人教A版高中数学选择性必修一第一课时　空间向量及其线性运算

1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算第一课时空间向量及其线性运算学习目标1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,理解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算.【引入】国庆节期间,某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江,然后抵达东方明珠(B)游玩,这个过程可以用平面向量来表示.如果游客还要登上东方明珠电视塔顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景,那么游客的整个游览过程又该如何表示呢?这位游客实际发生的位移是什么?又如何表示呢?一、空间向量的有关概念探究1类比平面向量,探究空间向量的有关概念.1.空间向量的概念与表示(1)空间向量的定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.(2)空间向量的长度:空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.(3)表示法①字母表示法:用字母a,b,c,…表示;②几何表示法:空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作AB,其模记为|a|或|AB|.2.特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量,记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量,记为-a共线(平行)向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量温馨提示(1)单位向量、零向量都只规定了向量的大小而没有规定方向,单位向量有无数多个,它们的方向并不一定相同,故不一定相等,而零向量的方向是任意的,且所有的零向量都相等.(2)两个空间向量相等,则它们的方向相同,模相等,但起点和终点未必相同.(3)空间两向量不能比较大小.例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()A.若向量a,b平行,则a,b所在的直线平行B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反C.若向量AB,CD满足|AB|>|CD|,则AB>CDD.相等向量其方向必相同(2)(多选)下列命题为真命题的是()A.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=bB.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有AC=AC.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=pD.空间中任意两个单位向量必相等答案(1)D(2)BC解析(1)A中,向量a,b平行,则a,b所在的直线平行或重合;B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定;C中,向量不能比较大小,故选D.(2)A为假命题,根据向量相等的定义知,两向量相等,不仅模要相等,而且还要方向相同,而A中向量a与b的方向不一定相同;B为真命题,AC与A1C1的方向相同,模也相等,故ACC为真命题,向量的相等满足传递性;D为假命题,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,所以选BC.思维升华空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的模、相等向量、平行(共线)向量、相反向量、零向量与单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.训练1(链接教材P9T1)如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,(1)试写出与AB相等的所有向量;(2)试写出AA1(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量AC1解(1)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1,DC及D1(2)向量AA1的相反向量为A1A,B1(3)AC12=AC2+CC12=AB2+BC2+故|AC1|=AC1二、空间向量的加减运算探究2类比平面向量的加减运算及运算律,探究空间向量的加减运算及运算律.空间向量的加法、减法运算及运算律加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接,首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点,连终点,方向指向被减向量图形叙述运算律交换律a+b=b+a结合律(a+b)+c=a+(b+c)温馨提示(1)求向量和时,可以首尾相接(三角形法则),也可共起点(平行四边形法则);求向量差时,必须共起点或共终点(三角形法则).(2)空间向量加减运算的运算法则,所满足的运算律与平面向量完全相同.(3)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即A1A2+A2A3+例2(1)(链接教材P5T2)(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式运算结果为BD1的是(A.A1D1-A1A-AB B.C.AD-AB-DD1 D.B1D(2)化简(AB-CD)-(AC-BD)=.

答案(1)AB(2)0解析(1)A中,A1D1-A1A-AB=AB中,BC+BB1-D1C1=BC中,AD-AB-DD1=BD-DD1=BD-BBD中,B1D1-A1A+DD1=BD+AA1+DD(2)法一(转化为加法运算)(AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=AB+DC+CA+BD=AB+BD+DC+CA=0.法二(转化为减法运算)(AB-CD)-(AC-BD)=(AB-AC)+(BD-CD)=CB+BC=0.思维升华空间向量加减运算的两个技巧(1)巧用相反向量:向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.训练2(链接教材P5T4)如图,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,请化简以下式子,并在图中标出化简结果.(1)AB+BC-DC;(2)AB-DG-CE.解(1)AB+BC-DC=AB+BC+CD=AC+CD=AD,如图中向量AD.(2)AB-DG-CE=AB+BG+EC=AG+GF=AF,如图中向量AF.三、空间向量的数乘运算探究3类比平面向量的数乘运算,探究空间向量的数乘运算.空间向量的数乘运算及运算律定义与平面向量一样,实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量,称为空间向量的数乘几何意义λ>0λa与向量a的方向相同λa的长度是a的长度的|λ|倍λ<0λa与向量a的方向相反λ=0λa=0,其方向是任意的运算律结合律λ(μa)=(λμ)a分配律(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb温馨提示(1)λ的正负影响着向量λa的方向,λ的绝对值的大小影响着λa的长度.(2)向量λa与向量a一定是共线向量.例3(链接教材P6T5)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c(1)AP;(2)A1N;(3)MP+解(1)∵P是C1D1的中点,∴AP=AA1+A1D1+D1=a+c+12AB=a+12b(2)∵N是BC的中点,∴A1N=A1A+AB+BN=-a=-a+b+12AD=-a+b+1(3)∵M是AA1的中点,∴MP=MA+AP=12A=-12a+a+c+12b=1又NC1=NC+CC1=12AD+AA1=1∴MP+NC1=1=32a+12b+3思维升华利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质.训练3如图,设O为▱ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若AE=12OD+xOB+yOA,则x+y=答案-1解析∵AE=-OA+12OC=-OA+12(OD+DC)=-OA+12(=-OA+12OD+12(OB=-32OA+12又AE=12OD+xOB+y∴x=12,y=-32,故x+y【课堂达标】1.(多选)下列命题中,为真命题的是()A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等答案ABC解析容易判断D是假命题,共线的单位向量是相等向量或相反向量.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c,则ACA.a+b+c B.a-b+cC.a+b-c D.a-b-c答案A解析AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=3.化简:AB+CD-CB=.

答案AD解析AB+CD-CB=AB-CB+CD=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD.4.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点,若PA=a,PB=b,PC=c,则BE=(用a,b,c表示).

答案12a-32b+解析BE=12(BP+BD=12(-b+BA+BC=-12b+12(PA-PB+PC-=-12b+12(a+c-2=12a-32b+1课时精练一、基础巩固1.下列命题中为真命题的是()A.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆B.空间非零向量就是空间中的一条有向线段C.不相等的两个空间向量的模必不相等D.向量AB与BA的长度相等答案D解析对于选项A,其终点构成一个球面;对于选项B,空间非零向量能用空间中的一条有向线段表示,但不能说向量就是有向线段;对于选项C,向量a与向量b不相等,有可能它们的模相等,但方向不同;D正确.2.(多选)已知m,n是实数,a,b是空间任意向量,下列命题正确的是()A.m(a-b)=ma-mbB.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,则a=bD.若ma=na,则m=n答案AB解析m(a-b)=ma-mb,A正确;(m-n)a=ma-na,B正确;若m=0,则a,b不一定相等,C错误;若a=0,则m,n不一定相等,D错误.3.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量AC1的是(A.(AB+BC)+CB.(AA1+AC.(BA-BC)-CD.(AA1+A答案ABD解析根据空间向量的加法法则及正方体的性质,逐一判断可知A,B,D的运算结果都为AC1,而C中,(BA-BC)-CC1=CA-CC14.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=DC,则下列向量相等的是()A.AD与CB B.OA与OCC.AC与DB D.DO与OB答案D解析∵AB=DC,∴|AB|=|DC|,AB∥DC,即四边形ABCD为平行四边形,由平行四边形的性质知,DO=OB.故应选D.5.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则MG-AB+AD等于()A.32DB B.C.3GM D.2MG答案B解析MG-AB+AD=MG-(AB-AD)=MG-DB=MG+BD=MG+2MG=3MG.6.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且AO+OB=DO+OC,则四边形ABCD是()A.平行四边形 B.空间四边形C.等腰梯形 D.矩形答案A解析∵AO+OB=DO+OC,∴AB=DC,∴AB∥DC且|AB|=|DC|,∴四边形ABCD为平行四边形.7.某市119指挥中心接群众报警称:位于C处的某建筑工地塔吊上D处有一建筑工人突发疾病,急需救援.指挥中心马上指示位于A处的市消防队就近出警,3名消防员立即乘车到达B处,马上下车跑步到达C处,再攀爬到塔吊上D处救下发病工人,则在这个救援过程中消防员运动的位移用向量表示为()A.AC B.CD C.AD D.BD答案C解析由消防员的运动过程知AB+BC+CD=AD.8.设A,B,C,D为空间任意四点,则AC-BC+BD=.

答案AD解析AC-BC+BD=AC+CB+BD=AD.9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B等于(用a,b,c答案b-a-c解析∵A1B=AB-AA1=(CB-CA)-AA1,∴A1B=b-a-10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=14A1C1,若AE=xAA1+y(AB+AD),则答案11解析因为AE=AA1+A1E=AA1+14A1C且AE=xAA1+y(AB+AD),所以x=1,y=11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中.(1)单位向量共有多少个?(2)写出模为5的所有向量.(3)试写出AA1解(1)由题意知,AA1=1,所以向量AA1,A1A,BB1,B1B,CC1,C1C,DD1,D(2)易知A1D=AA12所以模为5的向量有AD1,D1A,C1B,BC1,(3)根据相反向量的定义,可得向量AA1的所有相反向量为A1A,B1二、综合运用12.(多选)如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且AP=3PN,ON=23OM,设OA=a,OB=b,OC=c,则下列等式成立的是(A.OM=12b-1B.AN=13b+13cC.AP=14b-14c-D.OP=14a+14b+答案BD解析由已知分析各选项:对于A,由向量的平行四边形法则,得OM=12OB+12OC=12b+12对于B,由向量的平行四边形法则和三角形法则,得AN=ON-OA=23OM=2312OB+12OC-OA=13OB+13OC-OA=对于C,因为点P在线段AN上,且AP=3PN,所以AN=43AP=13b+13所以AP=3413b+13c-a=14b对于D,OP=OA+AP=a+14b+14c-34a=14a+14b+14c,故13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知A1A=a,A1B1=b,A1D1=c,O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,则AG=(用a答案12b+56c-解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=a,A1B1=bO为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,∴AG=AO+OG=12(AB+AD)+13(OD1+OC1)=12(b+c)+13[(OD+DD1)+(OC=12(b+c)+16(-b+c)-13a+16(b+c)-13a=12b+14.如图所示,在三棱