人教版高中数学选择性必修一 题库 第一章　再练一课(范围：§1.4)

再练一课(范围：§1.4)[分值：100分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.若直线l∥α，且l的一个方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为1，12，2，A.-4 B.-6 C.-8 D.8答案C解析由题意知(2，m，1)·1，1即2+12m+2=0所以m=-8.2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱CC1的中点，则直线B1M与平面A1D1M所成角的正弦值是()A.215 B.25 C.3答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，M0，1，12，B1(1A1D1=(-1，0，0)MB1设平面A1D1M的法向量为m=(x，y，z)，则A1D令y=1，可得z=2，所以m=(0，1，2)，设直线B1M与平面A1D1M所成的角为θ，sinθ=|m·MB13.在正四棱锥P-ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为2，则异面直线DM与AN所成角的余弦值为(A.13 B.16 C.1答案B解析如图所示，不妨设正四棱锥底面边长为2，则由该正四棱锥侧面与底面所成二面角的正切值为2，易得其高为2，取底面正方形的中心为原点O，以过点O且与AD平行的直线为x轴，以过点O且与AB平行的直线为y轴，以OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，D(-1，-1，0P(0，0，2)，则M12所以DM=32，设DM与AN所成的角为θ，则cosθ=|cos〈DM，AN〉|=|4.在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，∠PBC=45°，则点C到平面PAB的距离是()A.463 B.263 答案A解析方法一建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，4，0)，P(0，4，42)，∴AP=(0，4，42)，AB=(4，0，0)，PC=(0，0，-42)设平面PAB的法向量为m=(x，y，z)，则m·AP令y=2，则z=-1，∴m=(0，2，∴点C到平面PAB的距离为|PC·m方法二∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC∩AC=C，PC，AC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，∵AC=AB=4，∴BC=42∴PC=42，PB=8在Rt△PAB中，PA=82-令点C到平面PAB的距离为d，∵VP-ABC=VC-PAB，∴13×12×4×4×42=13×12×4×4∴d=465.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为()A.12 B.23 C.3答案B解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(0，0，1)，E1D(0，1，0)，∴A1D=(0，1，-1)，A设平面A1ED的一个法向量为n1=(1，y，z)，∴A1D·n∴n1=(1，2，2).∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0，0，1)，∴|cos〈n1，n2〉|=23×1=即平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为236.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段BP长度的取值范围是()A.1，2C.62，答案D解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，可得A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1).设P(a，b，1)，M(0，1，t)(0≤t≤1)，则AP=(a-1，b，1)，BD1=(-1，-1，1)，MD1=(0，因为AP⊥平面MBD1，BD1⊂平面MBD1，MD1⊂平面MBD1，所以AP⊥BD1，AP⊥MD1，即AP·B所以AP=(t，1-t，1)，所以BP=BA+AP=(0，-1，0)+(t，1-t，1)=(t，-t，1)，所以|BP|=t2+(-t)2+1=2t2+1，因为0≤t故线段BP长度的取值范围是1，二、多项选择题(每小题6分，共18分)7.下列结论中，正确的是()A.若两条不重合的直线l1，l2的一个方向向量分别是a=(2，3，-1)，b=(-2，-3，1)，则l1∥l2B.若直线l的一个方向向量是a=(1，-1，2)，平面α的一个法向量是u=(6，4，-1)，则l⊥αC.若两个不同的平面α，β的一个法向量分别是u=(2，2，-1)，v=(-3，4，2)，则α⊥βD.若直线l的一个方向向量是a=(0，3，0)，平面α的一个法向量是u=(0，-5，0)，则l∥α答案AC解析对于A，由题意知，b=-a，所以a∥b，即l1∥l2，故A正确；对于B，若直线l的一个方向向量是a=(1，-1，2)，平面α的一个法向量是u=(6，4，-1)，则a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0，所以a⊥u，即l∥α或l⊂α，故B错误；对于C，因为u·v=0，所以α⊥β，故C正确；对于D，因为u=-53a，所以u∥a，即l⊥α，故D错误8.将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使平面ABD与平面BCD的夹角为90°，下列结论正确的是()A.AC⊥BDB.△ACD是等边三角形C.直线AB与平面BCD所成的角为πD.AB与CD所成的角为π答案ABD解析如图所示，以BD的中点O为坐标原点，分别以OD，OA，OC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为2则D(1，0，0)，B(-1，0，0)，C(0，0，1)，A(0，1，0)，所以AC=(0，-1，1)，BD=(2，0，0)，AC·BD故AC⊥BD，A正确；又|AC|=2，|CD|=2，|AD所以△ACD为等边三角形，B正确；AB=(-1，-1，0)，OA=(0，1，0)易知OA为平面BCD的一个法向量，设直线AB与平面BCD所成的角为θ，则sinθ=|cos〈AB，OA=|(-1，所以直线AB与平面BCD所成的角为π4，又CD=(1，0，-1)，所以|cos〈AB，CD=|(-1，所以AB与CD所成的角为π3，D9.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是()A.1 B.6 C.2 D.3答案BC解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，设P(0，t，0)(0<t<3)，所以AP=(-3，t，0)，AD1=(-3，0，AB=(0，3，0)，设n=(x，y，z)为平面AD1P的法向量，则n令y=3，可得n=(t，3，t)，则点B到平面AD1P的距离d=|AB·因为0<t<3，所以2t2+9∈(9，27)，所以d∈(3，3)三、填空题(每小题5分，共15分)10.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1上靠近D1的三等分点，F为线段BB1上靠近B的三等分点，则直线FC1到平面AB1E的距离为.答案3解析如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，E(0，0，2)，F(3，3，1)，C1(0，3，3)，B1(3，3，3)，所以AE=(-3，0，2)，FC1=(-3，0，2)，所以AE=FC1而AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，故FC1∥平面AB1E，所以直线FC1到平面AB1E的距离即为点F到平面AB1E的距离.又AE=(-3，0，2)，AB1=(0，3，设平面AB1E的法向量为n=(x，y，z)，故n·AE取z=3，则n=(2，-3，3)，又EF=(3，3，-1)，故点F到平面AB1E的距离d=|n·EF||11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是线段AB上一点，当平面PEC与平面DEC夹角的大小为π4时，AE=答案2-3解析设AE=a(0≤a≤2)，以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0，0，0)，E(1，a，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)，可得PE=(1，a，-1)，PC=(0，2，-1)设平面PEC的法向量为m=(x，y，z)，则m令y=1，得x=2-a，z=2，所以m=(2-a，1，2)，又平面DEC的一个法向量为DP=(0，0，1)，则|cos〈m，DP〉|=|m·解得a=2-3或a=2+3(舍去)，所以AE=2-3.12.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=1，AD=2，PA=2，点M在线段PC上运动，则点M到AB距离的最小值为.答案2解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)，C(1，2，0)，设PM=λPC，M(x，y，z)，λ∈[0，1]则(x，y，z-2)=λ(1，2，-2)，∴x=λ,y=2λ,z=2-2λ,即M(λ∴AM=(λ，2λ，2-2λ)，直线AB的单位方向向量为u=(1，0，0)，∴M到AB的距离为AM=λ2+(2=22∴当λ=12时，上式取最小值2四、解答题(共37分)13.(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点.(1)求证：CF∥平面A1DE；(6分)(2)求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值.(6分)(1)证明以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(2，0，2)，E(1，2，0)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，F(0，0，1)，则DA1=(2，0，2)，DE=(1，2，0)，CF=(0，-2设平面A1DE的法向量为n=(a，b，c)，则n·DA1=2a+2c=0,n∴CF·n=(0，-2，1)·(-2，1，2)=0，又CF⊄平面A1DE，∴CF∥平面A1DE.(2)解DC=(0，2，0)是平面A1DA的法向量，∴|cos〈n，DC〉|=|即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为1314.(12分)如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=12AE=2，O，M分别为CE，AB的中点(1)求异面直线AB与CE所成角的大小；(6分)(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值.(6分)解(1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC.∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC.如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系.∵AC=BC=4，∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，E(4，0，4)，∴AB=(-4，4，0)，CE=(4，0，4)∴|cos〈AB，CE〉|=∴异面直线AB与CE所成角的大小为π3(2)由(1)知O(2，0，2)，D(0，4，2)，M(2，2，0)，∴CD=(0，4，2)，OD=(-2，4，0)，MD=(-2，2，2设平面ODM的法向量为n=(x，y，z)，则由n⊥OD令x=2，则y=1，z=1，∴n=(2，1，1).设直线CD与平面ODM所成的角为θ，则sinθ=|cos〈n，CD〉|=|∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为301015.(13分)如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.(1)求证：D1E⊥A1D；(5分)(2)在棱AB上是否存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为π6？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由.(8分(1)证明∵AE⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，∴AE⊥A1D.∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，∴A1D⊥AD1.∵AE∩AD1=A，AE，AD1⊂平面AED1，∴A1D⊥平面AED1.∵D1E⊂平面AED1，∴D1E⊥A1D.(2)解以D为坐标原