都是平行四边形，所以不存在一个正方形不是平行四边形，故命题的否定为假命题；对于C，取m＝0