高中数学导学案 微专题9　重构数列问题

微专题9重构数列问题多元视角·拓展教材开放式拓展实现一个“广”视角一公共项问题例1已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2+n2，数列{bn}为等比数列，公比为2，且b1，b2＋1，(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn.[听课笔记]学霸笔记：(1)“等差—等差”型：两个等差数列的公共项也构成等差数列，公差为两等差数列公差的最小公倍数(考查较多)．(2)“等比—等比”型：两个等比数列的公共项构成等比数列，公比由原数列的两个公比共同决定，需就题具体分析(考查较少)．(3)“等差—等比”型：此类数列的公共项一般很难找到规律，采用列举法求解即可．跟踪训练(衔接·人教A版选修二P25习题T8改编)已知等差数列{an}：5，8，11，…和等差数列{bn}：3，7，11，…各有100项，问它们有多少个相同的项？记这些共同的项从小到大依次构成数列{cn}，问数列{cn}是否为等差数列？视角二添项或减项问题例2(2026·无锡模拟)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，数列{bn}满足b1＋b23+(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)将{bn}中的项按从小到大的顺序插入{an}中，且在任意的ak，ak＋1之间插入(2k－1)项，从而构成一个新数列{cn}，设{cn}的前n项和为Tn，求T100(请用数字作答)．[听课笔记]学霸笔记：第1步：分析原数列→确定原数列的类型，求出原数列的通项公式，对原数列的性质“心中有数”．第2步：确定原则→提取关键信息，是添项还是减项，如何添、减？若对抽象的数学语言无法理解，就取特例分析．第3步：分组求解→分组之后，找组与组之间的共性与区别，分析组内数列的项的特征，由此求值或求和．第4步：做好总结→注意总结每组的情况，最后从“大局”出发给出结论．跟踪训练(2026·衡阳模拟)数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足bn＝nan(n∈N*)，且数列{bn}的前n项和为(n－1)Sn＋2n.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)抽去数列{an}中点第1项，第4项，第7项，…，第(3n－2)项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.提示：请完成微专题9

微专题9重构数列问题例1解析：(1)由Sn＝3n2+n2，得当n＝1时，a1＝S当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，当n＝1时，上式也成立，所以an＝3n－1.依题意，b1＋b3＝2(b2＋1)，即b1＋b1·22＝2(b1·2＋1)，解得b1＝2，所以bn＝2n.(2)数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为21，23，25，27，…，所以21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，所以cn＝2×4n－1，则Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝21-4n1-4＝23跟踪训练解析：由题易得an＝3n＋2，bn＝4n－1.假设数列{an}的第n项与数列{bn}的第k项相同，即有3n＋2＝4k－1，所以n＝43k－而n∈N*，k∈N*，则k必是3的倍数．设k＝3t(t∈N*)，所以n＝4t－1.由题设知，两数列各有100项，则1≤3t≤100，1≤又t∈N*，故两数列共有25个相同的项．将n＝4t－1代入an＝3n＋2(或将k＝3t代入bk＝4k－1)，得a4t－1＝3(4t－1)＋2＝12t－1(或b3t＝12t－1)，所以ct＝a4t－1＝12t－1，ct＋1＝12(t＋1)－1＝12t＋11，ct＋1－ct＝12(常数)，故数列{cn}是以12为公差的等差数列．例2解析：(1)an＋1＋1＝2(an＋1)，a1＋1＝4≠0，an+1+1an+1＝2(∴{an＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝4×2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－1，b1＋b23+b35＋…＋b1＋b23+b35＋…＋bn-12n-3＝n－①－②得bn2n-1＝1，bn＝2n－1(n≥令n＝1，b1＝1成立，∴bn＝2n－1.(2)a1a2a3a4…akak＋1↑↑↑…↑插入1项3项5项…(2k－1)项项数有2项4项6项…2k项新数列在ak＋1之前共有2+2kk2项，则2+2kk(k＋1)k≤100，k≤9，当k＝9时，2+2kk2＝∴T100＝(a1＋a2＋…＋a10)＋(b1＋b2＋…＋b90)＝4-2121-2－10＋1+179×902＝4096－4跟踪训练解析：(1)由题意得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n，①当n＝1时，a1＝2，当n＝2时，a1＋2a2＝S2＋4＝a1＋a2＋4，所以a2＝4.当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)，②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝Sn＋(n－2)an＋2，所以Sn＝2an－2(n≥2)，当n＝1时，a1＝2，也适合上式，所以Sn＝2an－2(n∈N*)，所以Sn－1＝2an－1－2(n≥2)，两式相减得an＝2an－1(n≥2)，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n.(2)抽去数列{an}中第1，4，7，…，3n－2项后，余下的项为a2，a3，a5，a6，a8，a9，…，a3n－1，a3n，即新数列{cn}的前2n项为c1＝a2，c2＝a3，c3＝a5，c4＝a6，…，c2n－1＝a3n－1，c2n＝a3n，分组求和：T2n＝(a2＋a