高中数学导学案 第五节　指数式与对数式的运算

第五节指数式与对数式的运算新课标要求真题分布1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．2025年北京卷T92024年全国甲卷T15，北京卷T72023年北京卷T11必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.根式(1)一般地，如果xn＝a，那么________叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝________，当n为奇数时，eq\r(n,an)＝________，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分数指数幂(1)正数的正分数指数幂：aeq\s\up6(\f(m,n))＝________(a＞0，m，n∈N*，n＞1).(2)正数的负分数指数幂：a－eq\f(m,n)＝________＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1).(3)0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________．3．指数幂的运算性质(1)aras＝________(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝________(a＞0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝________(a＞0，b>0，r∈Q).4．对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．5．对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质①alogaN＝________(a>0，且a≠1，N>0).②logaab＝________(a>0，且a≠1，b∈R).(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝________；②logaeq\f(M,N)＝________；③logaMn＝________(n∈R).(3)换底公式logab＝________(a>0，且a≠1；b>0；c>0且c≠1)【常用结论】换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)eq\r(4,（－4）4)＝－4.()(2)(－1)eq\s\up6(\f(2,4))＝(－1)eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\r(－1).()(3)log2x2＝2log2x.()(4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.()2．(多选)(人教A版必修一P109习题T1改编)下列各式运算正确的是()A．eq\r(4,1004)＝100 B．eq\r(5,（－0.1）5)＝－0.1C．eq\r(（π－4）2)＝π－4 D．eq\r(6,（x－y）6)＝x－y3．(人教A版必修一P109习题T2(1))设a>0，则下列运算中正确的是()A．aeq\f(4,3)aeq\f(3,4)＝aB．a÷aeq\f(2,3)＝aeq\f(3,2)C．aeq\f(2,3)a－eq\f(2,3)＝0D．(aeq\f(1,4))4＝a4．(人教A版必修一P126练习T1(2)改编)(lg5)2＋lg2×lg5＋lg2＝________．命题点一指数式的化简与求值考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”例1计算与化简：(1)计算：eq\r(5,（－4）5)－(eq\f(1,8))0＋0.64eq\f(1,2)×(－eq\f(1,\r(2)))－4.(2)化简：eq\f(\r(a3b2·\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4a－\f(1,3)b\f(1,3))(a>0，b>0).(3)已知aeq\f(1,2)－a－eq\f(1,2)＝eq\r(5)，求aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2).[听课笔记]学霸笔记：(1)首先将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练(1)化简4aeq\f(2,3)·b－eq\f(1,3)÷(－eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)beq\f(2,3))的结果为()A．－eq\f(2a,3b)B．－eq\f(8a,b)C．－eq\f(6a,b)D．－6ab(2)计算：(eq\f(1,64))－eq\f(1,3)－[(－3)2]eq\f(3,2)＋(eq\r(3,3)×eq\r(6,6))6＝________．命题点二对数式的运算例2计算下列各式：(1)lg40·lg250＋(lgeq\f(2,5))2.(2)log23·log34＋(lg5)2＋lg5·lg20＋eq\f(1,2)lg16－2log23.[听课笔记]学霸笔记：(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运对数算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质、换底公式，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算．跟踪训练(1)(2026·蚌埠模拟)计算：(log98＋log92)×log43＝________．(2)已知a>1，且eq\f(1,log8a)－eq\f(1,loga4)＝－eq\f(5,2)，则a＝________.命题点三指数式与对数式的综合应用例3(1)若实数a，b满足3a＝4b＝36，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝()A．－2B．2C．－1D．1(2)(2026·孝感模拟)若logab＋logba＝eq\f(10,3)，ab＝ba，则ab＝()A．6B．7C．8D．9[听课笔记]学霸笔记：对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k(k>0)，则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解．跟踪训练已知6a—2b—k，若eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝2，则k＝()A．eq\r(3)B．3C．6D．9命题点四指数式与对数式的实际应用例4(链接·2025年北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)()A．2B．4C．20D．40[听课笔记]真题探源(源自人教A版必修一P126例5)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8＋1.5M.2021年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)?学霸笔记：先弄清题目条件与所求之间的关系，再运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求．提示：请完成课时作业10第五节指数式与对数式的运算必备知识·助学教材知识清单1．(1)x(2)根式(3)aa2．(1)nam3．(1)ar＋s(2)ars(3)arbr4．x＝logaN5．(1)①N②b(2)①logaM＋logaN②logaM－logaN③自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：41004＝100，故A正确；5-0.15＝－0.1，故B正确；π-42＝4－π，故C不正确；6x-y6＝x－y答案：AB3．解析：∵a>0，∴a43a34＝a43+34＝a2512，故A错误；a÷a2答案：D4．解析：(lg5)2＋lg2×lg5＋lg2＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝1.答案：1考教衔接·活用教材例1解析：15-45-180+0.6412(2)原式＝a32ba(3)因为a12+a-122＝a＋a-1＋2＝a12-a-122＋跟踪训练解析：(1)原式4＝-6a23解析：(2)原式＝143-13-32答案：(1)C答案：(2)31例2解析：(1)lg40·lg250＋lg252＝(lg4＋1)(3－lg4)＋(lg2－lg＝(2lg2＋1)(3－2lg2)＋(2lg2－1)2＝－4(lg2)2＋4lg2＋3＋4(lg2)2－4lg2＋1＝4.(2)log23·log34＋(lg5)2＋lg5·lg20＋1＝lg3lg2×lg4lg3＋(lg5)2＋lg5·lg(2×＝lg3lg2×2lg2lg3＋(lg5)2＋lg5·(lg2＋lg10)＝2＋(lg5)2＋lg5lg2＋lg5＋2lg2－3＝－1＋lg5(lg5＋lg2)＋lg5＋2lg2＝－1＋2lg5＋2lg2＝－1＋2＝1.跟踪训练解析：(1)(log98＋log92)×log43＝log916×log43＝log3242×log43＝log34×log43(2)由1log8a-1loga4＝3log2a-12log2a＝－52，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0⇒log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以答案：(1)1(2)64例3解析：(1)因为3a＝4b＝36，则a＝log336，b＝log436，所以2a+1b＝2log363＋log364＝log36(32×4)(2)显然a>0且a≠1，b>0且b≠1，设t＝logba，代入logab＋logba＝103，可得t＋1t＝103，即3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或t＝13.若t＝3，则logba＝3，即a＝b3，又因为ab＝ba，所以b3b＝ba，则a＝3b＝b3，解得b＝3，a＝33，所以ab＝9；若t＝13，则logba＝13，即a＝b13.又因为ab＝ba.所以b答案：(1)D答案：(2)D跟踪训练解析：由题知a＝log6k，b＝log2k，所以1a＝logk6，1b＝logk2，故1a-1b＝logk6－logk2＝logk3＝2，解得答案：A例4解析：设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2212×106＝k(12＋6l