2026-2027学年广东省广州奥林匹克中学高三（上）一轮复习数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省广州奥林匹克中学高三（上）一轮复习数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|−1<x<3}，N={x|x≥2}，则M∪N=(

)A.(2,3) B.(−1,+∞) C.[2,3) D.(−1,2]2.已知随机变量X的分布列为：X12345P0.10.30.40.1a则随机变量X的期望E(X)等于(

)A.2.8 B.2.4 C.0.86 D.0.843.洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为(

)A.16 B.32 C.48 D.644.已知直线l1：x+(1+a)y=2−a，直线l2：2ax+4y=−16，则“a=1”是“l1//A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.已知Cn+1n−1=21，那么(2x−A.120 B.−120 C.192 D.−1926.已知向量a=(sinθ,−3)，b=(1,cosθ)，且a⊥b，则sin2θ+A.710 B.107 C.327.已知圆锥SO的底面半径为1，母线长为3，圆柱OO1的下底面在圆锥SO的底面上，上底面圆O1的圆周在圆锥SO的侧面上，则圆柱OOA.π B.3π2 C.2π8.已知函数f(x)=aexx−x，若对任意的0<x1<A.(−∞,1e] B.(−∞,e2]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设复数z=−12+A.复数z的虚部为32i B.|z|=1

C.z10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图，则(

)A.ω=2

B.f(x+π3)为奇函数

C.f(x)在[π2,π]上的值域是[−3,2]

D.当11.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=23，点E为四边形ABCDA.异面直线BD1与AD所成角的余弦值为55

B.当DE=1时，二面角D1−CE−D的正切值为23

C.四面体D1−CDE的外接球体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.记Sn为等差数列{an}前n项和，若a1=−1，a413.2026年8月19日，广东省第十七届运动会手球比赛圆满收官，由广州奥林匹克中学组建的广州男子手球队一路过关斩将，斩获男子手球甲组冠军、乙组亚军，学校获得建队25年来首枚省运会手球金牌.男子手球甲组比赛集结了来自广州、茂名、清远、深圳等8支全省顶尖强队，先进行小组循环赛，小组赛分A、B两组，每组4支球队，各组前两名进行交叉淘汰赛.小组赛分组规定：东道主茂名队与2025年广东省手球锦标赛冠军广州队作为种子球队分别安排在A组、B组，深圳队与清远队不安排在同一个小组，其它4支队伍抽签分组，那么本次男子手球甲组比赛，小组赛共有

种分组方法(用数字作答)．14.已知双曲线x2−y22=1的一条渐近线与圆x2+(y−3)2=4四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

(1)求证：PA//平面EDB；

(2)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．

16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosC+3asinC−b−c=0．

(1)求A；

(2)若a=2，△ABC的面积为3，求b，c的值；

(3)若a=217.(本小题15分)

已知抛物线y2=8x与椭圆Γ：x29+y2b2=1有相同的焦点，点A是椭圆的右顶点．

(1)求椭圆离心率；

(2)已知点M(0,m)，m>0，若椭圆Γ上存在一点P，满足PA=MP，求m的值；

(3)若直线l18.(本小题17分)

为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复．

(1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；

(2)记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为Pn．

①证明：{Pn−25}为等比数列，并求数列19.(本小题17分)

已知函数f(x)的定义域为D⊆R，直线l：y=kx+b与曲线f(x)相切.若f(x)≥kx+b对一切x∈D恒成立，称直线l是函数f(x)的“下切线”；若f(x)≤kx+b对一切x∈D恒成立，称直线l是函数f(x)的“上切线”．

(1)证明：直线y=x−1是函数f(x)=lnx的“上切线”；

(2)若函数f(x)=x3+ax2x2+1有“上切线”y=x+1且有“下切线”y=x−1，求a的取值范围；

(3)若直线l：y=kx+b既是函数1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】BC

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】24

13.【答案】12

14.【答案】2

15.【答案】解：(1)证明：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设DC=1，

连接AC，交BD于点G，连接EG．

依题意得A(1,0,0)，P(0,0,1)，E(0,12,12)，

因为底面ABCD是正方形，

所以点G是它的中心，

故点G的坐标为(12,12,0)，

因为PA=(1,0,−1)，EG=(12,0,−12)，

所以PA=2EG，即PA//EG，

而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，

所以PA/​/平面EDB；

(2)依题意得B(1,1,0)，PB=(1,1,−1)，

又因为DE=(0,12,12)，

所以PB⋅DE=0+12−12=0，

所以PB⊥DE，

由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，

所以PB⊥平面EFD，

因为DF⊂平面EFD，所以PB⊥DF，

故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角，

设点F的坐标为(x,y,z)，

则PF=(x,y,z−1)，

不妨设PF=kPB，(0<k<1)，

所以(x,y,z−1)=k(1,1,−1)=(k,k,−k)，

即x=k，y=k，z=1−k，故DF=(k,k,1−k)，

因为PB⊥DF，

则(1,1,−1)·(k,k,1−k)16.【答案】解：(1)根据边角转换可得sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

则3sinAsinC−cosAsinC−sinC=0，

sinC≠0，则3sinA−cosA−1=0，

得sin(A−π6)=12，

0<A<π，则A=π3；

(2)S=12bcsinA=3，得bc=4①，

a2=b2+c2−2bccosA，a=2，则b2+c2=8②，

由①②得b=c=2；

(3)可知a217.【答案】(1)解：抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，因为抛物线与椭圆Γ有相同的焦点，所以椭圆Γ的半焦距c=2．

又a=3，所以b2=a2−c2=9−4=5.所以椭圆的离心率e=ca=23．

(2)解：因为PA=MP，即P为线段AM的中点．

又A(3,0)，M(0,m)，所以P(32,m2)．

由点P在椭圆Γ上，得(32)29+(m2)25=1，即14+m220=1，解得m2=15．

又m>0，所以m=15．

(3)证明：由(1)知A(3,0).设B(x1,y1)，C(x2,y2)，

因为∠BAC为直角，所以AB⋅AC=0，即(x1−3)(x2−3)+y1y2=0，

其中B、C均与A不重合．

若l与x轴平行，设l：y=c，则B、C关于y轴对称，设B(−x0,c)，C(x0,c)，

由AB⋅AC=0得9−x02+c2=0，结合c2=5(1−x029)解得x0=3，c=0，

此时C与A重合，不合题意，故l不与x轴平行，可设18.【答案】解：(1)设事件A1为“第1天选择米饭套餐”，事件A2为“第2天选择米饭套餐”，

事件A1−为“第1天不选择米饭套餐”，

根据题意P(A1)=23，P(A1−)=13，P(A2|A1)=14，P(A2|A1−)=1−12=12，

由全概率公式得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1−)P(A2|A1−)=13．

(2)①证明：设事件An为“第n19.【答案】解：(1)证明；因为f(x)=lnx，所以f′(x)=1x，

所以f′(1)=1，f(1)=0，

所以直线y=x−1是函数f(x)=lnx的切线，

令g(x)=lnx−(x−1)=lnx−x+1

(x>0)，则求导得g′(x)=1x−1=1−xx，

当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，

所以g(x)=lnx−x+1在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

所以g(x)≤g(1)=0，所以lnx≤x−1，所以直线y=x−1是函数f(x)=lnx的“上切线”；

(2)因为y=x+1是函数f(x)=x3+ax2x2+1的“上切线”，

所以x3+ax2x2+1≤x+1对一切x∈R恒成立，

化简得(a−1)x2−x−1≤0对∀x∈R恒成立，

当a=1时，−x−1≤0不恒成立，

当a≠1时，则需a−1≤0Δ=(−1)2−4(a−1)×(−1)≤0，解得a≤34；

因为y=x−1是函数f(x)=x3+ax2x2+1的“下切线”，

所以x3+ax2x2+1≥x−1对一切x∈R恒成立，

化简得(a+1)x2−x+1≥0

对∀x∈R恒成立，

当a=−1时，−x+1≥0不恒成立，

当a≠−1时，则需a+1≥0Δ=(−1)2−4(a+1)×1≤0，解得a≥−