高中数学导学案 第三节　导数与函数的极值、最值

第三节导数与函数的极值、最值新课标要求真题分布1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．3．体会导数在研究单调性、极大(小)值、最大(小)值中的作用．2025年全国Ⅰ卷T19(1)，全国Ⅱ卷T10，T132024年新高考Ⅰ卷T10，新高考Ⅱ卷T11，T162023年新高考Ⅱ卷T11，T22必备知识·助学教材清单式排查彰显一个“准”知识清单1.函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________．则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________．则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为______________，极小值和极大值统称为______________．剖析对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．极大值与极小值之间没有必然的大小关系．2．函数的最值与导数(1)如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的________，f(b)为函数的________；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的________，f(b)为函数的________．剖析若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．极值有可能是最值，若函数在闭区间[a，b]内的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(2)导数等于0的点一定是函数的极值点．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()2．(人教A版选修二P92T1改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点3．(人教A版选修二P94T1(3)改编)函数f(x)＝6＋12x－x3，x∈-13，3的最大值为________4．(人教A版选修二P95例7(1)改编)函数f(x)＝(x＋1)ex的极小值为________．考教衔接·活用教材探究式精练收获一个“赢”命题点一导数与函数的极值考向1由函数图象判断极值(点)例1：(多选)已知f′(x)为函数f(x)的导函数，若函数y＝f′(x)－1的图象大致如图所示，则()A．f(x)有3个极值点B．x＝3是f(x)的极大值点C．x＝－4是f(x)的极大值点D．f(x)在(0，4)上单调递增[听课笔记]学霸笔记：(1)涉及与极值有关的函数图象问题，首先要分清给的是f(x)还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点．(2)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点．(3)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．跟踪训练(2026·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列选项正确的是()A．f(x)有2个极值点B．f(x)在x＝2处取得极大值C．f(x)在(－∞，2)上单调递增D．f(x)有极小值，没有极大值考向2求函数的极值例2：(2026·潍坊模拟节选)已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋1，讨论f(x)的极值学霸笔记：求函数极值的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出导函数的定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．跟踪训练求函数f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x的极值．考向3由函数的极值(点)求参数例3：(1)(多选)(链接·2023年新高考Ⅱ卷)若函数f(x)＝alnx＋bx+cx2(a≠0)既有极大值也有极小值A．bc>0B．ab>0C．b2＋8ac>0D．ac<0(2)(链接·2025年全国Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________．真题探源(源自人教B版选修三P101B组T3)设函数f(x)＝ax3＋3x＋2有极值，求a的取值范围，并求出函数的极值点．学霸笔记：(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．命题点二导数与函数的最值考向1不含参函数的最值例4：(链接·2025年全国Ⅰ卷19题节选)设函数f(x)＝5cosx－cos5x，求f(x)在0，π真题探源(源自人教A版选修二P93例6)求函数f(x)＝13x3－4x＋4在区间[0，3]上的最大值与最小值学霸笔记：求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．考向2含参函数的最值例5：已知a∈R，函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[0，1]上的最小值．学霸笔记：(1)由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致函数最值的变化，故函数含参数时，需注意是否需要分类讨论．(2)已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．跟踪训练已知函数f(x)＝4x3－ax2＋3在[0，2]上的最大值为3，则实数a的取值范围是()A．(0，8)B．[12，＋∞)C．[8，12)D．[8，＋∞)提示：请完成课时作业18第三节导数与函数的极值、最值必备知识·助学教材知识清单1．(1)f′(x)＜0f′(x)＞0(2)f′(x)＞0f′(x)＜0(3)极值点极值2．(1)连续不断(2)最小值最大值最大值最小值自主诊断1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．解析：由题图可知极大值点有两个，极小值点有两个．故选C.答案：C3．解析：f(x)＝6＋12x－x3，x∈-13，3的导数为f′(x)＝12－3x2，由f′(x)＝0，可得x＝2(x＝－2舍去)，f(2)＝6＋24－8＝22，f(3)＝6＋36－27＝15，f-13＝6－4＋127＝5527答案：22554．解析：函数的定义域为R.f′(x)＝(x＋2)ex.由f′(x)＞0，解得x＞－2；由f′(x)＜0解得x＜－2.所以f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增．当x＝－2时，f(x)有极小值f(－2)＝－1e答案：－1考教衔接·活用教材例1解析：根据函数y＝f′(x)－1的图象得，当x∈(－∞，－4)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－4，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，4)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)有3个极值点，其中x＝－4和x＝4是f(x)的极大值点，且f(x)在(0，4)上单调递增，x＝0是f(x)的极小值点，结合选项，可得ACD正确，B错误．故选ACD.答案：ACD跟踪训练解析：由题图得，当x<4时，f′(x)≤0，当且仅当x＝2时取等号；当x>4时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．因此函数f(x)有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确．故选D.答案：D例2解析：函数f(x)＝lnx－a2x2＋1的定义域为(0，＋∞)对f(x)＝lnx－a2x2＋1求导得f′(x)＝1当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值；当a>0时，令f′(x)＝1-ax2x＝0，即1－ax2＝0，解得x＝aa当x∈0，aa时，f′(x)>0，f(当x∈aa，+∞时，f′(x)<0，f(因此，f(x)在x＝aa处取得极大值，极大值为faa＝lnaa-a2·aa2＋1＝－12lna＋综上，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)有极大值12(1－lna)跟踪训练解析：f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)ex由f′(x)>0得x<－2或x>－ln2，由f′(x)<0得－2<x<－ln2，所以f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上递增；f(x)在(－2，－ln2)上递减．综上，当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝4(1－e-2)；当x＝－ln2时，f(x)取得极小值f(－ln2)＝－(ln2)2＋2ln2＋2.例3解析：(1)因为函数f(x)＝alnx＋bx+cx2(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax2-bx-2cx3，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x(2)由题意有f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)，所以f′(x)＝(x－a)(x－1)＋(x－1)(x－2)＋(x－a)(x－2)．因为2是函数f(x)的极值点，所以f′(2)＝2－a＝0，得a＝2，当a＝2时，f′(x)＝2(x－2)(x－1)＋(x－2)2＝(x－2)(3x－4)，当x∈-∞，43，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈43，2，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极小值点，符合题意．所以f(0)＝－1×(－2)×(－a答案：(1)BCD(2)－4真题探源解析：已知f(x)＝ax3＋3x＋2，函数的定义域为R，可得f′(x)＝3ax2＋3，若函数f(x)有极值，此时f′(x)＝0有两个不同的解，即3ax2＋3＝0有两个不同的解，所以a<0，当x<－-1a时，f′(x)<0，f(x当－-1a<x<-1a时，f′(x)>0，f当x>-1a时，f′(x)<0，f(x所以f(x)的极大值点为x＝-1a，f(x)的极小值点为x＝－例4解析：f′(x)＝－5sinx＋5sin5x＝5(sin5x－sinx)＝5[sin(3x＋2x)－sin(3x－2x)]＝5×2cos3xsin2x＝10cos3xsin2x，因为x∈0，π4，故2x∈0，π2当0<x<π6时，cos3x>0即f′(x)>0当π6<x<π4时，cos3x<0即f′(x故f(x)在0，π6上单调递增，在π故f(x)在0，π4上的最大值为fπ6＝5cosπ6真题探源解析：∵f(x)＝13x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4由f′(x)＝x2－4＝0，得x＝2，或x＝－2.∵x∈[0，3]，∴x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，2)2(2，3)3f′(x)－0＋f(x)4单调递减极小值－4单调递增1由上表可知，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝4；当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－43例5解析：(1)由题意可得f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(2ex＋1)(aex－1)，注意到ex>0，2ex＋1>0，①若a≤0，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；②若a>0，令f′(x)＝0时，解得x＝－lna.当x>－lna，f′(x)>0；当x<－lna，f′(x)<0.所以f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增，在(－∞，－lna)上单调递减．综上，a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；a>0时，f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增，在(－∞，－lna)上单调递减．(2)由(1)知a>0时，f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增，在(－∞，－lna)上单调递减，①当－lna≤0时，即a≥1时，函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝2a－2；②当0<－lna<1时，即1e