人教版数学七年级下册 10.3实际问题与二元一次方程组（第2课时 作物种植问题） 教案

10.3实际问题与二元一次方程组（第2课时：作物种植问题）（教学设计）1.教学内容本课时是人教新版七年级下册第十章《二元一次方程组》10.3实际问题与二元一次方程组第2课时：作物种植问题.本节课主要内容包括：以“作物种植方案设计”问题为载体，通过画图、列表等方式分析较复杂的数量关系；探索将长方形土地分割为两块小长方形种植不同作物的方案；用二元一次方程组解决涉及比例关系的实际问题；从不同角度寻求解决问题的途径，体验方案设计的多样性.内容解析本节课是第十章“二元一次方程组”应用部分的深化与拓展，是在学生已经掌握列二元一次方程组解应用题的一般步骤（探究1：牛饲料问题）的基础上进行的.从知识体系看，本节课将代数方法与几何图形有机结合，通过图形的分割与组合，将抽象的等量关系直观化，体现了数形结合思想的应用价值.从思想方法层面看，本节课集中体现了“数学建模思想”的完整过程，同时渗透了“数形结合思想”（借助图形分析数量关系）和“优化思想”（多角度寻求设计方案）.教材中的探究2具有较强的开放性和探究性，为培养学生的创新意识和实践能力提供了良好素材.基于以上分析，本节课的教学重点为：借助图形分析复杂问题中的数量关系，列二元一次方程组解决实际问题.教学目标（1）能够借助画图、列表等方式分析实际问题中的数量关系，找出相等关系，列出二元一次方程组；能根据方程组的结果，用语言描述具体的划分方案；学会从不同角度寻求解决问题的途径，体验方案设计的多样性.（2）经历从实际问题抽象出数学问题、建立方程组模型、求解验证的完整过程，体会数学建模思想；通过图形分割的探究活动，培养数形结合意识和几何直观能力.（3）在探究不同设计方案的过程中，培养创新意识和实践能力；通过解决具有实际背景的数学问题，感受数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.2.目标解析（1）强调分析复杂问题能力和建模能力的培养.与探究1相比，本节课的数量关系更复杂（涉及比例条件），需要学生借助图形这一直观工具来辅助分析，并能够将求得的数学解转化为实际方案描述.（2）侧重于思维方法的培养.画图或列表等方式能帮助学生正确理解题意，分析较复杂的数量关系，顺利列出方程组.从不同角度寻求解决方案，体现了思维的发散性和灵活性.(3)通过具有挑战性和开放性的问题情境，让学生在探究中获得成就感，增强应用数学的信心.学生通过探究1的学习，已经掌握了列二元一次方程组解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答），具备了一定的建模能力.但在本节课的学习中，学生可能遇到以下困难：①概念理解障碍：对“单位面积产量”“总产量”等概念的含义及其关系（总产量=单位面积产量×种植面积）理解不深.②比例条件处理困难：题目条件以比例形式呈现时，学生往往不知道如何设未知数、如何表示总产量的比.③图形分析能力不足：如何将文字语言转化为图形语言，如何通过图形发现隐含的等量关系，对部分学生来说存在困难.④方案多样性理解：对于“怎样划分土地”这一问题，学生可能只想到一种分割方式，缺乏多角度思考的意识.⑤语言表达障碍：如何根据求出的数学解，用准确的语言描述土地划分方案，也是学生需要突破的难点.教学中应注重通过铺垫题降低难度，引导学生借助图形分析数量关系，并通过小组讨论、交流展示等方式，帮助学生突破难点.基于以上分析，确定本节课的教学难点是理解比例条件的含义，正确表示总产量的比，以及多角度寻求设计方案.创设情景，引入新课复习回顾：列二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么？关键步骤是什么？审、设、列、解、验、答；关键是找出两个等量关系.追问1：总产量、单位面积产量、种植面积三者之间有什么关系？总产量=单位面积产量×种植面积.引入课题.（设计意图：复习旧知，唤醒学生已有的经验，为本节课探究涉及比例关系的种植问题做好知识铺垫.)探究点1比例的条件问题呈现：甲、乙两种作物的单位面积产量的比是2∶3.现有一块面积为170平方米的土地，要在这块土地上种植这两种作物，且使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4，甲、乙两种作物的种植面积分别是多少？分析引导追问1：问题中有哪些已知量和未知量？单位面积产量的比是2∶3，总产量的比是3∶4，总面积为170平方米.追问2：单位面积产量的比是2∶3，可以怎样设未知数？设甲的单位面积产量为2a，乙的单位面积产量为3a.追问3：总产量的比是3∶4，如何用含未知数的式子表示？设甲种作物的种植面积为x公顷，乙种作物的种植面积为y公顷。总产量的比表示为：(2a·x):(3a·y)=3:4追问4：根据题意列出怎样的方程组？求出解.根据题意，得：即解得.追问5：如果这块土地是长17米、宽10米的长方形，怎样划分成两块小长方形？（引导学生思考分割方式：沿长边分割或沿宽边分割）(设计意图：由于探究2的情境比较复杂，数量关系较多，先设计一个铺垫题，让学生熟悉种植问题中的数量关系和比例条件的处理方法，同时为探究2的方案设计做铺垫。)探究点2作物种植方案设计问题据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物。怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？交流讨论：把一个大长方形分割成两个小长方形，可能有哪些划分方案？学生动手画图，小组讨论.归纳：有两种基本划分方式——①沿长边方向分割（竖切）；②沿宽边方向分割（横切）.方案一探究（沿长边分割）：画出示意图：如图，长方形ABCD中，AB=200m，AD=100m.在AB上取一点E，过E作AD的平行线，将长方形分为两个小长方形AEFD和EBCF.设AE=xm，BE=ym，则x+y=200.引导学生完成表格分析：作物种植区域种植面积单位面积产量总产量甲AEFD100x1100x乙EBCF100y2200y根据总产量比3∶4，得100x:200y=3:4，即x:2y=3:4，化简得4x=6y，即2x=3y.列方程组解得.方案描述：过长方形土地的长边上离一端120m处作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物.（设计意图：教师提出问题，让学生讨论交流，在此过程中逐步理解题意，找到解决问题的方法。画图或列表等方式能帮助学生正确理解题意，分析较复杂的数量关系，顺利列出方程组.）方案二探究（沿宽边分割）问题：如果沿宽边方向分割（横切），应该如何划分？小组合作：学生仿照方案一，画图分析，列方程组求解.展示交流：如图，在AD上取一点M，过M作AB的平行线，将长方形分为两个小长方形AMNB和DMNC.设DM=xm，AM=ym，则x+y=100.甲种作物种植区域AMNB，面积200y，总产量200y×1=200y乙种作物种植区域DMNC，面积200x，总产量200x×2=400x根据总产量比3∶4，得200y:400x=3:4，即y:2x=3:4，化简得4y=6x，即2y=3x。列方程组解得.方案描述：过长方形土地的短边上离一端40m处作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物.（设计意图：通过探究第二种分割方案，让学生进一步体会从不同角度寻求解决问题途径的重要性，培养思维的发散性和灵活性.）深入思考——其他设计方案的可能性问题：还有没有其他划分方式？如沿对角线分割、分成两个梯形等.小组讨论：学生尝试设计其他分割方案，并分析是否可行.教师点拨：无论采用何种分割方式，只要保证能准确表示出两种作物的种植面积，并根据总产量比列出方程组，都可以求解.但需注意，分割方式必须保证种植区域是长方形（符合题意）.(设计意图：进一步拓展学生思维，培养创新意识和探究精神。)典型例题例1.由7个完全一样的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，已知大的长方形的周长是，求大的长方形的长和宽．

【分析】设小的长方形的长是，宽是，根据3个长个宽和大的长方形的周长是建立方程组求解即可．【详解】解：设小的长方形的长是，宽是，根据题意可得：，解得：，所以，所以大的长方形的长是，宽是．例2.某机械厂加工车间平均每人每天加工甲种零件10个或乙种零件16个，已知3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，问怎样安排人员才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套？【分析】设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套，根据3个甲种零件和2个乙种零件配成一套，共有85名工人全员参加生产，列出二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：设应分配x人生产甲种零件，y人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套，由题意得：，解得：，答：应分配60人生产甲种零件，25人生产乙种零件，才能使每天加工的甲、乙零件数刚好配套．(设计意图：进一步熟悉种植问题中的数量关系和比例条件的处理方法，规范解答过程.)课本课堂练习2、3.参考答案：1.根据题意、列得方程组解得．设A工程队清理xm，B工程队清理ym.根据题意，列得方程组解得．（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）1.某学校为了增强学生体质，决定让各班去购买跳绳和毽子作为活动器械．七年1班生活委员小亮去购买了跳绳和毽子共5件，已知两种活动器械的单价均为正整数且跳绳的单价比毽子的单价高．在付款时，小亮问是不是30元，但收银员却说一共45元，小亮仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了，则小亮实际购买情况是（

）A．1根跳绳，4个毽子 B．3根跳绳，2个毽子C．2根跳绳，3个毽子 D．4根跳绳，1个毽子【详解】解：设实际小亮去购买跳绳根，购买毽子件，则，且是正整数，设跳绳单价为元，毽子单价为元，且，，且是正整数，依题意得：，由得：，即，即，，且是正整数，由得：，，，，解得：，故选：D．（设计意图：强化二元一次方程组的实际应用）1.（2023·西藏·统考中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成．

(1)求一块长方形墙砖的长和宽；(2)求电视背景墙的面积．【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为．依题意得：，解得：，答：一块长方形墙砖的长为，宽为．（2）求电视背景墙的面积为：．答：电视背景墙的面积为．2．（2025·开州校联）在一幅比例尺是的地图上，量得甲、乙两地的距离是10厘米．一列客车和一列货车同时从甲、两地相对开出，5小时相遇．已知客车和货车速度的比是，客车、货车每小时行多少千米？【详解】解：（千米），设客车每小时行千米，货车每小时行驶，由题意得：解得：答：客车、货车每小时分别行90千米、60千米．（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）知识总结:(1)种植问题中的基本数量关系：总产量=单位面积产量×种植面积.(2)处理比例条件的常用方法：见比设参数（如设单位面积产量为a、2a等）.（3）长方形土地分割的基本方式：沿长边分割（竖切）和沿宽边分割（横切）.（4）列方程组解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答.方法总结：（1）数形结合法：借助图形分析数量关系，将抽象的文字语言转化为直观的图形语言.（2）建模思想：将实际问题转化为数学问题（方程组），求解后再回归实际解释.（3）多角度思考：从不同角度寻求解决问题的途径，体验方案设计的多样性.易错提醒:（1）比例条件处理错误：将总产量的比直接等同于面积比，忽略单位面积产量的影响.（2）设参不当：见比设参数时，忘记参数的存在，或在列比例式时参数消去错误.（3