人教A版高中数学必修一 4.4.1　对数函数的概念

4.4对数函数4.4.1对数函数的概念学习目标1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.【引入】在第4.2节我们用指数函数模型已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律.反过来,已知死亡生物体内碳14的含量,如何得知它死亡了多长时间呢?进一步地,死亡时间x是碳14的含量y的函数吗?这就是我们今天要学习的对数函数问题.一、对数函数的概念探究将y=2x化为对数式得到什么结果?根据这一结果,对于区间(0,+∞)内的每一个y的值,是否都有唯一的实数x与之对应?x能否看作是关于y的函数?提示x=log2y,任意y∈(0,+∞),都有唯一的x对应,x是关于y的函数.一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).温馨提示在对数函数的定义表达式y=logax(a>0,且a≠1)中,logax前边的系数必须是1,自变量x就是真数,否则就不是对数函数.例1(1)下列函数是对数函数的是()A.y=log12(-x)(B.y=2log4(x-1)(x>1)C.y=lnx(x>0)D.y=log(a2+a)x(2)设f(x)是对数函数,且f(34)=-23,那么f(2)=答案(1)C(2)-1解析(1)对于A,真数是-x,故A不是对数函数;对于B,2log4(x-1)的系数为2,且真数是x-1,故B不是对数函数;对于C,易知③是对数函数;对于D,底数a2+a不一定大于0且可能等于1,故D不一定是对数函数.(2)设对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1).由f(34)=-23,得loga34即23loga2=-23,则a=所以f(x)=log12故f(2)=log122思维升华判断一个函数是否为对数函数的依据(1)形如y=logax;(2)底数a满足a>0,a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数;(4)定义域为(0,+∞).训练1(1)下列函数是对数函数的是()A.y=loga(5+x)(a>0且a≠1)B.y=log(C.y=log3(-x)D.y=logx3(x>0且x≠1)(2)若函数y=logax+a2-3a+2为对数函数,则a=.

答案(1)B(2)2解析(1)A和C中自变量不是x,所以不是对数函数,D中底数是x,不是常数;B符合对数函数的特征,所以是对数函数.(2)函数y=logax+a2-3a+2为对数函数,所以a2-3a+2=0,则a=1(舍去)或a=2.二、求对数型函数的定义域例2(链接教材P130例1)求下列函数的定义域:(1)f(x)=lg(x-2)+1x(2)f(x)=log(x+1)(16-4x).解(1)要使函数有意义,需满足x解得x>2且x≠3.所以函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).(2)要使函数有意义,需满足16-4解得-1<x<0或0<x<4.所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,4).思维升华1.求含对数式的函数定义域关键是真数大于0,底数大于0且不为1.2.若对数出现在分母上时,真数大于0且不等于1.训练2函数y=ln(2-x)x-1A.(0,1)∪(1,2) B.[0,2)C.(0,2] D.[0,1)∪(1,2)答案D解析要使函数有意义,满足2-解之得0≤x<2,且x≠1.所以函数的定义域是[0,1)∪(1,2).三、对数函数模型的应用例3(链接教材P131例2)某化工厂生产一种溶液,初时含杂质为1,每过滤一次可使杂质含量减少14,设过滤y次后杂质含量为x(1)求y关于x的函数解析式.(2)要使产品达到市场要求,杂质含量不能超过120,则至少应过滤多少次?(lg2≈0.3010,lg3≈0.解(1)由题意得x=1-14y,y∈即x=34y,x∈所以可得y=log34x,x∈(2)令x=120,则y=log3≈1+0.30102×所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求.思维升华1.解决此类问题时,应根据条件建立数学模型,先利用指数式和对数式的互化转化为对数式,再根据对数的运算性质及所给的数据计算求值.2.根据实际问题确定自变量的取值范围.训练3某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式;(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?解(1)由题意知y=0.15(2)由题意知1.5+2log5(x-9)=5.5,则log5(x-9)=2,∴x-9=52,得x=34.∴老江的销售利润是34万元.【课堂达标】1.(多选)下列函数是对数函数的为()A.y=log3(x+1) B.y=logπxC.y=log23x-1 D.y答案BD解析只有y=logπx与y=-lnx=log1ex2.“每天进步一点点”可以用数学来诠释,假如你今天的数学水平是1,以后每天比前一天增加千分之五,则经过y天之后,你的数学水平x与y之间的函数关系式是()A.y=log1.05x B.y=log1.005xC.y=log0.95x D.y=log0.995x答案B解析由题意得x=(1+5‰)y=1.005y,化为对数函数得y=log1.005x.3.函数y=lg(x+1)x+2答案(-1,+∞)解析由x+1>0,x+2>0,得∴函数的定义域为(-1,+∞).4.若对数函数f(x)=logax的图象过点(2,1),则f(x)=,f(8)=.

答案log2x3解析依题意知1=loga2,所以a=2.所以f(x)=log2x,故f(8)=log28=3.课时精练一、基础巩固1.(多选)下列函数表达式中,不是对数函数的有()A.y=logx(2x) B.y=log2C.y=log4x2 D.y=log2(-x)答案ACD解析B项中的函数是对数函数;C,D项中的真数不是x,故不是对数函数;A项中的底数不是常数,不是对数函数.2.若函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,则f18=(A.3 B.-3C.-log36 D.-log38答案B解析∵函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,∴a2+a-5=1,a>0,a≠1,解得a∴f18=log218=-3.故选3.函数f(x)=log(x-1)(3+2x-x2)的定义域是()A.(1,2) B.(2,3)C.(1,2)∪(2,3) D.(1,3)答案C解析依题意3+2解得1<x<3且x≠2,故f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).4.设函数f(x)=1+log2(2-x),x<1,A.3 B.4C.6 D.8答案B解析∵f(-2)=1+log24=3,∴f(f(-2))=f(3)=22=4.5.(多选)已知对数函数y=f(x)的图象过点(4,2),则下列结论正确的是()A.f(x)=log2x B.f(x)=log1C.f(2lg2)=lg2 D.f12答案AC解析设f(x)=logax(a>0,且a≠1),将点(4,2)代入得,2=loga4,解得a=2,所以f(x)=log2x.因此f12=log21f(2lg2)=log22lg2=lg2.6.我国的5G通信技术领先世界,5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式,香农提出并严格证明了在被高斯白噪声干扰的信道中,计算最大信息传送速率C的公式C=W·log21+SN,其中W是信道带宽(单位:赫兹),S是信道内所传信号的平均功率(单位:瓦),N是信道内部的高斯噪声功率(单位:瓦),其中SN叫做信噪比.根据此公式,在不改变W的前提下,将信噪比从99提升至λ,使得C大约增加了60%,则λ的值大约为(参考数据:100.2≈1.A.1559 B.3943C.1579 D.2512答案C解析由题意得Wlo则log2(1+λ)log2100≈1.6,1+=103·100.2≈1580,∴λ≈1579.7.若函数f(2x)=xln2,且f(m)=2,则实数m=()A.e B.e2C.ln2 D.2ln2答案B解析因为f(2x)=xln2,所以令2x=t,则x=log2t,所以f(t)=ln2·log2t=ln2·lntln2=ln所以f(x)=lnx,所以f(m)=lnm=2,所以m=e2,故选B.8.函数f(x)=logax+a2-2a-3为对数函数,则a=,f(3)=.

答案31解析依题意有a2-2a-3=0,∴f(x)=log3x,故f(3)=log33=129.某种动物的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的函数关系式为y=alog2(x+1),若这种动物第1年有100只,则第7年它们的数量为只.

答案300解析由题意,知100=alog2(1+1),得a=100,则当x=7时,y=100log2(7+1)=100×3=300.10.已知点P(16,2),Q(t,log23)都在同一个对数函数的图象上,则t=.

答案9解析设对数函数为y=logax(a>0,且a≠1),因为P(16,2)在函数的图象上,所以loga16=2,解得a=4,则y=log4x.因为Q(t,log23)也在该函数的图象上,所以log4t=log23,解得t=9.11.求下列函数的定义域:(1)f(x)=1ln(x+1)(2)f(x)=log(x+2)2x解(1)要使函数f(x)有意义,则有x+1>0,ln(则-1<x<0或0<x≤2,∴函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,2].(2)要使函数f(x)=log(x+2)2x2则x+2>0,x故函数f(x)的定义域是(-2,-1)∪-1,-12∪(2,+∞二、综合运用12.2021年4月,四川省广汉市的三星堆遗址出土了数百件瑰奇文物,考古专家对现场文物样本进行碳14年代测定,检测出碳14年残留量约为初始量的66%,已知碳14的半衰期是5730年(即每经过5730年,遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半).则该遗址距今约(参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48,lg11≈1.04)()A.3200年 B.3262年C.3386年 D.3438年答案D解析设时间经过了x年,则12x5730两边取对数得,x5730lg12=lg0.所以x=5730×lg0.66=5730×lg2+lg3+lg11-lg100-lg2≈343813.设函数f(x)=f1xlgx+1,则f(10)=.答案1解析∵f(x)=f1xlgx+1,将式中x换成1x,∴f1x=f(x)lg由以上两式,得f(x)=1+lgx∴f(10)=1+lg101+(lg10)14.已知函数f(x)=log2x+1(1)求f(x)的定义域;(2)判断函数的奇偶性.解(1)要使函数有意义,则有x+1∴(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1,所以此函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)由(1)知f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=log2-x+1-=-log2x+1x-1=-f所以f(x)为奇函数.三、拓展提高15.给定函数y=f(x),设集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)}.若∀x∈A,∃x∈B,使得x+y=0成立,则称函数f(x)具有性质P.给出下列三个函数:①y=1x;②y=12x;③y=lgx.其中,具有性质P的函数是(填序号答案①③解析对于①,A=(-∞,0)∪(0,+∞),B=(-∞,0)∪(0,+∞),显然∀x∈A,∃y∈B,使得x+y=0成立,具有性质P.对于②,A=R,B=(0,+∞),当x>0时,不存在y∈B,使得x+y=0成立,不具有性质P.对于③,A=(0,+∞),B